全等三角形常见的辅助线作法例题精讲

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 三角形中两中点，连接则成中位线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转” 。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的

2、某一点向角的两边作垂线，禾U用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例1、（“希望杯”试题）已知

3、，如图 分析：本题的关键是如何把 解：延长AD到E,使DE又 BD CD ,BDEBDECDASAS , AB BEAEAB即 2 2AD经验总结:AB, AC ,DA，连接CDABE AC 3ABC中，AB 5, AC 3，求中线AD的取值范围。AD三条线段转化到同一个三角形当中。BEBE （三角形三边关系定理）E见中线，延长加倍。例2、如图， ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE DF , D是中点，试比较 BE CF与EF的大小。 证明：延长 FD到点G,使DG DF，连接BG、EG BD CD , FD DG , BDG CDF BDG CDFCF DEDFEG EF在 BEG 中

4、，BE BG EGF/ BG CF , EF EG二 BE CF EF例3、如图， ABC中，BD DC AC , E是DC的中点，求证：AD平分 BAE .证明方法一：利用相似论证。证明： BD DC AC1AC -BC21 1EC 丄 DC - AC,ACEBCA22BCA sACEABCCAEAC DCADCDAC ,ADC ABCABCBADDAECAEBADDAEAD平分BAEBAD即E是DC中点证明方法二:利用全等论证。证明：延长使EMAE ,连结DM易证 DEMCEAC MDE, ACDM又 BD DC AC二 BD DM , ADCCAD又 ADBC CAD ,ADMMDE A

5、DCADMADBMADMADBBADDAE即AD平分BAE（二）实际应用:1 、 ( 2009崇文二模）以BAD CAE(1)如图1是90，连接DE,当ABC为直角三角形时,ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰 Rt ACE ,M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系（2）将图1中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 如图2所示，（1）理由。图1图2(解：（1） ED 2AM ,证明：延长AM到G ,AM ED ;使MG AM，连BG,则ABGC是平行四边形 AC BG, ABG 又 DA

6、E BACBAC 180180- ABG DAE 再证： DAE ABG DE 2AM , BAG EDA 延长MN交DE于BAG DAH90HDA DAH90G（2 ）结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使AC FA , FA交DE于点P,并连接BF DA BA ,EAAF BAF 90 在 FAB和DAF EADEAD中FA AEBAF EADBA DAFAB EAD (SAS) BF DE ,F AENFPD FAPE AEN 90F又 CA AF ,CMMB AM /FB，且 AMLfb2- AM DE , AMIde2、截长补短（一）例题讲解 例 1、如图， ABC 中，AB 2

7、AC , AD 平分 BAC，且 AD BD，求证：CD AC证明：过D作DM AB，垂足为MAMDBMD 90BD , DM DMBDMAMBMAB2ACACAMAD平分 BAC又 ADADMBAD CADC在ADC和ADM中AC AM， ADMBAD CAD，AD ADADCACDADM 90即：CDACCAB ,DBA，CD 过点 E，求证：AB AC BD在CAE和FAE中AC AFCAEFAEAE AE CAEFAE CEAFEA CEABEDFEAFEB90即 FEBDEB在 DEB 和FEB中FEBDEBBE BEFBEDBE DEBFEB(ASA) BD BF AB AFBFA

8、C BD3、如图，已知在ABC 内，BAC60，ABC的角平分线。求证：BQAQ AB证明：延长AB到D，使 BDBP，连接PD AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线- 1 230，ABC 1806040 QB QC又 D534 80D 40在APD与APC中AP AP，12， DC 40 APDAPC(AAS) AD AC即 AB BDAQQC BQ AQABBPC40 ,BP80在四边形ABCD 中,例.则 D例2、如图，AC/ BD , EA, EB分别平分 证明：在AB上截取AF AC,连接EF例4、如图,求证：P, Q分别在BAC60 ,180解：过点D作DE BC于E， BD

9、平分 ABCBC BA, ADBC，CA上，并且 AP，BQ分别是 BAC，C403D J jCCD , BD 平分 ABC .过点D作DF AB交BA的延长线于F DE DF， F DEB 90 在 Rt CDE 和 Rt ADF 中AD CDDE DF二 Rt CDERt ADF ( HL)FADBADC BAD FAD 180例5、如图，在求证：ABABC 中，AB AC , BAD CAD , P 为 AD 上任意一点。AC PB PC证明：如图, 在 AEP和在 AB上截取AE，使 AE AC，连接PEACP中AE ACBADAP APCADAEPACP (SAS)二 PE PC在

10、PBE 中，BE PB PE，即 AB AC PB PC（二）实际应用B 60 , AB BC，且 DEC 60，判如图，在四边形 ABCD中，AD / BC，点E是AB上一个动点，若断AD AE与BC的关系并证明你的结论。分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明 三角形全等解决它们的问题。解：有 BC AD AE连接AC,过E作EF / BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE EF , AEFAFE 60CFE 120又 AD / BC , B60BAD 120又 DEC60AED在ADE与FECFCE中CFE, AEAD

11、E FCEEADEF , AED FECBA DFCAD AE点评:此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。平移变换（一）例题讲解例1、AD为 ABC的角平分线，直线MN AD于A. E为MN上一点， ABC周长记为Pa， EBC周长记为Pb .求证：PB PA.证明：延长BA到F,使AF AD为ABC的角平分线AC,连接EFBAD CADMN ADFAE 90 BAD 90CADCAEAFAC ,AEAEAFE ACEEFECBEEFBFBEECABAFABACBC+BE+CE>AB+AC+BC BE ECBC AB AC BCABC的周长

12、小于 EBC的周长，即PbPA例2、如图，在 ABC的边上取两点D、E, 解析：先连接AF并延长至G,使FG AF , 四边形ADGE是平行四边形，延长 AD至H，交 进行证明。且 BD CE，求证：AB AC AD AE .其中F是BC的中点，连接GB, GC, GD , GE.可知四边形 ABGC,BG于H 运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可证明：连接AF并延长至G,使FG AF，其中F是BC的中点，连接 GB, GC, GD , GE BD CE BGAC ,DGAE延长AD至H，交BG于H ABBHADDH ,DHHGDG ABBHDHHGADDHDG ABBGADDG即

13、ABACADAE四边形ABGC，四边形ADGE是平行四边形点评:本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键.本题借助辅助线DH起枢纽作用。方法2:取BC中点M，连AM并延长至N,使MN AM，连BN, DN BDCE DMEMDMN EMA (SAS)同理BN CA延长 ND 交 AB 于 P,则 BN BP PN , DP PA AD 相加得：BN BP DP PA PN AD各减去DP,得：BN AB DN ADC:NAC AD AE四、借助角平分线造全等（一）例题讲解例1、如图，已知在 ABC中,求证：OE ODB 60 , ABC的角平分线

14、AD, CE相交于点O.证明：在AC上取点F，使AF AD是A的平分线AE，连接OFEAO FAOAO AOAEO AFOEO FO , AOE AOFCE是 C的平分线DCOFCOB 60BACACB120CODCAOOCA1-BAC2ACBCOF180CODAOF 18060COFCOD606060OC OCOCDOCFOD OFAC AFCFAE CD , OE OD即：AC AE CDBC, DEAB于 E,DFAC 于 F. (1)说明 BE CFAE、BE的长。 DGBC且平分BC二 DBDC DEAB,DF AC,ad平分BAC DEDF RtDEBRt DFC BECF(2)解

15、：/DE DF ,ADAD RtAEDRt AFD AEAF ABACAE BEAFCFAE ABACAE BEAFCF2BE- ab 2BE , BE -b2（二）实际应用AF 2AE，即 a例2、如图，ABC中，AD平分 BAC , DG BC且平分 的理由；（2）如果AB a , AC b，求（1）证明：连接DB , DCFb 2AE, AE -1、如图，OP是这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 ABC中， ACB是直角，B 60 , AD、MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考CE分别是 BAC、 BCA的平分线，AD、CE相

16、交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；1)中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是（2）如图，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而（否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1）（2）答:证法一:FE与FD之间的数量关系为（1）中的结论 FE FD仍然成立。如图1,在AC上截取pAG AE，连结 FG2 , AF为公共边,AEFAGFAFEB 60AFG , FE FG,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线60AFECFD AFG 60CFG 6034及FC为公共边CFG CFDFG FD图1FE FD证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FH BC

17、于点H B 60 , AD、CE 分别是二可得 23 60 , F是ABC的内心BAC、BCA的平分线GEF 601, FH FG又 HDF B 1GEF HDF可证 EGF DHF图2二 FE FD五、旋转（一）例题讲解例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点,EAF的度数。解：将 ADF绕点A顺时针旋转90，至 ABG二 GE GB BE DF BE EF又 AE AE , AF AGBE DF EF，求FAEF AEGEAF GAE BAE GAB BAE DAF又 EAF BAE DAF 90 EAF 45DN , DM , DN 分别交 BC, CA 于点 E, F

18、。例2、D为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM(1 )当 MDN绕点D转动时，求证：DE DF(2)若AB 2，求四边形 DECF的面积。分析：(1)连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分 ACB , CD AB, A45，CDDA，则 BCD 45 , CDA 90，由 DM DN 得EDF 90，根据等角的余角相等得到CDEADF，根据全等三角形的判定易得DCE ADF ,即可得到结论；(2 )由 DCE ADF ,则 S DCES ADF于是四边形DECF的面积 S ACD，由而AB 从而得到四边形DECF的面积。解：(1)连CD，如图，/ D为等腰Rt ABC斜边AB的中点2

19、可得CDDA 1，根据三角形的面积公式易求得S ACD ， CD 平分 ACB , CDAB,A 45 ,CD DABCD 45 , CDA90 DM DNEDF 90- CDE在 DCE和ADFADF中DCEDAFDC DACDEADFDCEADFDCEADFAS ADF四边形DECF的面积而AB 2四边形DECF的面积S ACD-CD2DA点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连 线段的夹角等于旋转角.也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。例3、如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 12

20、0，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交 AB于点M，交AC于点N,连接MN，求 AMN的周长。解： BDC是等腰三角形，且BDC 120BCD DBC ABC是边长为303的等边三角形ABC BACBCA 60DBA DCA90顺时针旋转BDM使DB与DC重合在 DMN和DM N中DM DMMDNNDM60DN DN二 DNMDNM二 MN M NNCBM AM ANMNNC BM AN AB AMN的周长为6AC 6（二）实际应用1、已知四边形ABCD中，转，它的两边分别交 AD、DC（1 ）当 MBN绕B点旋转到（2）当 MBN绕B点旋转到 证明；若不成立，线段 AE、CF、AB AD

21、， BC（或它们的延长线）AE CF时（如图AE CF时，在图CD，AB BC， ABC 120， MBN 60， MBN 绕 B 点旋 于E、F.1）,易证 AE CF EF .2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。解：(1)v AB ad图 Be CD , CBF (SAS);ABEABECBF ,BEBFABBC ,A图E2 CFABC120 ,MBNABECBF30 ,60BEF为等边三角形EFBF ,CF AE - BE2CFBEEF2成立，图3不成立。K，使CK AE，连接BK FBE 60 ,ABC120 FBCA

22、BE60 FBCKBC60 KBFFBE60- KBFEBF KF EF KC CFEF即 AE CFEF图3不成立,AE、CF、EF的关系是KBCAE CFBE BK， ABE（2 ）图证明图2，延长DC至点则 BAE BCKEF2、(西城09年一模)已知：PA 42 , PB 4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线 AB的两侧。(1) 如图，当 APB 45时，求AB及PD的长；(2) 当 APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应 分析：(1)作辅助线，过点 A作AE PB于点E,在Rt PAE中，已知APB的大小。APE , AP的值，根据三角函数可将 AE,

23、PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根据勾股定理可将 AB的值求出；求PD的值有 两种解法，解法一：可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 P AB，可得求P B的长，在 Rt APP中，可将 PP的值求出，在 Rt解法二：过点P作AB的平行线，与 DA的延长线交于F，交进而可知PG的值，在 Rt PFG中，可求出 PF,在RtPADPPB 中,PB 于 G,PDF 中，PAB，求PD长即为根据勾股定理可将 PB的值求出； 在Rt AEG中，可求出 AG, EG的长, 根据勾股定理可将 PD的值求出；(2)将 PAD绕点A顺时针旋转90 , 三点共线时，PB取得最大值，根据

24、 解：(1)如图，作AE PB于点得到 P AB , PD的最大值即为PB的最大值，故当 P、P、BPB PP PB可求PB的最大值，此时 APB 180APP 135 . Rt PAE 中， APB45 ,PAPE PBPBPE 3 BE在 Rt ABE 中，AEBC90 AB TAPBe2解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将 PAD绕点A顺时针旋转90得到 PAB ,，可得PAD PAB, PDPB，PAPAPAP 90 ,APP 45PPB 90 PP2，PA72P B JPP 22亦；解法二:如图，过点P作AB的平行线,RtAEG 中,可得AGAERtPFG 中,可得PFR

25、tPDF 中,可得PDJPPAd(2 )如图所示，将 PPB 中，P BAEcos EAG cos ABEPG cos FPG PG cos与DA的延长线交于F，设丁，ABE迈5CDA的延长线交PG PEEGFG(101525PB于G.2CPAD绕点A顺时针旋转90 ,得到 PAB , PDPP PB, PP 72pa 2 ,的最大值,即为PB的最大值PB 4且P、D两点落在直线 AB的两侧当P、P、B三点共线时，PB取得最大值(如图)CpC此时P B PP PB 6，即P B的最大值为6此时 APB 180 APP 1353、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N,D为

26、ABC外一点，且 MDNBD DC .探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、边ABC的周长L的关系。MN之间的数量关系及60， BDC 120，AMN的周长Q与等CCC图3MN之间的数量关系是图1(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM图2DN时,BM、NC、此时Q L(2)如图加以证明；2,点M、N边AB、AC上，且当DMDN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并(2)如果DM DN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。90，那么三角形 MBD和ECD 中,中我们已经得出，MBD NCD此两三角形全等，那么DM DE ,BDM CDE， EDN

27、BDC延长AC至E,使CE有了一组直角，MBMDN 60 .三角形BMCE，MDNDE. ( 1)DC，因和EDN中，有，连接BDDM DE， EDN把MN转换成了 NE， 的。MDN 60， 因为NE CNMN NE，至此我们把 BM转换成了 CE,有一条公共边，因此两三角形全等，CE，因此MN BM CN . Q与L的关系的求法同(1)，得出的结果是一样(3)我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，中，由(1)中已经得出的 DCH MB 90，我们做的角 BDM 么BM CH，DM DH，三角形 MDN和NDH中，已知的条件有 形全等就需要知道MDN HDN，因为 CDH MDB，因此思路同(2)过D作 CDH MDB，三角形BDM和CDH ，BD CD，因此两三角形全等(ASA).那DH，一条公共边 ND，要想证得两三角BDC 1