结构力学矩阵位移法学习

1、第8章 矩阵位移法 ctf 制作同济大学教材笔记(本章答案陆续上传中)一、知识要点： 1.结构坐标系 一般采用右手坐标系，记为。此时，结点位移和结点力均取与结构坐标系方向一致为正，其中结点的角位移和结点力矩按右手法则均取逆时针方向为正。 2.局部坐标系主要注意角的定义，看如下图示即明白。逆时针方向为正 3.桁架单元刚度方程 桁架结构变换矩阵桁架在结构坐标系下的单元刚度矩阵4.刚架单元刚度方程正正负正正正负正负负正负正正负正 5.受轴向力作用的一般刚架单元刚度方程 一般刚架单元刚度方程的坐标变换矩阵转角和弯矩在坐标转换时不会发生变化，即始终有 结构坐标系下的一般刚架单元刚度矩阵 6.为什么已知杆

2、端位移能求得单元的唯一杆端力，而已知杆端力却无法唯一确定杆端位移 这是因为支座位移条件不已知，可能相差一个刚体位移，即位移的绝对值不同。7.坐标转化公式 二、书本例题 例题8-1 试用直接刚度法计算如图所示刚架。设各杆 解：(1)结构标识。单元局部坐标系如图中箭头所示，为局部坐标系原点，为轴正向，各单元基本数据如表中所示。杆单元局部坐标与结构坐标相同，无需坐标转换。单元局部坐标系杆长/m453014(2)建立结点位移向量和结点力向量 ， (3)计算结构坐标系下单元刚度矩阵 (4)生成总刚度矩阵和总刚度方程要标明是哪根杆，2与4结点间是杆，而不是杆桁架的总刚度方程为 (5)建立结构刚度矩阵和结构

3、刚度方程 支座位移边界条件为： 将总刚度矩阵中对应上述边界位移的第1至4行和列删除即得结构刚度矩阵。相应的结构刚度方程为： (6)计算结点位移，由以上结构刚度方程可求得 (7)计算杆端力 以单元为例，其中单元的局部坐标系与结构坐标的方向一致，因此由单元刚度方程得：对于单元，可先求出结构坐标系下的单元杆端力为：局部坐标下的单元杆端力可用 求得(8)计算支座反力，结合考虑已知的支座约束条件可知： (9)校核，考虑桁架的整体平衡： 可见计算无误例题8-2 试用直接刚度法列出图示刚架的结构刚度方程。已知支座有沉降 解 (1)结构标识和结构的基本信息表 各单元的基本数据信息单元杆长截面积惯性矩0(2)建

4、立结点位移向量和结点力向量支座结点处的结点力并不是为零，而是未知的，故用未知力来表示，3支座处的角位移为零 ， (3)计算结构坐标系下的单元刚度矩阵，对于杆可直接写出 单元的刚度矩阵元素项为 单元的刚度矩阵 (4)生产总刚度矩阵和总刚度方程 (5)建立结构刚度矩阵和结构刚度方程。位移边界条件：因，以上所示的五个方程中只有四个未知位移，求解时应将其中的第四个方程删除，得上式等号左边系数矩阵中第四列元素与的乘积构成一列常数项，在求解时应移至等号的右边，并与原右端项合并，于是，有：先处理法进行结构矩阵分析的步骤：(1)结构标识，其中包括对结点和单元编号，设定单元坐标系和结构坐标系(2)建立结点位移向

5、量和结点荷载向量(3)建立考虑位移约束条件后的各单元刚度矩阵(4)组装结构刚度矩阵，建立结构刚度方程(5)求解结构刚度方程，计算结点未知位移(6)计算各单元的杆端力和支座反力(7)计算各单元的杆端力和支座反力如何处理非零边界位移条件 例8-3 试用先处理法建立图所示刚架的结构刚度方程，忽略杆件的轴向变形。 解 (1)结构标识，本例中结构坐标系方向取为与柱单元局部坐标系方向相同，这样，所有相关单元的量就都不需要坐标转换。这是因为忽略了杆件轴向变形，横梁单元刚度矩阵中只包含角位移项而不出现线位移项的缘故。(2)建立结点位移向量和结点荷载向量。重要的一步 ， (3)计算单元刚度矩阵。 (4)建立结构

6、刚度方程。将上述各单元矩阵中的元素按其所对应的位移序号对号入座并叠加，即可求得结构刚度矩阵，并建立结构刚度方程为：例8-4 试用先处理法分析图所示的组合结构。已知材料的弹性模量，横梁的长度各为，横截面惯性矩，拉杆截面积；支座处有顺时针方向转角，支座是转动弹性支座，其转动刚度系数；忽略横梁的轴向变形。解：(1)结构标识。单元局部坐标系的原点，各横梁单元均设在其左端，拉杆单元设在结点2，将支座作为一个特殊单元看待。 (2)建立结点位移向量和结点荷载向量 ， (3)建立单元刚度矩阵。 单元的左端有预定的转角，在计算其单元刚度矩阵时可先暂时将 对应的刚度矩阵元素予以保留。于是，有： 特殊单元的存在使得

7、结点3发生单位转角时需要在方向增加一个力矩，其大小等于转动弹簧的刚度系数。这样，单元的刚度矩阵可表示为：(4)建立结构刚度方程。 先按照对号入座的原则写出保留预定转角时的刚度方程如下： 根据已知条件，。将以上刚度矩阵对应的第一个方程删除，并将与刚度矩阵第一列元素的乘积移至方程的右端与荷载向量合并，得到结构刚度方程如下： (5)计算结点位移。(6)计算杆端力。根据各单元刚度矩阵和刚度方程可求得杆端力如下：(7)校核考虑结点2在竖直方向的平衡，注意到单元对结点的作用力方向与杆端方向相反，则有表面计算无误。本题要注意：支座位移的处理弹性支座的处理混合结构的区别求杆端力使用 单元刚度矩阵和单元刚度方程坐标的转换 等效结点荷载例8-5 试按先处理法列出图示刚架的结构刚度方程，并写出刚架横梁杆端力的矩阵表达式。已知弹簧刚度，其左端发生向右的水平位移为，忽略杆件的轴向变形。单元按两端固定梁计算解：(1)结构标识。单元局部坐标系的原点，各柱单元均设在其上端，横梁单元设在其左端。为避免坐标转换，结构坐标系选为与柱单元局部坐标系同向，将弹簧作为特殊单元看待。(2)建立结点位移向量和等效结点荷载向量。 ， (3)计算单元刚度矩阵。 (4)建立结构刚度方程。 将上述单元刚度矩阵的元素按照其对应的未知结点位移序号对号入座，即可得到结构刚度矩阵，据此可列出结构的刚度方程。 (5)列横梁单元杆端力