2019-2020北京市房山区高三上学期期末考试数学试题(含答案)(含答案)

1、房山区2019-2020学年度第一期末期末检测高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项1.已知集合 A x 1 x 2 , B 0,1,2,3，则 AI BA. 0,1B. 1,0,1C. 0,1,2D.-1,0,1,2【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】二集合Ax 1 x 2 , B=0, 1, 2, 3, .AnB=0, 1,2.故选：C.考查运算求解能力,【点睛】本题考查交集的求法， 考查交集定义、不等式性质等基础知识,2 .已知复数Z戈-则z的虚部为A.B.C.D.利用复数的代数形式的运算法则，先求出 z

2、,由此利用复数的定义能求出 z的虚部.1 .2 i i【详解】z2 i .2 i .2 i互，故z的虚部为立33故选：B【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意复数的代数形式的合理运用.3 .等差数列an中，若ai a4 a7 6, Sn为an的前n项和，则S7（）A. 28B. 21C. 14D. 7【答案】C【解析】【分析】利用等差数列下角标性质求得 a,，再利用求和公式求解【详解】等差数列an中，若aa4a76 ,则3a46, a42则S77a414故选：C【点睛】本题考查等数列的前 n项公式，考查化简、计算能力，熟练运用等差数列下角标性质是关键，属于基础题.

3、4 .从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E ,各等级人数所占比例依次为：A等级15%, B等级40%, C等级30% , D等级14% , E等级1% .现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生 中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A. 55B. 80C. 90D. 110【答案】D【解析】【分析】利用抽样比求解x 15 40【详解】设该样本中获得 A或B等级的学生人数为 x,则 -x 110200100故选：D【点睛】

4、本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题5 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）M(左)视图A. 2B. 4C. 233【答案】A【解析】【分析】将三视图还原，利用三棱锥体积公式求解【详解】三视图还原为如图所示的三棱锥：侧面 SBC 底面ABC,D. 4SBC为等腰三角形,一a1 12ABC为直角三角形，故体积 V 2 2 1 3 23【点睛】本题考查三视图及锥体体积，考查空间想象能力，是基础题-5 7t . 5 it.6.右点 M (cos - ,sin )在角 66A 3BA.B.的终边上，则tan2 ()C. .3D. 、. 3【答案】D【分析】tan 的值,再

5、利用二倍角公式求先求出点M的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求出 解【详 解】 M (cos 5- ,sin 5-)即 为 M , 则662 2tan3 tan232.3故选：D【点睛】 本题考查任意角的三角函数的定义，以及二倍角公式，属于容易题.7.已知双曲线C 方程为Q分别在双曲线的左支和右支上,则直线PQ的斜率的取值范围是（A. ( 2,2)1 1B. ( 2,211(,2)U(2,【答案】A利用直线PQ的斜率与渐近【详解】由题双曲线的渐近线线PQ的斜率（，2） U （2,故选：A【点睛】本题考查直线与双曲r r ,8.设a, b均为单位向量，贝C. (， 2) U (2,),满足题意

6、，当直为同一支,勺位置关系,必要而不充分条件C.充分必要条件B.r rr , r 一，a与b夹角为兀一”是 |a b|3较求解线PQ的）为时，交双渐近线斜率，是基础题A.充分而不必要条件D.D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据向量数量积的应用， 利用平方法求出向量夹角，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由a bi点平方得ia+ib+2a?b 3,r_rr_r r_r1即 i+i+2a?b 3,得 2a?b 1, a?b ,2则a与b夹角Q ,3一 “ r , rr -即 a与b夹角为一 是ia b I J3”的充分必要条件，3故选：c.【点睛】本题主要考查充分条件和必要

7、条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义结合向 量数量积的应用进行化简是解决本题的关键.9.如图，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，m为棱AB的中点，动点P在平面BCCiBi及其边界上运动，总有 APDiM ,则动点P的轨迹为（）B.线段C.圆的一部分D.抛物线A.两个点的一部分【答案】B【解析】【分析】 先找到一个平面总是保持与 DiM垂直，取BiB的中点E, CB的中点F,连接AE, EF,在正方体ABCD - AiBiCiDi中，可得AF，面DMD i, MDi,平面AEF即可得出.【详解】如图，先找到一个平面总是保持与D1M垂直，取BiB的中点E, CB的中点F,连接 AE, E

8、F, AF,在正方体 ABCD - AiBiCiDi中，易证 DMAF, DiD ±AF,则有 AF,面 DMDi,同理 MDdAE,则 MDd平面 AEF又点P在侧面BCCiBi及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面 AEF与面BCCiBi的交线段EF .故选：B【点睛】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力.属于基础题.10 .已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名.具体积分规则如表 i所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2.表i田径综合赛项目及积分规则项目积分规则i00米跑以i3秒

9、得60分为标准，每少0.i秒加5分，每多0.i秒扣5分跳（Wj以i.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.0济扣2分掷实心球以ii.5米得60分为标准，每多 0.i米加5分，每少0.i米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名i00米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是：（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为： 100米跑60-15=45分；跳高60+4=64;掷实心

10、球60+15=75;则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70;掷实心球60-5=55 ,则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66;掷实心球60+10=70,则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65,则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11 .已知两点A 2,0 , B 0,2 ，则以线段 A

11、B为直径的圆的方程为 ._ _22【答案】x 1 y 12【解析】分析】根据中点坐标公式求圆心为（1,1）,求两点间距离公式求 AB的长并得出半径为 J2,写出圆的标准方程即可.【详解】直径的两端点分别为(0, 2) , (2, 0),圆心为(1,1),半径为 我,故圆 方程为(x T) 2+ (y - 1) 2=2.故答案为(x - 1) 2+ (y - 1) 2=2 .【点睛】在确定圆的方程时，选择标准方程还是一般方程需要灵活选择，一般情况下易 于确定圆或半径时选择标准方程，给出条件是几个点的坐标时，两种形式都可以.此题 选择标准形式较简单.12 .函数 f(x) =(x + 1)(x a

12、)是偶函数，则 f(2) =【答案】3【解析】由 f( x)= f(x)，得 a= 1, . f(2) = 3.13 .已知数列an满足an 1 an ,且其前n项和Sn?的数列的通项公式 an .【答案】(1)(;)n 1或(答案不唯一)【解析】【分析】判断数列的特征，从数列的性质入手考虑解答.【详解】设数列an的前n项和为Sn,且？nCN*, an+1>an,说明数列是递增数列;Sn 1 Sn,说明数列项为负数；11故数列的通项公式 an ( 1) (一) 1或一(答案不唯一) 2n故答案为：(1) (-)n 1或 (答案不唯一) 2 n【点睛】 本题考查数列的性质，数列的应用，是基

13、本知识的考查.一兀. . _一 ._. 兀14.已知 f(x) cos(2x+ )(0),若 f(x)的取小正周期为 ,右 f(x)< f()212对任意白实数x都成立，则 .【答案】.(2). 6【解析】利用周期公式求解周期，利用函数x2【详解】由题T ，若f (x)< f(一取最大值得 值12一)对任意白实数x都成立，则函数在x12取12最大值，故2 2k122k ,k z ,又 0-626故答案为：，6【点睛】本题考查余弦函数的周期性，考查函数的最值，熟记函数性质是关键，是基础题15.已知函数f (x)2 x, x 1, 2x a,仅 1.当a 1时，函数f(x)的值域是 ；

14、若函数f(x)的图象与直线y 1只有一个公共点，则实数 a的取值范围是 .【答案】 (1). (,1(2). ( 1,1【解析】【分析】(1)分段求值域，再求并集可得 f (x)的值域；(2)转化为f (x) = 2x a在x 1上与直线y 1只有一个公共点，分离 a求值域可得实 数a的取值范围.【详解】(1)当a=1时，即当x< 1时，f (x) = 2x 1 ( 1,1,当 x> 1 时，f (x) = 2-x<1 ,综上所述当a=1时，函数f (x)的值域是(，1,(2)由f x 2 x 1, x 1 ,无解，故f (x) = 2x a在x 1上与直线y 1只有一个公共

15、点，则a 2x 1 x 1有一个零点，即 实数a的取值范围是(1,1故答案为：(，1; ( 1,1【点睛】本题考查了分段函数的应用，同时考查了数形结合解决数学问题的能力，属于中档题，16.已知矩形ABCD中AB 2, AD 1 ,当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍 时,uur uur uurumruuuruuir11AB 2BC 3CD 4 DA 5 AC6BD|的最小值是 ，最大值是【答案】 (1). 0(2). 2. 17【解析】【分析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可【详解】 建立如图所示坐标系B 2,0 ,C 2,1 ,D 0,1,则uuu uur11AB 2BCun

16、ruur uuuruuir3CD 4 DA 5 AC 6BD1 2,02 0,132,04 0, 15 2,162,12 12 32 5 2 6, 2由题意若使模长最大，则2, 242,不妨设为132, 242,uuruuruuur uur1 AB2BC3CD4DA4 2 52 6,256uuu uuir5AC6BD2, 56 0时模长最大为2国1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 61时模长最小值为0故答案为：0; 2折【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查推理能力, 能力，是难题考查计算与推理、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17.

17、如图，在平面四边形 ABCD中，ABBC, AB373, CD 3, sin DBC3、. 314(1)求 sin BDC 的值;(2)求BD , AD的值.【答案】（1）迤；（2） BD77, AD 7【分析】13（1）由同角二角函数基本关系得 cos DBC 一，利用两角和的正弦及内角和定理展开求14解即可(2)利用正弦定理得 BD 7,再利用余弦定理求解【详解】(1)sin DBC 还，sin2 DBC cos2 DBC 1,0 DBC 一,14213cos DBC 一14在 BDC 中，C = , DBC C BDC3， sin BDC sin( DBC C) sin DBC cosC

18、 cos DBC sinC3.3 1 13 _3 4.314 2 14 273 BDCD BD= -=(2)在 BDC中，由正弦定理得，即3J3 J3sin DBC sin C -142解得 BD 7, ABDDBC sin DBC23 3, cos ABD14史,14在 ABD 中，AB 3J3,根据余弦定理,_2_22_AD AB BD 2ABBDcos ABD （3、3）249解得AD 7【点睛】本题主要考查了余弦定理， 正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和 转化思想，属于中档题.18.某贫困县在政府 精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业.该县 农科所为了

19、对比 A, B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A, B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：A： 41.3, 47.3, 48.1, 49.2, 51.2, 51.3, 52.7, 53.3, 54.2, 55.3, 56.4, 57.6, 58.9, 59.3, 59.6, 59.7, 60.6, 60.7, 61.1, 62.2；B： 46.3, 48.2, 48.3, 48.9, 49.2, 50.1, 50.2, 50.3, 50.7, 51.5, 52.3, 52.5, 52.6, 52.7, 53.4, 54.9, 55.6, 56.7, 56.9, 58.

20、7;(1)从A, B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；(2)从B品种茶叶的亩产数据中任取 2个，记这两个数据中不低于55的个数为X ,求X的分布列及数学期望；(3)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B?说明理由.11 2【答案】(1) P(A尸 ；(2)分布列见解析，E(X) ；(3)答案不唯一，见解析 1005【解析】【分析】(1)利用古典概型结合独立事件的概率求解(2)利用超几何分布求解(3)利用平均数和中位数大小比较即可【详解】(1)从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55的有11个，从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55的有4个，1141

21、1设所取两个数据都不低于 55”为事件A,则PIA11 3二120 20 100(2) X的所有可能取值为0,1,2P(X0)=CwC°60C2095P(XC116c _ 32C2095 'P(X2)= cibc2 = 3C2095X的分布列为X01212323P19959512323 2期望 E(X) 0 1 2 199595 5B高等方面叙述理由.如果(3)如果选择A,可以从A的亩产数据的中位数或平均值比选才1B,可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由.【点睛】本题考查古典概型及独立事件的概率，考查超几何分布，理解平均数中位数及方差的意义是关键，是中档题1

22、9.如图，在四麴i P ABCD中，CD 平面PAD , PAD为等边三角形， AD / BC ,AD CD 2BC 2, E, F分别为棱PD , PB的中点.(1)求证：AEL平面PCD;(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值;PG, PC(3)在PC上是否存在点 G ,使彳D DG /平面AEF ?右存在，求 的值，右不存在, 说明理由.17PG 4【答案】(1)见解析；(2) *17; (3)存在， 17PC 5【解析】【分析】(1)证明CD AE和PD AE即可证明(2)取AD的中点O ,连结OP,OB，得OP AD ,以O为原点，以OA、OB、OP所在直线分别为x、y、

23、z轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解PGPCuuur r 口 4AEF的法向量，利用 DG n 0得 一5(3)假设棱PC上存在点G ,使得DG /平面AEF，且设 ,0,1 ,求得平面【详解】(1)因为CD 平面PAD , AD 平面PAD , AE 平面PAD ,所以CD AD , CD AE .又因为 PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PD AE. PD CD D, 所以AE,平面PCD .(2)取AD的中点O ,连结OP,OB ,则易知OB / CD , OB AD , OB OP .因为 PAD为等边三角形，所以 OP AD .以O为原点，以OA、OB、OP

24、所在直线分别为 x、v、z轴如图建系，1 、. 33A(1,0,0),E( ” 万),F(0,1,5),B(0,2,0) P(0,0J3),C( 1,2,0), D( 1,0,0),uur 33 uur 1AE ( 3,0, ) , EF (-,1,0)2 223 3v UUVx z 0rn AE099设平面AEF的法向重n(x, y,z),则： v uuv ，即 22,n EF 01 八x y 02令x 2,得平面AEF的一个法向量n (2, 1,2J3),易知平面PAD的一个法向量为uurOB (0,2,0) uuu ruuurr OB n217cos OB,n uuu r -OB n2J

25、4 1 1217所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为0仅17(3)假设棱PC上存在点G ,使得DG /平面AEF，且设PGuur uuurPG PC，uurPC(1,2,枪,则6(,2 ,73 屈),uurDG (1PGPC【点睛】,2 ,73 J3 ),要使得DG /平面AEF ,则uuur rDG n 2 226 60，得所以线段PC上存在点G ,使得DG /平面AEF ,本题考查线面垂直的判定，考查向量法求解二面角及线面平行问题，考查计算能力，是中档题2220.已知椭圆E： > 4 1(a b 0)的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2). a b(1)求椭圆E的方程以

26、及离心率；(2)若直线y kx m与椭圆E相切于点P ,与直线x 4相交于点Q .在x轴是否存在定点M ,使MP MQ ?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.22【答案】(1)士匕1, e 84【解析】【分析】(1)利用 c 2, b 2, a2(2)设直线方程为y kx m ,坐标 P(-8k,4) 及Q( 4, 4k m m【详解】(1)由已知得，c 2心率为e c 二2 ；a 2(2)在x轴存在定点M , MJ; (2)存在定点M , 2b2 c2 8求解方程与椭圆联立利用判别式等于m),假设存在点M t,0bC 2222, a b c 8为(2,0)使 MP MQ ,M 为(2

27、,0)0得m2 8k2 4 ,并求得切点uuir uumr,利用MP MQ0化简求值22,椭圆的方程为二L 1,离84证明：设直线方程为 y kx m1得x2222(kx m) 8 ,化简得(2k八 2_2_1)x 4kmx 2m 8 0(4km)2 4(2k2 1)(2m2 8) 0,得 8k2 4 m2 0 , m28k2 4,设 P(x°, y°),则 x°2km22k2 1"，y°kMm kk mmm2 一 2m 8k 4,m m8k 4则 P(,),设 Q( 4, y1)，则 y14k m,则 Q( 4, 4k m)m m假设存在点M

28、 t,0uuir uuur8k2MP MQ (x° t,y°) ( t,yj2(x° 2) y。1 t 2 (t 2)0解得 t 2m利用判别式等于0得坐标是解所以在x轴存在定点M2,0使MP【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线的应用,决问题的关键，考查计算能力，是中档题21.已知函数 f(x) (2x 1)ln x x 1.(1)求曲线y f(x)在点(i,f(i)处的切线方程；(2)求证：f(x) 1.【答案】(1) y 2x 2； (2)见解析【解析】【分析】(i)求导得直线的斜率利用点斜式得方程(2)求导构造新函数证明f (x)min 1即可1【

29、详解】(1)由 f(x) (2x 1)ln x x 1,得 f'(x) 2ln x - 3, xf (1) 2, f(1) 0则切线方程为y 2x 2.1,1(2) f'(x) 2ln x 3,x (0,)，令 h(x) 2ln x 3,x (0,), xx212x 1h'(x) 0,故h(x)在(0,)上单调递增.x x x1 e又 h(1) 2 0,h(一) 1 In 4 In - 0 ,又 h(x)在(0,)上连续，2 41 1x0 (,1)使得 h(x0) 0,即 f'(x。) 0,21nx0 3 0. (*)2 x0f '(x), f (x)随x的变化情况如下:x(0,x。)%(x0,)f '(x)0f(x)极小值13f (x)minf(x0) (2x0 1)1nx0 x0 1 .由(*)式得 1nx0 1 号,代入上式得2x0 2f (x)minf(x0)(2x0 1)(t(x)t'(x)2x 2x上22x2t(1)1,.2xo I)% 13.1八一,x ( ,1),22(1 2x)(1 2x)2x2即 f(x0)1 f(x)【点睛】本题考查导数的集合