专题训练(七)四种特殊的等腰三角形的运用

1、专题训练( 七 ) 四种特殊的等腰三角形的运用? 类型一等腰直角三角形定义：有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形性质： (1) 两条直角边相等；(2) 顶角是 90°，底角是45° .判定：利用定义1 如图7 ZT 1 ， 轮船从 B 处以每小时50 n mile 的速度沿南偏东30 °方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75。方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔 A位于北偏东60。方向上，则 C处与灯塔A的距离是 n mile.7 ZT 12 .如图7 ZT 2, ABC和 ADE都是等腰直角三角形， 且/ BAC= Z DAE= 90&#

2、176;，点B, C, D在同一条直线上.求证：BD= CE.7 ZT 23 .如图 7ZT 3,在 4ABC 中，AB= AC, D 是 BC 的中点，BEX AC 垂足为 E, / ABE 的平分线交AD于点F,判断 DBF的形状，并证明你的结论.7 ZT 34 .如图 7ZT 4,在 RtABC中，/ BAC= 90° , AC= 2AB, D是 AC的中点.将一块含 45。角的三角尺 ADE按如图所示方式放置，使三角尺余边的两个端点分别与点A, D重合,连接BE, EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.7 ZT 4? 类型二等边三角形定义：三边都相等的三

3、角形叫做等边三角形性质： (1) 三边都相等；(2) 三个角都是60° .判定： (1) 定义； (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(3) 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形5 .如图 7ZT 5 所示，在 ABC 中，AB= AC, / A= 120° , BC= 6 cm, AB 的垂直平分 线交BC于点M交AB于点E, AC的垂直平分线交 BC于点N,交AC于点F,则MN的长为()A 4 cm B 3 cm C 2 cm D 1 cm图 7 ZT 56 .如图 7 ZT 6,在4ABC中，AB= AC, D, E是4ABC内两点，AD平分/ B

4、AC / EBC = /E= 60° .若 BE= 6 cm DE= 2 cm 则 BC=cm图 7 ZT 67 .如图7ZT 7, ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，/ AEB 60° , EF交 等边三角形的外角/ ACD的平分线于点F.求证：AE= EF.图 7 ZT 7? 类型三有一个角是30°的等腰三角形8 . 2019荆州 如图7 ZT 8,在4ABC中，AB= AC, / A= 30° , AB的垂直平分线 l 交AC于点D,则/ CBD的度数为（）A 30°B 45°C 50°D 75 °图

5、 7 ZT 89 .如图 7ZT 9,在 RtABC中，Z C= 90° , / B= 30° , BC= 3, D是 BC边上一动 点（不与点B, C重合），过点D作DEL BC交AB边于点E,将/B沿直线DE翻折，点B落在 射线BC上的点F处，当 AEF为直角三角形时，BD的长为.图 7 ZT 910 .如图 7 ZT 10,在4ABC中，/ABC= 45° , D是4ABC的边 BC上一点，DC= 2DB, /ADC= 60° , CE! AD 垂足为 E,连接 BE.求证：EA= EB= EC.图 7 ZT 10? 类型四有一角是36°

6、的等腰三角形有一角是36°的等腰三角形包括两种情况：（1） 顶角是36°的等腰三角形，此时底角是72°；（2） 底角是36°的等腰三角形，此时顶角是108° . 这两类等腰三角形具有一些共性11 .如图7 ZT 11,过正五边形 ABCDEE勺顶点A作直线l /BE,则/I的度数为（）A 30°B 36°C 38°D 45°图 7 ZT 11第 2 页12 . 2019 益阳 如图 7 ZJ 12,在 ABC 中，AB= AC, Z BAC= 36° , DE是线段 AC 的垂直平分线，若 BE

7、= a, AE= b,则用含a, b的代数式表示 ABC的周长为 .图 7 ZT 1213 .如图 7 ZT 13 所示，在 ABC中，AB= AC D为 BC上一点，且 AB= BD, AD= DC, 贝U/ BAC= 度.图 7 ZT 1314 .如图7-ZT- 14,在 ABC中，AB= AC, / A= 36° ,称满足此条件的三角形为黄金 等腰三角形.请完成以下操作：(画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括 ABC)(1)在图中画1条线段，使图中有 2个等腰三角形，并直接写出这 2个等腰三角形的 顶角度数分别是 度和 度；(2)在图中画2条线段，使图中有

8、4个等腰三角形；(3)继续按以上操作发现：在图中画n条线段，则图中有 个等腰三角形，其中有 个黄金等腰三角形.图 7 ZT 14详解详析1 .答案25解析由题意知/ ABO45° , Z ACB= 90° ,于是/ A= 45° , ABO等腰直角三 _ 1.角形，. AO BC= 50x 2= 25(n mile).2 .证明：ABCF口4AD瞄是等腰直角三角形，. AD= AE AB= AC又DAB= 90 +Z CAD / EAC= 90 +Z CAD / DAB= / EAC在 ADBF口 AEO43,AD= AE / DAB= / EAC AB= AC.

9、 .AD臣 AE(SAS) , . BD= CE3 .解： DB比等腰直角三角形.证明：AB= AC D是BC的中点,. ADL BC ADW / BAC. BF平分/ ABE BE! AC/1 /1。，。 ./DFB= / DABF Z ABF= 2( Z BA& / ABE = 2(180 -Z AEB = 45 , ./ DBF= 90° -Z DFB= 45° ,. DB= DF . DBF等腰直角三角形.4.解：数量关系： BE= EC位置关系：BEL EC证明：. AE比等腰直角三角形， .Z AED= 90° , / EAD= Z EDA=

10、45° , AE= DE / BAC= 90° ,135 ./EAB= / EADF / BAC 90° +45 = 135 , / EDC / ADG / EDA 180° -45° =/ EAB= / EDC D是 AC的中点，AC= 2CD又. AC= 2AB AB= DCEA望 EDC EB= EC 且/ AEB= / DEC/ BEC= / BEDF / DEC= / BEDF / AEB= / AED= 90° ,即 BEL EC5 . C6 .答案8_ _ _ 一3 一解析延长AD交BC于点M由AB= AC A叶分/ B

11、ACH导AML BC B阵MC= 2BC延长ED交BC于点N,则4 EBN等边三角形，故 EN= BN= BE= 6,. DN= 62=4.在 RtADMtN3, - . Z MDN90 -Z DNIM= 30 ,BM= 62= 4,.BC= 2BM= 8 cm.7 .证明：如图，在 AB上截取AG= CE连接EG.ABB等边三角形，.AB= BC / B= /ACB= 60° ,. BG= BE.BE型等边三角形，/ BGE= 60° ,AGE= 120° .CF平分/ ACD，一 1。，一。，/ACF= 2(180 -Z ACB=60 , ./ ECF= 12

12、0° , .AGE= / ECF / AEC= / B+ / GAE= / AEa / CEF 且/ AEF= / B= 60 / GA号 / CEF. .AG摩 ECI(ASA) , AE= EF8 .解析B -.AB= AC /A= 30 ,/ ABC= Z ACB= 75° .AB的垂直平分线交 AC于点 D,，AA BD，/A= /ABm 30° . . / CBa / ABG /ABD- 75° 30 = 45 .故选 B.9 .答案1或2解析根据题意，得/AEF= 2/B= 60° .(1)当/AFE= 90°时，如图，则

13、/ FAB= 90° -Z AEF= 30° , Z FAB= / B, . .AF= BF-/ B= 30° , . . / BAC= 60° , . . / FAC= 30° . 在 RtFAC中，FC= 1AF= ：BF= 1BC= 1,BF= BC- FC= 2, . BA 1BF= 1; (2)当/ EAF= 22321 _ ,_ _ ,_190时，如图，同理可得 FC= 2AF在RtBAF中，FA= 2BF_ 11_ _1. FC= BF= BC= 1,BF= BO CF= 4. . . BD-2BF= 2.综上所述，BD的长为1或

14、2.10 .证明：. CEL AQ / ADO 60 / DC号 30 ,DC= 2DE DC= 2DBDE= DR, c 1， c o ./ EBC= 2/ ADC= 30 , ./EBC= / ECB= 30 ,EB= EC ./DAB= /ADG /ABC= 15° , / EBA= /ABC- Z EBC= 45° 30 = 15 .Z DAB= / EBA EA= EB. EA= EB= EC11 . B12 .答案2 a+ 3b解析根据题意可知 AC= AB= a+b.D蕾线段AC的垂直平分线，/ BAC= 36° ,./ACE= 36° , / B= Z BEC= 72° ,. BC= CE= AE= b,ABC勺周长=2（ a+ b） + b= 2a+ 3b.13 . 10814 .解：（1）如图所示（画图不唯一）.空