递推数列题型归纳

1、递推数列题型归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I，理22）已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.解：，即， 将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，类型2

2、 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知， ，求。解： 。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，

3、则该数列的通项_（key:）变式:（2006. 福建.理22）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列 即（II）证法一：，得即，得即是等差数列 证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立 （2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立 根据（1）和（2），可知对任何都成立 是等差数列 （III）证明：变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数

4、列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以变式:（2006，全国I,理22）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：解：（I）当时，；当时，即，利用（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：()将代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定

5、系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项

6、为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。变式:（2006，福建,文,22）已知数列满足 （I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足 证明是等差数列 （I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得（III）证明：，得即，得即是等差数列 类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为

7、公差的等差数列，所以变式:（06陕西,理,) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a1

8、5 ， a1=2， an=5n3 变式: (05,江西,文),已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.解：，两边同乘以，可得令 又，。类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.变式:（2006，山东,文,22）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出 若不存在,则说

9、明理由 解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列 （II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列 数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列 解法二：存在，使数列是等差数列 由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列 叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验

10、，才能顺利完成，对学生要求高第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法一、叠加相消类型一：形如aa+ f (n)， 其中f (n) 为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式可移项后叠加相消例1：已知数列a,a0,nN，aa（2n1），求通项公式a 解：a=a（2n1）a=a（2n1） aa =1 、aa=3 、 aa=2n3 a= a(aa)(aa)(aa)=0135(2n3)=1(2n3)( n1)=( n1)2 nN练习1：.已知数列a,a=1, nN，a=a3 n ， 求通项公式a .已

11、知数列a满足a3，nN，求a二、叠乘相约类型二：形如.其中f (n) = （p0，m0,b c = km,kZ）或 =kn（k0）或= km( k 0, 0m且m 1) 例2：已知数列a, a=1，a0,( n1) a2 n a2aa=0，求a 解：( n1) a2 n a2aa=0 (n1) ana(aa)= 0 a0 aa 0 (n1) ana=0 练习2：已知数列a满足S= a( nN), S是 a的前n项和,a=1,求a.已知数列a满足a= 3 na( nN)，且a=1，求a三、逐层迭代递推类型三：形如a= f (a)，其中f (a)是关于a的函数.需逐层迭代、细心寻找其中规律例3：已

12、知数列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通项公式a解： a= 2 a3 n a=2 a3 n-1 =2(2 a3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3 n-3)2·3 n-23 n-1=2 n-2(2 a3 )2 n-3·3 22 n-4·3 32 n-5·3 422·3 n-32·3 n-23 n-1=2 n-12 n-2·3 2 n-3·3 22 n-4·3 322·3 n-32·3 n-23 n-1 练习3:.若数列a中，a=3，且a=a（nN），求通项a.已知数列a的

13、前n项和S满足S=2a+，nN,求通项a四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解类型四：形如= ，（pq 0）且的数列，可通过倒数变形为基本数列问题当p = q时，则有： 转化为等差数列；当p q时，则有：同类型五转化为等比数列例4：若数列a中，a=1，a= nN，求通项a解： 又 ， 数列 a是首项为1，公差为的等差数列=1 a= nN练习4：已知f (n) = ，数列 a满足 a=1，a=f (a)，求a类型五：形如apa+ q ,pq0 ，p、q为常数当p 1时，为等差数列；当p 1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a+ )， 令x =

14、 x = 时，有a+ x = p(a+ x )， 从而转化为等比数列 a+ 求解例5：已知数列a中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、，求通项a解： a= a+ 1 a2 =(a 2) 又a2 = -10 数列 a2首项为-1，公比为的等比数列 a2 = -1 即 a= 2 2 nN练习5：.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4) ，求数列a的通项 . 已知数列a满足a= ，a=，求a类型六：形如apa+ f (n)，p0且 p为常数，f (n)为关于n的函数当p 1时，则 aa+ f (n) 即类型一当p 1时，f (n)为关于n的多项式或指数形式（a）或指数和多项

15、式的混合形式若f (n)为关于n的多项式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c为常数），可用待定系数法转化为等比数列例6：已知数列 a满足a=1，a= 2an，nN求a解：令a+ xa(n+1)+ b(n+1) + c = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2aax)n+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比较系数得： 令x = 1，得： a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) a+1+2×1+3 = 7令b= a+ n+2n + 3 则 b= 2b b= 7 数列 b为首项为7，公

16、比为2德等比数列 b= 7× 2 即 a+ n+2n + 3 = 7× 2 a= 7× 2( n+2n + 3 ) nN若f (n)为关于n的指数形式（a）当p不等于底数a时，可转化为等比数列；当p等于底数a时，可转化为等差数列例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4) ，求数列a的通项a解: a= 2 a+ 3 令a+ x×3= 2(a+x×3) 得 a= 2 ax×3 令-x×3= 3 x = -1 a3= 2(a3) 又 a3 = - 2 数列是首项为-2,公比为2的等比数列=-2·

17、2 即a= 3-2 nN例8：数列 a中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4) 试求通项a解： a=3a+ 3-1 a 3 是公差为1的等差数列=+() = +() = n +a= ( nN若f (n)为关于n的多项式和指数形式（a）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式例如上面的例8练习6:.已知数列a中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求a的通项 设a为常数，且a= 32 a (nN且n 2 )证明：对任意n 1，a= 3+ (-1)2 +(-1)2a类型七：形如a= p a+ q a( pq 0， p、q为常数且p+ 4q > 0 )，可用待定系数法转化为等比数

18、列例9: 已知数列a中a= 1, a= 2且 ,; 求a的通项解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a)令x = x+ x 2 = 0 x = 1或 -2当x = 1时,a+ a=2(a+ a) 从而a+ a= 1 + 2 = 3数列 a+ a是首项为3且公比为2的等比数列. a+ a= 3 当x = - 2时, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0 a- 2a= 0 由、得:a= 2 , 练习7：已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、),求数列 a的通项 已知数列：1、1、2、3、5、8、13、，根据规律求出该数列

19、的通项五、数列的简单应用.例10:设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点A，则: 投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B的概率是多少? 投了四次骰子,棋子都不在顶点B的概率是多少? 投了四次骰子,棋子才到达顶点B的概率是多少？ 分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况 最后一次棋子动；最后一次棋子不动 解： 事件投一次骰子棋子不动的概率为；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B的概率为 =投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B分为两种情况.最后一次棋子不动

20、，即前一次棋子恰在顶点B；.最后一次棋子动，且棋子移动到B点设投了i次骰子，棋子恰好在顶点B的概率为p，则棋子不在顶点B的概率为(1- p)所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在顶点B的概率：p= p×+ (1- p)× i = 1、2、3、4、 p= + ×p p= = p= p= 投了四次骰子,棋子都不在顶点B，说明前几次棋子都不在B点，应分为两种情况最后一次棋子不动；最后一次棋子动，且不到B点设投了i次骰子，棋子都不在顶点B的概率为,则投了i+1次骰子，棋子都不在顶点B的概率为：= ×+ ××(1) i = 1、2、3、4、 即：=

21、 又= +×(1) = = ()投了四次骰子,棋子才到达顶点B；说明前三次棋子都不在B点，最后一次棋子动且到达顶点B设其概率为P则： P = × = ×()= 答：（略）例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完，那么一共用了多少块砖？分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a和剩下的砖块数b，关键是找出a和b的关系式，通过方程(组)求解解：设第i层所用的砖块数为a，剩下的砖块数为b(i = 1、2、3、4、 )则b= 0，且设b为全部的砖块数，依题意，得a=b+ 1，a=b+ 1， a=b+ 1 又 b= a