子主题三 分离系数法与一次方程组的解

1、子主题三 分离系数法与一次方程组的解 学习目的进一步了解解二元一次方程组的原理消元，并能够将这一原理用到三元一次方程组的解法中；探索一般的二元一次方程组的解法，能够用分离系数法即借助行列式表示二元一次方程组的解类比二元一次方程组的解探索出具体的三元一次方程组的解；认识到引入行列式符号对于直观表达一般的二元一次方程组的解的意义经历用分离系数法求解一次方程组的过程，体验分离系数法研究相关数学问题的巧妙性，增进对数学学科的理解和认识，通过主题探究活动，提高数学学习的兴趣，激发数学学习的热情，通过自主探究和交流合作，切实改变自己的学习方式，提高数学学习的效率和质量 重难点分析用消元法处理三元一次方程组

2、的系数；用分离系数法求解二元一次方程组，体会用行列式表达二元一次方程组的解的好处；解三元一次方程组的原理与二元一次方程组相同，关键在于如何根据系数特点灵活而耐心地选择消元的方法；一个二元一次方程组的解取决于其系数（包括常数项），可以通过分离系数法让学生解决几个系数相同、字母不同的二元一次方程组的活动突出这一重点观察并发现具体的二元一次方程组的解与系数的关系的特征并用行列式的方法表示具体的二元一次方程组并不困难，难在学生是否能够观察出二元一次方程组的解与其系数（包括常数项）的关系，从而感受到用行列式的方法表示这种一般的二元一次方程组的解价值建议通过让学生解决几个系数相同、字母不同的二元一次方程组

3、的活动克服这一难点，同时注意引导学生之间的合作交流，对一般的二元一次方程组的解的讨论 活动建议方案分离系数法与一次方程组的解活动建议方案一、活动流程框图分离系数法与一次方程组的公式解法一次方程组的常规解法分离系数法解一次方程组二、活动过程活动任务本主题通过观察识别一次方程组中系数的特征，会用分离系数法解一次方程组，体会分离系数法解一次方程组的特点，在探究中加深对分离系数法的理解探究活动采用小组合作的方式进行，并以小组为单位制定实施方案，进行探究和交流，在活动中还要对新发现的问题进行探究，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，训练思维的灵活性和开放性本探究活动共设计了两个部分，分别是一次方程组的

4、常规解法和用分离系数法解一次方程组2.1活动1：二(三)元一次方程组的解再认识活动内容第一步：提出探究任务请同学对已经学习过的解二元一次方程组的方法进行总结、整理，以此为基础探究如下问题：第一，解二元一次方程组的常用方法是什么？选择每种方法的原则是什么？第二，能否从二元一次方程组的概念和解法出发，给出三元一次方程组的定义，并探求其解法？第二步：小组合作探究请同学以小组为单位围绕上述任务进行合作探究，根据情况不妨给学生提出如下建议：第一，每个人首先独立思考，建议对每种常见的解二元一次方程组的方法配以相应的例子说明；第二，小组交流的重点在于讨论选择解二元一次方程组方法的原则，建议通过具体例子的方式

5、说明；第三，可以通过一个例子对三元一次方程组的概念及解法进行解释和探索；第三步：集体交流选择23个小组面向全班进行汇报，老师带领全班进一步完善、总结建议从如下几个方面进行总结：第一，常见的解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法，遇到具体的二元一次方程组，需要根据其系数特点进行选择，以计算简单为宜；第二，就像解二元一次方程组需要把它转化为一元一次方程一样，解三元一次方程组需要将其转化为二元一次方程组，实现转化的途径也是代入消元法和加减消元法参考资料1二元一次方程组含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程把两个二元一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个

6、二元一次方程组二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决常用的有代入消元法和加减消元法2三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，且含有的未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组3消元法一般包括代入消元法和加减消元法加减消元法：利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，使方程组中减少一个未知数若是三元以上的一次方程组，可以反

7、复进行加减消元，直到方程组中只含有一个未知数而得以求解 代入消元法：代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另外若干未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数若是三元以上的一次方程组，可以反复进行代入消元，直到方程组中只含有一个未知数，从而得到方程组一个解。代入消元法简称代入法。活动组织方式本活动的组织首先由教师提出探究任务学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；最后进行集体交流，学生充分发表自己的意见，引导其他学生倾听，在讨论后由教师点拨提升活动评价方式在完成两个活动后，从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价和学

8、生自评的方式学生根据过程性学习评价表和对自己的探究过程与结果进行自评，并完成学习效果测试；教师根据学生课上的探究情况和完成学习效果测试的情况，对学生进行评价所需学习资源代入消元法解二元一次方程组.swf加减消元法解二元一次方程组.swf代入消元法解二元一次方程组例题（1）.swf代入消元法解二元一次方程组例题（2）.swf加减消元法解二元一次方程组例题（1）.swf加减消元法解二元一次方程组例题（2）.swf一次方程组的解法技巧.doc行列式解二元一次方程组.doc利用行列式解二元一次方程组.swf展开行列式例析.doc行列式解方程组例析.doc所需学习时间20分钟2.2活动2：分离系数法解一

9、次方程组活动内容第一步：提出探究任务向同学出示如下方程组： 请同学求这些方程组的解，并提出问题：解这些方程带给我们的启示是什么？第二步：小组合作探究请同学以小组为单位完成如上探究任务，给学生提出如下研究建议：第一，首先解出这些方程组，比较它们的解的异同，给出解释；第二，讨论一般的二元一次方程组如何表示，它的解是什么样的？第三步：全班集体交流，教师总结建议从如下几个方面进行总结：第一，由探究任务中的三个方程组可知，方程组的解与未知数的系数有关，而和表示未知数的字母无关第二，一个一般的二元一次方程组可以表示为：，它的解是： 注意这里的隐含条件是ad-bc0当ad-bc=0时，即时，方程组无解或有无

10、数组解第三，教师向学生介绍行列式的基本知识，不要求学生掌握，只要初步知道就可以行列式：在数学上有一种非常直观地将一个二元一次方程组的解与方程组中的系数和常数的关系表示出来的符号，叫做二阶行列式：它的值为ad-bc，这样，的解就可以表示为：参考资料1. 二元一次方程组的一般形式和代入消元法求解过程由两个二元一次方程组合在一起，就构成了一个二元一次方程组二元一次方程组的一般形式为：ax+by=e cx+dy=f 当ad-bc0时，可以采用代入消元的方式求解将变形可得：y= 将式代入式中可得cx+d=f 求解式可得：x= 再代入或式中可解得：y= 即二元一次方程组的解为：x= y= 当我们知道了二元

11、一次方程组中两个方程所含未知数的系数和等号右边的常数项时，就可以直接通过以上的方法写出方程的解因此我们可以用分离系数的方法求解二元一次方程组2. 二元一次方程组的一般形式和加减消元法求解过程由两个二元一次方程组合在一起，就构成了一个二元一次方程组二元一次方程组的一般形式为：ax+by=e cx+dy=f 当ad-bc0时，可以采用加减消元的方式求解将式乘以d，式乘以b可得：adx+bdy=de bcx+bdy=bf 再用-得到：adx-bcx=de-bf可解得：x= 再代入或式中可解得：y= 即二元一次方程组的解为：x= y= 当我们知道了二元一次方程组中两个方程所含未知数的系数和等号右边的常

12、数项时，就可以直接通过以上的方法写出方程的解因此我们可以用分离系数的方法求解二元一次方程组3. 三元一次方程组的一般形式和代入消元法求解过程方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这就构成了一个三元一次方程组三元一次方程组的一般形式为：a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 可以采用类似二元一次方程组的代入消元的方法求解将变形可得：z= 将式代入、式中可得a2x+b2y+c2=d2 aIx+b3y+c3=d3 整理可得：(a2 )x+(b2)y = d2(a3 )x+(b3)y = d3 这样就将一个三元

13、一次方程组转化成了一个二元一次方程组解这个二元一次方程组可得：xy再将以上x、y的解代入或或式中可解得：z即方程组的解为：xyz可以看出，三元一次方程组和二元一次方程组一样，当知道了每个方程中未知数的系数和等号右边的常数项时，方程解可以由这些数直接计算得到因此我们可以用分离系数的方法求解三元一次方程组4. 三元一次方程组的一般形式和加减消元法求解过程方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这就构成了一个三元一次方程组三元一次方程组的一般形式为：a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 可以采用类似二元一次方

14、程组的加减消元的方法求解将式乘以c2，式乘以c1，可得：a1c2x+b1c2y+c1c2z =d1c2 a2c1x+b2c1y+c1c2z =d2c1 式减式得：(a1c2- a2c1)x+(b1c2- b2c1)y =d1c2- d2c1 将式乘以c3，式乘以c2，可得：a2c3x+b2c3y+c2c3z =d2c3 a3c2x+b3c2y+c2c3z =d3c2 式减式得：(a2c3- a3c2)x+(b2c3- b3c2)y =d2c3- d3c2 由两式可得二元一次方程组：(a1c2- a2c1)x+(b1c2- b2c1)y =d1c2- d2c1(a2c3- a3c2)x+(b2c

15、3- b3c2)y =d2c3- d3c2这样就将一个三元一次方程组转化成了一个二元一次方程组解这个二元一次方程组可得：xy再将以上x、y的解代入或或式中可解得：z即方程组的解为：xy.z可以看出，三元一次方程组和二元一次方程组一样，当知道了每个方程中未知数的系数和等号右边的常数项时，方程解可以由这些数直接计算得到因此我们可以用分离系数的方法求解三元一次方程组5. 矩阵与方程组在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出成书于西汉末东汉初的九章算术用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵在消元过程中，使用的把某行

16、乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换但当时并没有现在理解的矩阵概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式6.无解的二元一次方程组对一般的一元二次方程，ax+by=e cx+dy=f 我们可以用分离系数的方法直接求解，并得到以下结果：x= y= 得到这个结果的前提是：ad-bc0，即 当 = ，且 时，方程组是没有解的例如以下方程组：2x+3y=8 6x+9y=15 方程组中的2个方程实际上不能同时成立，这样的方程组是没有解的7.无数组解的二元一次方程组对一般的一元二次方程，ax+by=e cx+dy=f 我们可以用分离系数

17、的方法直接求解，并得到以下结果：x= y= 得到这个结果的前提是：ad-bc0，即 当 = ，且 = 时，方程组有无数组解例如以下方程组：2x+3y=8 6x+9y=24 其中： = = 实际上这两个方程可以化为同一个二元一次方程一个二元一次方程，在没有其他限制条件的情况下有无数组解8行列式解二元一次方程组在研究用消元法解二元一次方程组中，可得解的公式，显然，这个公式本身还看不出它的明显规律，也不易记忆，所以这个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利记忆呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就可以达到以上目的，由此，可以看出

18、行列式能帮助解决刚才提出的问题1符号叫做二阶行列式，a1、a2、b1、b2叫做这个二阶行列式的元素，a1、a2、b1、b2这四个元素排成二行二列（横排叫行，竖排叫列）例如，a2是位于第二行第一列上的元素，b1是位于第一行第二列上的元素2二阶行列式的展开形式为a1b2a2b1，它的展开方法是，将a1、a2、b1、b2四个数排列成正方形，即可以看出a1b2a2b1是这样两项的和，一项是正方形中实线表示的对角线（叫做主对角线）上两数的积，再添上正号；一项是虚线表示的对角线（叫做副对角线）上两数的积，再添上负号这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则3二元一次方程组的解的行列式表示法，（a1b2a2b10）为简便起见，设，则当D0时，二元一次方程组的解可表示为：活动组织方式本活动的组织首先由教师提出探究任务学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；最后进行集体交流，学生充分发表自己的意见，引导其他学生倾听，在讨论后由教师点拨提升活动评价方式在完成两个活动后，从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价和学生自评的方式学生根