高三数学第一轮复习 数列 新人教B版

1、名师伴你行名师伴你行名师伴你行名师伴你行数列数列 了解数列的概念和几种简单的表示方法了解数列的概念和几种简单的表示方法. .了解数列是自变量为正整数的一类函数了解数列是自变量为正整数的一类函数. .名师伴你行 从近两年的高考题来看从近两年的高考题来看,Sn与与an的关系的关系,数列的递推公数列的递推公式是高考的热点式是高考的热点,题型为解答题题型为解答题,分值在分值在12分左右分左右,属较难属较难题目题目,旨在考查学生分析问题、解决问题的能力旨在考查学生分析问题、解决问题的能力.在考查基在考查基本知识的同时又注重考查等价转化、函数与方程、分类本知识的同时又注重考查等价转化、函数与方程、分类讨论

2、等思想方法讨论等思想方法. 预测预测2012年高考仍将以年高考仍将以Sn与与an的关系为主要考点的关系为主要考点,重重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力点考查学生的运算能力与逻辑推理能力. 1.数列的概念数列的概念按照一定按照一定 排列起来的排列起来的 叫做数列叫做数列.2.数列的通项公式数列的通项公式如果数列的如果数列的 可以用一个函数可以用一个函数式式an=f(n)来表示来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式那么这个公式叫做这个数列的通项公式.次序次序 一列数一列数 第第n项项an与与n之间的关系之间的关系 名师伴你行3.数列与函数的内在联系数列与函数的内在联系(1)数列与函数的内在联

3、系数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个 的函数，即当自的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式项公式也就是相应函数的解析式.整数集整数集N+(或它的有限子集或它的有限子集1,2,3,n)定义域为正定义域为正 (2)函数与数列的表示方法函数与数列的表示方法函数函数数列数列表示方法表示方法列表法列表法图象法图象法解析式法解析式法列表法列表法图象法图象法通项公式法通项公式法名师伴你行4.数列的分类数列的分类按项数分类按项数分类按每项与序

4、号变化情况分类按每项与序号变化情况分类有有穷穷数数列列 的数列的数列递增递增数列数列从第二项起从第二项起, ,每一项每一项 它它的前一项的数列的前一项的数列无无穷穷数数列列项数无限的数列项数无限的数列递减递减数列数列从第二项起从第二项起, ,每一项每一项 它它的前一项的数列常数列各项的前一项的数列常数列各项都相等的数列都相等的数列项数有限项数有限 大于大于 小于小于 名师伴你行5.递推公式递推公式如果已知数列如果已知数列an的第的第1项项(或前几项或前几项),且从第二项且从第二项(或某一或某一项项)开始的开始的 与它的与它的 间间的关系可以用一个公式来表示的关系可以用一个公式来表示,那么这个公

5、式叫做数列的那么这个公式叫做数列的递推公式递推公式.6.an与与Sn之间的关系对于任一数列之间的关系对于任一数列an都有都有(1)Sn= ;(2)an= .S1(n=1)Sn-Sn-1(n2)任一项任一项an 前一项前一项an-1(或前几项或前几项) a1+a2+an 名师伴你行写出下面各数列的一个通项公式：写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2） ；（3）-1， ,;, ,3 32 23 31 1, ,1 16 61 15 5, ,8 87 7, ,4 43 3, ,2 21 1,63,51,-43,31- ,23名师伴你行先观察各项的特点，然后归纳出其通项公先观察各项的

6、特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.（1）各项减去）各项减去1后为正偶数，后为正偶数，所以所以an=2n+1. （2）每一项的分子比分母少）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列，而分母组成数列21，22，23，24,所以所以an= . （3）奇数项为负）奇数项为负,偶数项为正偶数项为正,故通项公式中含因子故通项公式中含因子(-1)n;各项绝对值的分母组成数列各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,;而各项绝对而各项绝对值的分子组成的数列中值的分子组成的数列中,奇数项为奇数项为1,偶数项为偶数项为3,即奇数项即奇数项为为

7、2-1,偶数项为偶数项为2+1,n nn n2 21 1- -2 2名师伴你行 所以所以an=(-1)n . - (n为正奇数为正奇数) (n为正偶数为正偶数). n n(-1)(-1)+ +2 2n nn n1 1n n3 3也可写为也可写为an=名师伴你行(1)据所给数列的前几项求其通项公式时据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观需仔细观察分析察分析,抓住以下几方面的特征抓住以下几方面的特征: 分式中分子、分母的特征；分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征；相邻项的变化特征； 拆项后的特征；拆项后的特征； 各项符号特征等，并对此进行归纳、联想各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.

8、(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法蕴含着完全归纳法蕴含着“从特殊到一般从特殊到一般”的思想，由不完全的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（负符号变化，可用（-1）n或或(-1)n+1来调整来调整.名师伴你行根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：（1） ， ， ， ， ；（2）1，3，6，10，15， ；（3） ， ，- ， ， ；（4）7，77，777，.5 54 42 21 11

9、1114 47 72 22 21 14 41 18 85 516161313名师伴你行 (1) 注意前四项中有两项的分子均为注意前四项中有两项的分子均为4，不妨把分，不妨把分子都统一为子都统一为4，即：，即： ， ， ， ，.因而有因而有an= . (2)注意注意6=23,10=25,15=35,规律还不明显，规律还不明显，再把各项同乘以再把各项同乘以2再除以再除以2，即，即 ,因而有因而有an= .5 54 48 84 411114 414144 42 23n3n4 4+2 26 65 5, ,2 25 54 4, ,2 24 43 3, ,2 23 32 2, ,2 22 21 12 2

10、) )1 1n n( (n n+名师伴你行 (3)其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分其分母的规律是明显的，关键在于观察分子，分子后三项绝对值递增，且比分母小子后三项绝对值递增，且比分母小3.又注意到第三项为又注意到第三项为负，而第一项的分子也可以写成负，而第一项的分子也可以写成-(-1),an=(-1)n . (4)把各项除以把各项除以7，得，得1，11，111，再乘以，再乘以9，得得9,99,999,.an= （10n-1）.9 97 7n nn n2 2 3 3- -2 2名师伴你行直接求通直接求通 由公式由公式 S1 n=1 Sn-Sn-1 n2项公式项公式.an=已知下面各数列

11、已知下面各数列an的前的前n项和项和Sn的公式，求的公式，求an的通的通项公式项公式.（1）Sn=2n2-3n；（；（2）Sn=3n-2；（；（3）Sn=3an-2.名师伴你行 (1)a1=S1=-1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5.由于由于a1也适合此等式也适合此等式,因此因此an=4n-5(nN*).(2)a1=S1=1,当当n2时时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=23n-1. 1 （n=1），）， 23n-1 （n2）.an=名师伴你行(3)an=Sn-Sn-1=（3an-2）-（3an-1-2），），

12、an= an-1（n2）.又又a1=S1=3a1-2，a1=1.an是以是以1为首项，为首项， 为公比的等比数列为公比的等比数列.an=1( )n-1=( )n-1.2 23 32 23 32 23 32 23 3名师伴你行 数列的通项数列的通项an与前与前n项和项和Sn的关系是的关系是 S1（n=1） Sn-Sn-1（n2）, 视视.已知已知an求求Sn时方法千差万别，但已知时方法千差万别，但已知Sn求求an时方法却时方法却是高度统一是高度统一.当当n2时求出时求出an也适合也适合n=1时的情形，时的情形， 可直可直接写成接写成an=Sn-Sn-1，否则分段表示，否则分段表示.此公式经常使用，应引起足够的重此公式经常使用，应引起足够的重an=名师伴你行已知数列已知数列 an 的前的前n项和项和Sn满足满足an+2SnSn-1=0（n2）,a1= ,求求an.2 21 1名师伴你行当当n2时，时，an=Sn-Sn-1，Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即即 =2,数列数列 是公差为是公差为2的等差数列的等差数列.又又S1=a1=12, =2, =2+(n-1)2=2n，Sn=