2013上海项目工程技术大学高数一

1、/*说明：以下这些题仅供同学们复习所用，它包括了考试题的题型和主要考点， 但其 中没有将要考的试题。做题时，应当明白每道题的解题思路、解题方法，及时复习那些 自己掌握的不牢靠的概念、公式和定理。考试前全面复习是您最好的选择.、填空题1.设f(X)是连续函数,且 f(x) x211f (t)dt，贝u f (x 1)dx002.1| x |1(|x| x)e 1 ldx3.设函数f(x)连续且x2015f(t)dt x，则 f (5)0f(t)dt4.已知 f(x)dx -1c ,则 sin x f (cosx) dx5.微分方程y 2y5y0的通解是6.已知y说是微分方程x的解，则 -yyf(

2、X)有一个特解 y xsi nx，而 y 3y 2y g(x)有一7.设微分方程y3y 2y个特解y ex，则y 3y 2y f (x) g(x)的通解是、单项选择题1.以下等式中，()成立.A. f (x) dx f (x);C. f (x) dx f (x); dxB.D.df(x) f(x);d f (x)dx f (x).f (x)的另一个原函3.4.A . In I ax | ;B.丄“ |ax|; a下列广义积分中收敛的是(ln xdx;e xB.e xj In x).设函数f(X)在a, b上连续，F (x)f (x)是F(x)在a, b上的一个原函数;C.ln |a x |;d

3、xx(ln x)2f (t)dt，贝八).壬(lnx)2 .dxx l n X2.设a是非零常数，如果ln|x|是函数f(x)的一个原函数，那么 数是().F(x)是f(X)在a, b上的一个原函数;C.F(x)是f(x)在a, b上唯一的原函数;f(x)是F(x)在a, b上唯一的原函数.5.设函数 f(x)连续，则 xtf (x2 t2)dt ().dx 0A . xf (x2);2xf (x2).2 2B . xf(x ); C. 2xf (x );26.微分方程y y 3x的特解形式是(2A. y* ax bx c;2C. y* x( axbx c)；B. yD. y7设三阶常系数齐次

4、线性微分方程有三个特角釦 分方程是().)x(ax b)；x2(ax2 Iy2bx2xec).x, y33ex，则此微A. yB. yc. y6y11y 6y 0;D. y2y2y三、计算题1.极限 lim (cosjx)x.x 02.设沁是f(x)的一个原函数，求x3f (x)dx.x3.2x7 arcta n x dx .1 x2/*x4已知yx arcta n1xx2arctant dt ,求0dydx5.(|2x| sin x|)dx.6.(1xe Xe :-vdx.)27.him0ln(1 2)d .8.是由 2x tan(x y)2Qc2tdt所确定的隐函数'求卡9.xx4

5、2x2dx .510.arctan ex dx .11.12r2x 1dx12.lim (x1ex)/*x4.13.x ln(1 x) dx .x214.设函数f(x)2x ?x2,2xxe(e 1)0，求 F(x)2x1f(t)dt.15.求解初值问题yy (y )2y(0) 2, y(0)四、计算题1.已知 f (In X)1 x，求 f(X).2.设 xf (x)dx arcsinxc,求3.1已知f (x)0，求 f(X 2)dx.0 13 /4cscxjsin2xsin4xdx./4*/*5.设x 0 ,确定函数F(X)丄dt的单调区间.6.2x已知f (sin x),求sin xf

6、 ( X)dx .已知曲线yf(x)与曲线yarcta nx0.2e dt在(0, 0)点相切，写出切线的方程，并求极限limnnf8.设limxaxtet dt,求a的值.9.设函数f(X)可导且满足等式f(xt) dt f(x) xsinx,求 f(x).10.a, b, c,设yk的值.(C1 x)ex C2e 2x是微分方程yay by cekx的通解，求常数五、应用题1过曲线y x2 (x 0)上某点A作一切线，使之与该曲线以及X轴所围成的平面图形的面 积为丄.求：切点A的坐标； 过点A的切线方程；(3)上述图形绕X轴旋转所形成的旋12转体的体积.2 圆台形水池，深5米，上底半径4米

7、，下底半径2米，池中水深4.5米.若将 池中水抽干，需作多少功？dt, x ().讨论f(x)的单调性、奇偶性、凹凸区x3. 设函数f (x)0 e间，并确定曲线y f (x)的拐点.4. 求圆r V2cos与双纽线r2 3cos2所围平面图形的公共部分的面积./*16.求圆r acos与心形线r a(1 度.cos )所围平面图形中公共区域的边界曲线的长7.设直线y ax (a 1)与抛物线 线X 1所围成的平面图形的面积为S2.(1) 求常数a的值,使得Si S2最小,(2) 计算与最小值所对应的平面图形绕X2所围成的平面图形的面积为Si，它们与直 并求Si S2的最小值；x轴旋转所成旋转

8、体的体积.8 .一等腰梯形薄板，上底长4米，下底长10米，高为10米，将其垂直放于液体 中后，下底在液面下20米处，求薄板一侧所受的压力.9.求微分方程xdy (X 2y)dx 0的一个解y y(x)，使得由曲线y y(x)与直线x 1, x 2以及x轴围成的平面图形绕(轴旋转一周所得旋转体的体积最小.六、证明题f (x)1 .证明:130f (x)dx .1.设函数f(x)在0,1上可导，f(0)0且01 20 f (x)dx2.设函数f x在0,1上连续，在(0'1)内可导，且3 2/3f (x)dx f (0).求证：至少 存在一点c(°，1)，使得f © 0

9、 .3.设函数f (x), g(x)在a, b上连续，且g(x) 0，利用闭区间上连续函数性质,_bb证明：存在一点 a, b，使得 f(x)g(x)dx f( ) g(x) dx.aa14.设函数f (x)在闭区间a, b上连续，(a, b)内可导，且 b a 证：至少存在一点 (a, b)，使得f ( ) 0 .bf (x) dx f (b).求 a5.设函数(X)是二阶齐次微分方程y y 0满足初始条件y(0) 证明：函数g(x) 0(t) f (x t)dt是二阶非齐次微分方程y yy(0) y (0)0 的特解.0, y (0)1的特解,f (x)的满足初始条件6.设函数yi (x), y2(x), y3(x)都是二阶线性非齐次方程y a(x)y b(x)y f (x)y1(x) y2(x)y2(x) y3(x)微分方程的通解(其中5, c2为任意常数).的