离散数学习题解第二部分(代数系统)

1、离散数学习题解第二部分代数系统习题四 第四章代数系统1设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算a）+=（x，y），z|x，y，zI且z=x+yb）=（x，y），z）|x，y，zI且z=xyc）×=（x，y），z）|x，y，zI且z=x×yd）/=（x，y），z）|x，y，zI且z=x/ye）R=（x，y），z）|x，y，zI且z=xyf）=（x，y），z）|x，y，zI且z= g）min = （x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）h）min = （x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）i）GCD = （x，y），z）|x，y，zI且z

2、= GCD（x，y）j）LCM=（x，y），z）|x，y，zI且z= LCM（x，y）解 a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2I是I上的一个二元运算。b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2I是I上的一个二元运算。c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2I是I上的一个二元运算。d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 2=；若x=y=0，则z=xy=0，则z=；g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2I是I上的

3、一个二元运算。h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2I是I上的一个二元运算。i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2I是I上的一个二元运算。j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2I是I上的一个二元运算。注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。2设X=x | x=2n，nN问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？答 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=

4、2X，x2=22X，使x1+x2=2+22=6X。普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=X，x2=X，这里n1，n2N，都有x1·x2=·=X（因为n1+n2N）。3设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算，若有元素 e l X ，使 ，有 e l * x=x ，则称 e l 是关于 * 的左幺元。若有元素 e r X ，使 ，有 x * e l =x ，则称 e r 是关于 * 的右幺元。 a 试举出公含有左幺的代数系统的例子。b 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。c 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。解

5、：a 构造代数系统 ， > 如下： 令X=a，b，c，d，*：X×XX，其运算表如下：*abcdadabcbabcdcabccdabcd则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。b 构造代数系统 ， * > 如下： 令X=1，2，3，4 *： X×XX，其运算表如下：*123411243221343341244423则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。c 证 因为代数系统 ， * > 关于 * 运算存在着左、右幺元， e i ， e r X 则 el = el * er = er4设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算。若有元素

6、 O l X ，使 x X ，有 O l * x=O l 是关于 * 的左零元。若有元素 O r X ，使 x X ，有 x * O r =O r ，则称 O r 是关于 * 的右零元。 a 试举出公含有左零元的代数系统的例子。b 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。c 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。解 a 构造代数系统 ， * > 如下： 令X=a，b，c，*：X×XX，其运算表如下：*abcaaaabbbbcbca则a和b都是左零元，但没有右零元。b 构造代数系统 ， * > 如下： 令X=1，2，3，*：X×XX，其运

7、算表如下：*123123323133123则3是右零元，但没有左零元。c 证 因为代数系统 ， * > 关于 * 运算存在着左、右零元， O l ， O r X ，则 Ol=Ol*Or=Or5当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。答 在一个代数系统 ， * > 中， 1） 运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何x，yX，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。2） 运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3） 运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对

8、应的行和列依次与运算表的行和列相一致。4） 运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。5） 若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素yY，使得x所在行，y所在列的想元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。6设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算， e 是关于 * 的幺元。对于 X 中的元素 x ，若存在 y X ，使得 y * x=e ，则称 y 是 x 的左逆元。若存在 z X ，使得 x * z=e ，则称 z 是 x 的右逆元。指出下表中各元素的左、右逆元的情况。 *abcdeaabcdebbdacdccababddac

9、dceedace解 a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左 逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。7设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算。 x ， y X ，有 x * y=x 。问 * 是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 解 a *运算满足结合律因为对任何x，y，zX，都有x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*zb *运算不满足交换律因为对于二个元素x，yX，有x*y=x，而y*x=y。所以当X包含多于一个元素时，能使

10、xy，从而x*yy * x。c 没有幺元因为若有幺元eX存在，则对任何xX，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x e，矛盾。d 没有零元，仿c 保证。e 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。并且若存在一个元素aX，使得对每个元素xX，都有一个元素yX，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）8设 ， * > 是代数系统， * 是 N 上的二元运算， x ， y N ， x * y=LCM （ x ， y ）。问 * 是否满足

11、结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。 解 a *运算满足结合律因为，对于任何x，y，zN，（x*y）* z =LCM (（x * y），z= LCM (LCM（x，y），z= LCM (（x，y，z）= LCM (（x，（y * z）= LCM (（x * y），z= x * (y * z注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z），C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2，y |

12、C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有dC2于是d |C2（否则C2=kd+r，0rd，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1C2。另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可 知C2C1。所以，C1=C2。同理可证LCM（x，LCM（

13、y，z）=LCM（x，y，z）。b *运算满足交换律因为 对于任何x，yN，x * y=LCM（x，y）= LCM（y，x）=y * x（c）*运算有幺元1N。因为，对于任何xN，x * 1=LCM（x，1）=x=LCM（1，x）=1 * x（d）*运算没有零元。因为0 N。（e）对于每个元素xX，若x1，则对每个元素yN，都有x*y=y*x=LCM（x，y）x1，故此没有逆元素。9设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算。 X 是 X 中的任一元素，若有 x * x=x ，则称 x 是 幂等元 。 若*是可结合的，且x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个

14、元素都是幂等元。证 对于任何xX，令xi=x*x，xj=x，于是xi*xj=（x*x）*x=x*（x*x）（结合律）=xj*xi从而由所给性质，有xi=xj，即x*x=x。因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。10设 ， ， > 是代数系统， 和 分别是 X 上的两上二元运算。若 x X ，有 x y=x 。证明 关于 是可分配的。 证 对于任何x，y，zXx（yz）=xy=（xy）（yz）（yz）x=yx=（yx）（zx）因此代数系统 ， ， > 中 关于 是可分配的。 11设 ， ， > 是代数系统， 和 分别是 X 上的两上二元运算。 e 1 和 e 2 分别

15、是关于 和 的幺元，且 对于 满足分配律， 对于 满足分配律。证明： x X ，有 x x=x ， x x=x 证 x=xe2 （e2为的幺元）=x（e2e1） （e1为幺元）=x e2（e1e2） （e2为幺元）=x （e2e1）（e2e2） （对的分配律）= x （e2（e2e2） （e1为幺元）= x（e2e2） （e2为幺元）=（xe2）（xe2） （对分配律）=xx （e2为幺元）x=xe1（e1为的幺元）=x（e1e2） （e2为幺元）=x e1（e1e2） （e2为幺元）=x （e1e1）（e1e2） （对的分配律）= x （e1e1）e1 （e2为幺元）= x（e1e1） （e

16、1为幺元）=（xe1）（xe1） （对分配律）=xx （e1为幺元）12设X=a，b，c，d，和分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：算表如下：AbcdaAaaabAbabcAaccdAbcdabcdaabcDbbbdDccdcDddddD取S1=b，d，S2a，d，S3=b，c，问 1 ， ， > ， 2 ， ， > ， 3 ， ， > ，分别是 ， ， > 的子代数系统吗？为什么？ bdbbbdbd 解 bdbbddddbcbbdcdccaadab13设< X，*>*是X上的二元运算。若a，b，cX，有a*a = a且（a*b）*（c*d）=（a*c）

17、*（b*d）证明：a*（b*c）=（a*b）*（a*c）证 对任何a，b，cX，a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（幂等性a*a=a）=(（a*b）*（a*c）=（a*b）*（c*d）=（a*c）*（b*d）利用14设 ， * > 是代数系统， * 是 X 上的二元运算， R 是 X 上的等价关系。若 a ， b ， c ， d X 当（ a ， b ） R 且（ c ， d ） R 时，有（ a * c ， b * d ） R ，则称 R 是 X 上关于 * 的同余关系，称 R 产生的等价类是关于 * 的同余类。 考察代数系统 ， +> ， I 是整数集合，十是整数加法。问以

18、下的元关系是 I 上的关于十的同余关系吗？ a R=（x，y）|x，yI且（x0且y0或（x0且y0）b （x，y）|x，yI且（x0且|xy|10c （x，y）|x，yI且（x=0且y=0）或（x0且y0）d （x，y）|x，yI且xy解 a 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）R且（1，1）R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R。b 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =90，| 1-8 | = 710，故有（-8，1）R且（1，8）R。但| -8-8 | =1610，所以-8，8

19、Rc 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）R且（1，1）R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）Rd 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有87，从而（8，7）R，但78，故（7，8）R。15设S=a，b，X=25，Y=0，1，。证明：Y是X的同态象。证 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：h：2S0，1h（Ø）=0h（a）=0，h（b）=1，h（S）=1容易验证：h（AB）=h（A）h（B）h（AB）= h（A）h（B）（A，BS）h（A）=并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。16设R是实数集合，十和

20、X是实数的加法和乘法。X=R，+，Y=R，x，问Y是否是X的同态象。答 Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0R，由h是满射的，可知存在着r0R，使h（r0）=0，于是对任何rR，由于r-r0=r+（-r0）R，所以h（r）=h（r0+（r-r0）=r| rR（ErR）（h(r= r）=0R17设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=N，x，Y=0，1，x，证明：Y是X的同态象。证 如下构造的函数h是一个从X到Y的同态h：N0，1于是 h（2m×2n）=h（2·2mn）=0=0×0=h（2m）×h（2n）h（2m×（2n

21、-1）=h（2·m（2n-1）=0=0×1=h（2m）×h（2n-1）h（2m-1）×（2n-1）=h（2（mn-m-n+1）-1）=1=1×1=h（2m-1）×h（2n-1）所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。18设S=a，b，c，X= Ø，S，Y=a，b，S，。问X和Y是否同构，为什么？答 X和Y不同构。因为Y=a，b，S，不是代数系统，补运算 关于a，b，S不封闭，这可见下表：a,bcSØ而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统，矛盾。19设X，*和Y，是两个代数

22、系统，*和分别是X和Y上的二元运算，且满足交换律，结合律。f1和f2都是从X，*到Y，的同态函数。令h：XYh（x）=f1（x）f2（x）证明：h是从X，*到Y，的同态函数。证 对于任何a，bX，h（a*b）=f1（a*b）f2（a*b）（h的定义）=（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（f1和f2是同态函数）=（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（的结合律）=（f1（a）f2（a）（f1（b）f2（b）（的结合律）=（f1（a）f2（a）（f1（b）f2（b）（的结合律）=h（a）h（b） （h的定义）20设X，f1，Y，f2，Z，f3是三个代数系统。f1，f2，f3分别是X

23、，Y，Z上的二元运算。证明：若h1是从X，f1到Y，f2的同态函数，h2是从Y，f2到Z，f3的同态函数，则h2oh1是从X，f1到Z，f3的同态函数。证 对于任何x，yX，（h2h1）（xf1y）= h2（h1（xf1y）= h2（h1（x）f2h1（y）（h1是X，f1到Y，f2的同态）= h2（h1（x）f3h2（h1（y）（h2是X，f2到Y，f3的同态）=（h2h1）（x）f3（h2 h1）（y）所以h2h1是从X，f1到Z，f3的同态函数。21设S，*是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。证 因为S，*是有限含幺半群，故可设s=s0=e，s1，sn-1则

24、在*的运算表中，对庆于任何si，sjs（sisj，0i，jn-1）的两行为：si*s0，si*s1，si*sn-1；sj*s0，sj*s1，sj*sn-1为证此两行互不相同，只需证明（k）（0kn-1si * sksj * sk）即可。而这样的k是存在的，只需取k=0即得：si*s0=si*e=sisj=sj*e=sj*s0从而，由si，sjs的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。关于列的结论，同理可证。22设k是一正数，Nk=0，1，2，k-1，*k是Nk上的一个二元运算。a，bNk，a*kb=（a×b）modk。a 当k=6时，写出*6的运算表；b 证明：对任意的正整

25、数k，Nk，*k是半群。a 解 *6012345000000010123452024024303030340420425054321b 证 1）*k是Nk上的二元运算由于0（a×b）modkk，故a*kbNk，即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一（因为若有i=（a×b）modk，j=（a×b）modk，则0kk，0jk，a×b=kr1+i，a×b=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-i，故此k|j-i，但是0j-ik（因为ji）故只能j-i=0，因此j=i。2）*k满足结合律因为对于任何a，b，cNk（a

26、 *k b）*k c=（a×b）modk *k c=（a×b）modk ×cmodk=（a×b×c）modk=a×（b×c）modk modk=a*k （b×c）modk=a*k（b*k c）综合1），2）可得Nk，*k是半群23设S，*是半群，as。在s上定义二元运算如下x，ys，xy=x * a * y证明：S，是半群。证 （a）是s 上的二元运算由于S，*是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由的定义可知具有封闭性和运算结果唯一性。（b）满足结合律对于任何x，y，zs（xy）

27、z =（x * a * y）z=（x * a * y）* a* z= x * a *（y * a * z）（*运算的结合律）= x * a *（y z）=x（y z）综合（a），（b）可知S，是半群。24设S，*是半群。证明：s中至少有一个幂等元。证 因为S，*是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素ys，都有y2=y*ys，y3=y2*ys,。又由S，*是有限的，可知s是有限集，所以存在着ji，使得yj=yi，从而令P=j-i，那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，也就是对任何gi，都有yg=yp*yg。所以，从p1总可找到k1，使kpi。故此

28、，令x=ykps，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：x * x=ykp * ykp=（yP+ * y(k-1 p）*ykp（利用上述性质）=y(k-1 p * ykp=yp * ykp=ykp=x25设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下x，yR，x*y=x+y+xy证明：R，*是含幺半群。证 （1）*运算是实数集R上的二元运算。因为普通实数加法+和乘法×都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。（2）*运算满足结合律。对于任何x，y，zR，因为（x*y）*z =(x*y+z+(x*yz=（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z=x+y+z+xy

29、+xz+yz+xyzx（y*z）=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）=x+y+z+xy+xz+yz+xyz所以 （x*y）*z=x（y*z）（3）0R为幺元对于任何xR 因为0*x=0+x+0·x=xx*0=x+0+x·0=x故此 0*x=x*0=x综合（1）（2）（3）证得R，*是含幺半群。26设S，*是可交换半群。证明：x，yS，若x，y是幂等元，则有（x*y）*（x*y）=x*y。证 （x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可结合）=x*（x*y）*y （*可交换）=（x*x）*（y*y） （*可结合）=x*y （x，y为幂

30、等元）27设S，*是半群。，ys，若xy，则x*yy*x。证明：a xs，有x*x=xb x，ys，有x*y*x=x；c x，zs，有x*y*z=x*z；证 对任何x，ys若x*y=y*x，则x=y（否则xy，于是x*yy*x，矛盾）。a 对任何xs，因为（x*x）*x=x*（x*x） （*可结合）所以 x*x=xb 对任何x，ys，（x*y*x）*x =x*y*（x*x） （*可结合）=x*y*x （由a）=（x*x）*y*x （由a）=x*（x*y*x） （*可结合）所以 x*y*x=xc 对任何x，y，zs，有（x*y*z）*（x*z）=x*y*（z*x*z）（*可结合）=x*y*z （

31、由b）=（x*z*x）*y*z（由b）=（x*z）*（x*y*z）（*可结合）所以 x*y*z=x*z28设S，*是半群。证明：x，y，zs，若x*z=z*x且y*z=z*y，则（x*y）*z=z*（x*y）。证 对任何x，y，xs （x*y）*z=x*（y*z） （*可结合）=x*（z*y） （y与z可交换）=（x*z）*y （*可结合）=（z*x）*y （x与z可交换）=z*（x*y） （*可结合）29设x，y，*是半群，x*x=y。证明：a x*y=y*x；b y*y=y。证 a x*y = x*（x*x） （因x*x=y）=（x*x）*x （*可结合）=y*x （因x*x=y）b y*

32、y=（x*x）*y （因x*x=y）=x*（x*y） （*可结合）根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y若 x*y=x，则y*y=x* （x*y）=x*x （由x*y=x）=y （由x*x=y）若 x*y=y，则y*y=x*（x*y）=x*y（由x*y=y）=y（由x*y=y）因此 无论如何，y*y=y 。30S，*是半群。若有as，xs，u，QS，使得a*u=v*a=x证明：S，*是含幺半群。证 只需证明半群S，*中含有幺元即可。取x= a，那么，存在ua，vas，使a*ua=va*a=a对于s中任一元素b，那么存在u b，vbs，使得a*ub=vb*a=b于是 bua=（vb*a

33、）*ua （因vb*a=b）=vb（a*ua） （*可结合）=vb*a （因aua=a）=b （因ub*a=b）所以ua是右幺元。并且 vab=va*（a*ub）（因a*ub=b）=（va*a）*ub（*可结合）=a*ub （因ua*a=a）=b （因a*ub=b）所以va是左幺元。但是将b*ua=b中的b取为ua，则有va* ua =va；将va*b=b中的b取为ua，则有va*ua=ua；故此，可得 ua=va。所ua（=va）是S，*的幺元。从而，S，*是含幺半群。31设S，*是含幺半群。Zs，z是关于*的左零元。证明：xs，x*z也是关于*的左零元。证 由于z是关于*的左零元，所以对于

34、任意as，都有z * a=z因而 对任何xs，对任何as，都有（x*z）*a=x*（z*a）（*可结合）=x*z（z为左零元，z*a=z）这说明x*z也为左零元。32设S，*是含幺半群。Ss=f | f :ss，）是函数的合成运算。a 证明：S s，*是半群；b 证明：存在从S，*到Ss，的同态函数。证 a 由于是函数的合成运算，而Ss=f | f:ss是所有从s到s的函数的集合，因此运算封闭且运算结果唯一；并且运算当然具有结合律，故此S s，是一半群。b 令h : sss，对于所有的ash（a）=fa；这时fa : ss，对于任何xs有fa（a）=a*x由于S，*是半群，故*是s上的二元运算

35、。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的fa后者唯一，是从s到s的函数，即fass。因此h的定义是良定义的。对于任何a，bs h（a*b）=fa*b而对于任何xs，（x）fa*b（x）=（a*b）*x=a*（b*x） （*的结合律）= a*（fb（x）= fa（fb（x）=（fafb）（x）所以，有 fa*b= fafb，因此，h（a*b）=fafb=h（a）h（b）。故此h满足同态公式。因而存在从到Ss，的同态函数。33设f是从半群X，*到Y，的同态函数，证明：若x是X中的幂等元，则Y中也存在幂等元。证 由于f（x）f（x）=f（x*x） （f是同态函数，满足同态公式）=f（x）（因

36、x是幂等元，故x*x=x）且f（x）Y，故此f（x）是Y中的幂等元。即Y中也存在幂等元。34设f是从半群X，*到Y，的同态函数，问下列结论是否为真。a X，*在f下的同态象是Y，的子代数系统；b X，*在f下的同态象是半群；c 若X，*是含幺交换半群，则X，*在f下的同态象也是含幺可交换半群。解 a 真。因为1）f（X）Y。这点是根据事实f : XY得出的。2）集合f（X）在运算下是封闭的，即，如果a，bf（X），那么abf（X）。因为若a，bf（X），那么存在着x，yX，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X在*运算下封闭（因X，*为半群）可知存在着某一zX，使z=x*y因此ab=f（

37、x）f（y）=f（x*y）（f是同态函数，满足同态公式）=f（z）f（）运算结果的唯一性是自动遗传，因为Y，至少是一代数系统，故应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。故由1）和2），可知X，*在f下的同态象f（X），是Y，的子代数系统。b 真。因为3）运算在集合f（X）上满足结合律，即，如果a、b、cf（X），那么（ab）c=a（bc）。因若a，b，cf（X），那么存在着x，y，zX，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此（ab）c=（f（x）f（y）f（z）=f（x*y）f（z） （f满足同态公式）=f（x*y）*z） （f满足同态公式）=f（x*（y*z） （X，*为半群，*运

38、算有结合律）=f（x）f（y*z） （f满足同态公式）=f（x）（f（y）f（z） （f满足同态公式）=a（bc）于是由a的1），2）及这里的3），可知X，*在f下的同态象f（X），是半群。c 真。因为4）f（X），含有幺元，即 若eX是含幺半群X，*的幺元，那么f（e）f（X）就是f（X），的幺元。因为对任何af（X），存在着xX，使f（x）=a，故此af（e）=f（x）f（e）=f（x*e） （f满足同态公式）=f（x） （x*e=x）=a同理可证f（e）a=a，因而af（e）=f（e）a=a。5）运算在f（X）上满足交换律，即，对任何a，bf（X），都有ab=ba。因若a，bf（X）则存

39、在着x，yX，使f（x）=a且f（y）=b，因此ab=f（x）f（y）=f（x*y）（f满足同态公式）=f（y*x）（X，*是含幺可交换半群，故*有交换律）=f（y）f（x）（f满足同态公式）=ba综合a 的1） 2），b）的3），和这里的4）和5），可知，若X，*是含幺可交换半群，则X，*在f下的同态象f（X），也是含幺可交换半群。35设N6=0，1，2，3，4，5，N6上的+6运算定义如下a，bN6，a+6b=（a+b）mod6求子半群N6，+6的运算表如下：+6012345001234511234502234501334501244501235501234从运算表看出N6，+6是一循环半

40、群，生成元是1，5。因而除两个平凡子半群0，+6及N6，+6外，任何包含1或5的子集都不能构成真子半群。所以考虑0，2，3，4的子集，由于2+63=5，3+64=1，故此任何包含2或4的子集中不能包含3。另外2+62=4，3+63=0，4+64=2，故此单元素集上运算+6不封闭。因而N6，+6的真子半群只有二个0，3，+6及0，2，4，+6，它们的运算表如下：+6024002422404402+60300333036证明：含幺半群的子半群可以是一 个含幺半 群，但不一定是子含幺半群。证 N6，+6是一 个含幺半群，其幺元为1。运算表如下：X601234500000001012345202402

41、43030303404204250543214，2，x6是N6，+6的子半群，并且是含幺半群，其幺元为4 运算为但是它不是N6，+6的子含幺半群，因为N6，+6的幺元| 4，2。x642442224幺元不遗传37设S，*是含幺半群，幺元为eS1=x| xS且yS（y*x）=e证明：S1，*是S1，*的子含幺半群。证 1）集合S1在运算*下是封闭的，即，若x1，x2S1，则x1*x2S1。因若x1，x2S1则x1，x2S，存在着y1，y2使y1*x1=e，y2*x2=e。于是有x1*x2S（S在*运算下封闭，因S，*是半群），并且存在着z=y2*y1，使z*（x1*x2）=（y2*y1）（x1*

42、x2）=y2*（y1*x1）*x2 （的结合律）=y2*（e*x2）=y2*x2（e是幺元，e*x2=x2）=e故此x1*x2s。2）*运算在S1上满足结合律，这点由*运算在S上的结合律遗传而来。3）S1，*含有S，*的幺元e。因为eS，且存在着e使e*e=e，所以eS1。综合上述1），2），3），证得S1，*是S，*的子含幺半群。38写出所有不同构的一阶，二阶，三阶，四阶，五阶，六阶，七阶，八阶群。解 由于素数阶群是循环群，故此一阶，二阶，三阶，五阶，七阶群各只有一个，其运算表分别如下：*eaeeaaae*eabeeabaabebbea*eee一阶群 二阶群 三阶群*eabcdeeabcda

43、abcdebbcdeaccdeabddeabc*eabcdfgeeabcdfgaabcdfgebbcdfgeaccdfgeabddfgeabcffgeabcdggeabcdf五阶群 七阶群四阶群已知有两个，一个是循环群，一个是Kiein4群，其运算表如下：*eabceeabcaabcebbCeAcceaB*eabceeabcaaecbbbceaccbae四阶循环群 Klein四群而六阶和八阶的情况比较复杂。我们先来讨论六阶群的情况：（一）（1）六阶群G，*一定有三阶子群。对于| G |=6，6的正因子只有1，2，3和6。若G=是6阶循环群，则H= 2 > 是一个三阶子群；若 G 不是循环

44、群，则 G 中非幺元的阶只能是 2 或 3 。若 G 中有一个非幺元 b 的阶是三，则 H= 是G的一个三阶子群。若G中非幺元的阶都是二，则对任何a，bG，并且a和b是不同的非幺元，就有 a2=e ，b2=e ， （）2=e从而 a-1=a ，b-1=b， （a*b）-1=a*b又因为（a*b）-1=b-1*a-1=b*a，所以a*b=b*a，所以G是交换群。现在来考察G的子集H=e，a，b，a*b，这里a，b是G中的两个不同的非幺元。显然a*be，a，b，（如a*be，否则，有a-1=b，又a-1=a，从而a=b 与a与b不同矛盾。余者同理可证）*关于H的运算表如下：*eaba*beeaba

45、*baaba*bbbba*bea*ba*bde（运算表利用G的可交换性来编制）所以H在*运算下封闭， ， * > 实际上与 Klein 四群同构。于是 H 是 G 的一个四阶子群，根据 Lagrange 定理，必有 4 | 6 ，这不可能。因此 G 中非幺元都是二阶的。 （2）偶阶群G，*一定含有一个二阶的非么元（见41题）即含有二阶子群。（3）若任何群G，*的子群H，*在G中的指数为2，则H，*为正规子群，即HG。（见58题（a）设六阶群的含有的三阶子群为H1=a=e，a，a2 二阶子群为G2=b=e，b，令H=H1H2，即H=e，aa2，b，ab，a2b（这里a*b简记为ab，a2*

46、b简记为a2b，以下类同，不再交代）。由于a，b分别是三、二阶元素，故H1H2=e。容易验证H=H1H2中6个元素是两两不同的（例，如a2b，否则a2=bH1H2=e，矛盾。略验证）。所以 G=H=H1H2。下面分两种情况来讨论：（a）若a*b=b*a，这时G是交换群，又由于a*b=ab是阶元素，因此G是六阶循环群。利用G的可交换性及a3=e，b2=e可构成*运算的运算表发下：*eaba2baa2beeaba2baa2bababa2baa2bea2a2baa2beabbbaa2beaba2aaa2beaba2ba2ba2beaba2ba它与N6，+6同构，同构函数f : GN6 f（e）=06

47、，f（ab）=16，f（a2）=26，f（b）=36，f（a）=46，f（a2b）=56。（b）若a*bb*a，这时G是非交换群。由于H1=a=e，a，a2在G中指数| G|/| H1| =6/3=2，所以H1G。因此对于bG，aH1根据正规子群的条件可知b-1ab=babH1（因为b2=e，故b-1=b）显然可得bab= a2（否则，若bab=e，则a=（b-1）2=b2=e，矛盾；同样，若bab=a，则ab=b-1a=ba，于是G是交换群，矛盾）。故此ab=b-1a2=ba2。利用b2=e，a3=e，b-1=b及bab=a2，ab=ba2 等可编制*的运算表如下，计算过程如右：*eaba2

48、baa2beeaba2baa2bababa2baa2bea2a2baa2beabbbaa2beaba2aaa2beaba2ba2ba2beaba2bab*a2b=abb=ab*a=babb-1=a2ba2b*a2b=a2abb=ea2b*ab=a2b=aa2b*a=aba2b=aba2b*a2=aabb=a2ab*ab=aa2=eab*a=ba2a=bab*a2=aab=a2b它与三次六阶对称群S3，同构，其中s3=e，2，2=p1，p2，p3，p4，p5，p6 =（123），=（12），e=（1）同构函数f : GS3，f（e）=e=p，f（b）=p2，f（a2b）=2=p3，f（ab）=p4，f（a）=p5，f（a2）=2=p6所以，六阶群只有六阶循环群及三次六阶对称群S3，（二）（1）八阶群G，*一定含有四阶子群。对于| G |=8，8的正因子只有1，2，4和8。若G=a是8阶循环群，则H=a是一个四阶子群；若G不是循环群，则G中非幺元的阶数只能是2或4。若G中有一有一个非幺元b的阶是四，则H=b是G的一个四阶子群，这样得到的都是四阶循环群。若G中非幺元的阶都是2，则对任何a，bG，并且a和b是不同的非幺元，就有a2=e，b2=e，（a*b）2