恒成立能成立问答情况总结

1、,.恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数f ( x)kxb(k0), x m, n 有：f ( x)恒成立k 0或 k 0f (m)00f ( m)0 f (n) 0f (n);0f ( x)恒成立f ( m)00f ( n)0例 1 若不等式 2

2、x1mx 2m 对满足2m2 的所有 m 都成立，求 x 的范 围。解析：将不等式化为：m( x21)( 2x1)0 ，构造一次型函数：g(m)( x21)m( 2x1)原命题等价于对满足2m2 的 m ，使 g( m)0 恒成立。,.g ( 2)02(x 21)(2 x1)0由函数图象是一条线段，知应02( x21)(2x1)0g (2)解得17x13，所以 x 的范围是 x ( 17 ,1 3)。2222小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量， x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习 :(1) 若不等式ax10 对 x1,2 恒成

3、立，求实数a 的取值范围。（2 ）对于 0p4的一切实数， 不等式 x2px4x p 3 恒成立， 求 x 的取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数f ( x)ax 2bxc0(a0) 有：（ 1 ） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0；（ 2 ） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0（ 3 ）当 a0 时，若 f (x)0在 , 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0,.f ()0若 f ( x)0在, 上恒成立f ()0f ()0（ 4）当 a0 时，若 f ( x)0在, 上恒成立f (

4、)0若 f ( x)0在 , 上恒成立bbb2 a或2 a或2 af ( ) 00f ( ) 0例 2 若关于 x 的二次不等式： ax2(a1)xa10 的解集为 R ，求 a 的取值范围 .解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数x 原不等式都成立。a 0a0a0只须(a1)24a(a 1) 03a22a 1 00a0111aa1或 a. a 的取值范围是,333说明 ：1 、本题若无 “ 二次不等式” 的条件，还应考虑a0 的情况，但对本题讲a0时式子不恒成立。2、只有定义在R 上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。练习： 1 、已知函数ymx26mxm8 的定

5、义域为R ，求实数 m 的取值范围。（答案 0m1 ）,.2、 已知函数f (x)x22kx2在(1,) 时f ( x)k 恒成立，求实数k 的取值范围。（答案3k1）提示： 构造一个新函数F (x)f ( x)k 是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（三）、利用函数的最值- 分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量 ，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一： “ af ( x) ”型一、（恒成

6、立）（ 1 ）xD , f ( x)m 恒成立f ( x)minm ；（ 2 ）xD , f ( x)m 恒成立mf (x) max ；二、（能成立、有解） ：（ 1 ）xD , f ( x)m 能成立mf (x)在 D 内有解f (x)maxm ；（ 2 ）xD , f ( x)m 能成立mf (x)在 D 内有解mf ( x) min ；三、（恰成立）（ 1 ）不等式f xA 在区间 D 上恰成立不等式 fxA 的解集为 D ；,.（ 2 ）不等式f xB 在区间 D 上恰成立不等式 fxB 的解集为 D .四、（方程有解）方程 mf ( x) 在某个区间上有解，只需求出f (x) 在区间

7、上的值域A 使 mA 。例 3 ：设 f ( x)lg 12xa4x, 其中 aR ，如果 x(.1)时， f (x) 恒有意义，求 a3的取值范围。解：如果 x(.1)时， f (x) 恒有意义不等式 12 xa4 x0对 x( ,1)恒成立a12x(2 x2 2x ) ， x(.1)恒成立。4x令 t2x ， g (t )(tt2 ) ，又 x(.1) ，则 t(1 ,)2ag(t ) 对 t( 1 ,) 恒成立，又 Q g(t) 在 t 1 ,) 上为减函数，12332g(t )maxag( )4，42a 的取值范围。例 4 ：若关于 x 的不等式x2ax a3的解集不是空集，则实数解

8、： 设 f ( x) x2ax a . 则 关于 x 的 不 等 式 x2ax a3的解集不是空集f ( x)3在 R 上能成立f ( x) min3,即 f ( x) min4aa 23，解得 a6或 a24例 5 不等式 kx2k20有解，求 k 的取值范围。解 ： 不 等 式 kx 2k20 有 解k ( x21) 2能成立k2能 成 立x 21k (2) max2 ， 所以 k(,2) 。2x1例 6（2008年上海）已知函数f (x) 2 x1若不等式 2tf(2 t)+mf (t )0 对于 t 1,2 恒2 |x|,.成立，求实数m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决当 t1

9、,2时， 2t (2 2t1 )m(2t1 )022t2t即 m(2 2t1)(2 4t1) ， 22t10 ， m(2 2t1) t1,2 ， (22t1) 17,5故 m 的取值范围是 5,)例 7 （1990 年全国）设 f (x)1x2x3x( n 1) xn x algn，其中 a 为实数， n为任意给定的自然数，且n2 ，如果 f ( x) 当 x(，1 时有意义，求a 的取值范围解：本题即为对于x(， 1121n x a0恒成立，有 xx(n ) x这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求 a的范围， 可先将 a分离出来，得 a(1) x(2) x( n1) x

10、( n2) ，对于 x (， 1 恒成立n1n2nn1构 造 函 数 g( x)xxx ， 则 问 题 转 化 为 求 函 数 g( x) 在( )( )(n)nn( k ) x (k 1， 2， ， n 1) 在x (，1 上 的 值 域 ， 由 于 函 数 u( x)nx ( ，1 上是单调增函数，则 g( x) 在 (，1 上为单调增函数于是有g( x) 的最大值为 g(1)1 (n1) ，12从而可得 a(n 1) 2如何在区间 D 上求函数 f(x) 的最大值或者最小值问题 ,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配,

11、.方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（ x）的最值类型二：“ f xg (x) ”型（）恒成立的图象恒在g( x)的图象的上方1 x D, f (x) g( x)f (x)f ( x) min g( x)max ( xD)恒成立h(x) f ( x)g(x) 0恒成立。例 8 已知 f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当 x 0,1 时， f(x) g(x) 恒成立，求实数 t 的取值范围 .解f(x) g(x) 在x 0,1 恒 成 立 ， 即在x 0,1 恒 成 立在 0,1 上的最大值小于或等于零.令，.x 0,1 ，F(x) 0 ，即 F(x

12、) 在 0,1 上单调递减， F(0) 是最大值 .f(x) F(0)=1-t0，即 t 1.类型三：“ f x1g (x2 ) ”型（恒成立和能成立交叉）：（ 1 ）x1D , x2E, f ( x1 )g( x2 ) 成立f ( x1 ) ming( x2 ),.f ( x1 )ming (x2 )f ( x1 )ming (x)min；例 9 已知两个函数 f ( x) 8x216xk , g( x)2 x35x24x ，其中 k 为实数。（ 1 ）对任意 x3,3，都有 f( x)g( x) 成立，求 k 的取值范围；（ 2）存在 x3,3 ，使 f (x)g( x) 成立，求 k 的

13、取值范围；（ 3）对任意 x1, x23,3 ，都有 f ( x1 )g ( x2 ) ，求 k 的取值范围。解析：（ 1 ）设 h( x)g (x)f ( x) 2 x33x 212 xk 问题转化为 x3,3 时，h(x)0恒成立，故 h( x) min0。令 h' ( x)6x 26 x120 ，得 x1或 x2 。由 h(1)7k, h(2)20k, h( 3) k45, h(3)k9 ，故 h( x)min45k由 k450k 45。（ 2）据 题 意 ： 存 在 x3,3， 使 f (x)g (x) 成 立h( x) g (x)f ( x)0 在x3,3 有解，故 h( x

14、)max0 ，由（ 1 ）知 h(x) maxk7 ，于是得 k7 。（ 3 ）分析：它与（1 ）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意x1 , x23,3 ，都有 f (x1)g (x2 ) 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1 , x2的取值在3,3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：f (x)maxg( x) min , x3,3 ，由 g ' ( x)6x210x40，得 x1或 x2，易得 g( x)min g ( 3)21 ，3又 f (x) 8( x1)28k ， x3,3 .故 f (x)maxf (3)120k ，令 120k21

15、k141。例 10 ：（2010山东）已知函数f ( x)ln xax1a1 (a R) .x,.() 当 a1f (x) 的单调性；时，讨论21（）设 g ( x) x22bx 4. 当 a时，若对任意 x1(0, 2) ，存在 x21,2 ，使4f (x1)g (x2 ) ，求实数 b 取值范围 .解析： ()当 a0时，函数f ( x) 在 (0,1) 单调递减， (1,) 单调递增；当 a1x2 ， h( x) 0 恒成立，此时 f ( x)0 ，函数 f ( x) 在时 x12(0,) 单调递减；当 0a1时，函数 f ( x) 在 (0,1) 单调递减， (1,11) 单调递增，2

16、a1(1,) 单调递减 .1（）当 a时， f (x) 在（ 0 ，1 ）上是减函数，在（ 1， 2）上是增函数， 4所以对任意 x1(0, 2) ，有 f ( x1 )f (1)- 1，21又已知存在 x21,2，使 f ( x1 )g( x2 )，所以g(x2 ) ，x21,2 ，（）2b) 2b2 , x又 g(x)( x41,2当 b1时， g(x)ming (1)52b0 与（）矛盾；当 b1,2 时， g(x)min g (1)4b20 也与（）矛盾；当 b2 时， g( x) ming (2)84b1 , b17.综上，实数 b 的取值范围是 17 ,28) .8例 11 已知函

17、数，若对任意x1 ，x2-2,2 ，都有 f(x 1) g(x 2)，求 c 的范围 .解 因为对任意的x1 ， x2 -2,2 ，都有 f(x 1 ) g(x 2)成立，,.f(x) max g(x) min .f (x)=x 2 -2x-3 ，令 f (x) 0f(x) 在 -2,-1 为增函数，在f(-1)=3， f(2)=-6，f(x) max =3. .c -24.得 x 3 或 x -1 ；f (x) 0-1,2 为减函数 .得 -1 x 3.类型四：“ f ( x1 )f xf ( x2 ) ”型例 12 ：已知函数，若对任意x R，都有 f(x 1)f(x) f(x 2)成立，

18、则 |x 1 -x 2 |的最小值为 _.解 对任意 x R，不等式f(x 1)f(x) f(x 2)恒成立，f(x 1 )， f(x 2 )分别是 f(x) 的最小值和最大值.对于函数y=sinx ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是，即半个周期.又函数的周期为4，|x 1 -x 2 |的最小值为2.,.类型五：例 13 (2005 湖北 )在 y=2 x， y=log2 x，y=x 2 ，y=cosx这四个函数中，当0 x1 x2 1时，使恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知y=log2 x 符

19、合题意.类型六： .“ 0 ”型例 14已知函数 f(x) 定义域为 -1,1 ， f(1)=1 ，若 m ， n -1,1 ， m+n 0 时，都有，若 f(x) t 2-2at+1对所有 x -1,1 ，a -1,1 恒成立，求实数t 的取值范围 .解 任取 -1 x1 x21 ，则.,.由已知 0 ，又 x1-x 2 0 ，f(x 1 )-f(x 2) 0，即 f(x) 在 -1,1 上为增函数 .f(1)=1 ，x -1,1 ，恒有 f(x) 1.要使 f(x) t 2 -2at+1对所有 x -1,1 ，a -1,1 恒成立，即要 t 2-2at+11 恒成立，故 t 2-2at 0

20、 恒成立 .令 g(a)=t 2-2at ，只须 g(-1) 0 且 g(1) 0 ，解得 t-2 或 t=0 或 t 2.评注形如不等式“ 0 ”或“ 0 ”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.类型七：“ |f(x 1 ) f(x 2)| t(t为常数 )”型,.例 15 已知函数 f(x)=-x 4 +2x 3，则对任意t 1， t 2 -,2(t 1 t 2)都有 |f(x 1 )-f(x 2 )|_恒成立，当且仅当t 1 =_， t2 =_时取等号 .解 因为 |f(x 1)-f(x 2 )|f(x) max -f(x) min

21、|恒成立，由， x -,2 ，易求得，.|f(x 1 )-f(x 2 )|2.类型八：“ |f(x 1 )-f(x 2 )| |x 1 -x 2 | ”型例 16已知函数 f(x)=x 3 +ax+b，对于 x1,x2 (0,)(x1x2) 时总有 |f(x 1)-f(x 2)| |x 1 -x 2 |成立，求实数a 的范围 .解 由 f(x)=x 3 +ax+b ，得 f (x)=3x 2+a ，当 x (0,)时， a f (x) 1+a.,.|f(x 1 )-f(x 2 )|x 1 -x 2|，-1 a 0.评注由导数的几何意义知道，函数 y=f(x) 图像上任意两点P(x 1,y1 )

22、，Q(x 2,y2 )连线的斜率(x1x2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率( 如果有的话 ) 的范围，利用这个结论， 可以解决形如 |f(x 1)-f(x 2)| m|x 1 -x 2| 或|f(x 1)-f(x 2 )|m|x 1 -x 2|(m 0) 型的不等式恒成立问题.（四）数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系, 对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图象法求解。1 ） f ( x)g (x)2 ） f ( x)g (x)函

23、数 f (x) 图象恒在函数g( x) 图象上方；函数 f (x) 图象恒在函数g( x) 图象下上方。例 17已知 a 0, a 1, f (x)x2a x ,当 x( 1,1)时, 有 f (x)1 恒成立 ，求实数2a 的取值范围。,.解析：由 f (x) x2a x1 ，得 x2 1a x ，构造出两个函数并在同一直角坐22标 系 中 作 出 它 们 的 图 象 ， 如 果 两 个 函 数 分 别 在 x 1和 x1处相交，则由121a及 ( 1) 2 1a 1 得到 a 分别等于2 和 0.5 ，并作出函数 y 2 x 及 y( 1 ) x222的图象，所以，要想使函数x21a x

24、在区间 x(1,1) 中恒成立， 只须 y2x 在区21间 x( 1,1) 对应的图象在yx 2在区间 x(1,1) 对应图象的上面即可。当21a1时 ,只有 a 2 才 能 保 证 ， 而 0 a 1时，只有 a 才 可 以 ， 所 以 2a 1 ,1)(1,2 。2例18设f (x)x4x,g( x)x1a ,若恒有f ( x)g( x),24成立 求实数 a3的取值范围 .y分析：在同一直角坐标系中作出f ( x) 及 g( x)的图象如图所示，f (x) 的图象是半圆 (x2)2y 24( y0)-2g(x) 的图象是平行的直线系4x3 y 33a0 。-4x-4O要使 f ( x)g( x) 恒成立，则圆心 ( 2,0) 到直线 4x3y33a0 的距离满足d833a25解得 a5或a5（舍去 )3练习：若对任意xR,不等式 xax 恒成立，求实数a 的取值范围。1a 1练习：,.1 、已知二次函数满足f (0)1 ，而且 f ( x1)f ( x)2x ，请解决下列问题（ 1 ）求二次函数的解析式。f ( x)x2x1（ 2 ）若 f (x)2xm 在区间 1,1上恒成立，求 m 的取值范围。 (,1)（ 3 ）若 f (x)2xm 在区间 1,1上恒成立，求 m 的取值范围。1,5（ 4 ）