惯性矩、静矩,形心坐标公式

1、 1-1截面的静矩和形心位置图1-1如图I-1所示平面图形代 表一任意截面，以下两积分SzAydASy(1-1)分别定义为该截面对于z轴和y 轴的静矩。静矩可用来确定截面的形 心位置。由静力学中确定物体重心的公式可得A zdAA利用公式（1-1）,上式可写成(AydA_ SzASy(I - 2)zdAAASz 二 AyeS厂 Aze(1-3)1IIJ(1-4)yczc如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即：n Sz =送 Ai ycii=1nSyAi Zcii 3（I - 5）式中Ai、y

2、ci和zci分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n为简 单图形的个数。将式（I- 5）代入式（I- 4），得到组合图形形心坐标的计算公式 为A i y cii =1Aii -1A i z cii =1Aii =1(I-6)0.12m0.4myC0.6m0.2m例题1-1图a所示 为对称T型截面，求该截 面的形心位置。解：建立直角坐标系 zOy,其中y为截面的对称 轴。因图形相对于y轴对 称，其形心一定在该对称 轴上，因此zc = 0,只需计 算yc值。将截面分成I、 n两个矩形，则ai =0.072m2, An=0.08m2yi =0.46m, yn=0.2m例题I- 1图ycAyAmA

3、AiiO.7246O.8 ON = 0.323m0.072 0.08 1-2惯性矩、惯性积和极惯性矩图1-2如图I- 2所示平面图形代表一任意截面，在图 形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积 dA, dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z,到 坐标原点的距离为p。现定义y2dA和z2dA为微面积 dA对z轴和y轴的惯性矩，pdA为微面积dA对坐标 原点的极惯性矩，而以下三个积分Iz = f y2d AzA J2I -z2d AAI P = I p2d AA（I-7）分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性 矩由图（I-2）可见，2二y2 V，所以有(I- 8)

4、A p2dAA(y2 z2)dA 二 lz ly即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任 意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对 y、z轴的惯性积，而积分Iy AzydA（I- 9） 定义为该截面对于y、z轴的惯性积。从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为 负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是 m4或mm4。1-3惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行 移轴公式zia2A(I - io)图1-3所示为一任意截面， z、y为通过

5、截面形心的一对正交 轴，乙、yi为与z、y平行的坐标 轴，截面形心C在坐标系ZiO yi 中的坐标为（b, a）,已知截面对 z、y轴惯性矩和惯性积为lz、ly、 Iyz，下面求截面对Zi、yi轴惯性矩 和惯性积 Izi、lyi、lyizi。同理可得yiIy式（I - io）、（ I- ii）称为惯性矩的平行移轴公式 F面求截面对yi、zi轴的惯性积I yizi o根据定义Si = AziyidA 二 A(z b)(y a)dA=zydA + a zdA+ b J ydA + abj dAAAAA=I yz aSy bSz abA由于z、y轴是截面的形心轴，所以Sz = Sy = 0，即卩I

6、yizi - I yz * abA (I- i2 式(I - i2)称为惯性积的平行移轴公式。二、惯性矩、惯性积的转轴公式图（I - 4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴， 截面对z、y轴惯性矩lz、Iy和惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋转a角（以逆时针方向为正）得到另一对正交轴 Z1、yi轴，下面求截 面对Zi、yi轴惯性矩和惯性积IZ1、lyi、Iz1Iz图I - 4IyIycos2 - I yz sin 2（I - 13）同理可得IiIz lyIycos2 I yz sin 2Izy sin 2 Iyzcos2yizi(I- 14)2（ I - 15）式（1-13

7、）、（ I- 14）称为惯性矩的转轴公式，式（I- 15）称为惯性 积的转轴公式。 1-4形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式（I- 15 ）可以发现，当a=0o，即两坐标轴互相重合时,1汕=Iyz ；当a= 900时，Iyizi=yz，因此必定有这样的一对坐标轴， 使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯 性轴，简称主轴，截面对主轴的惯性矩叫做 主惯性矩。假设将z、y轴绕0点旋转a角得到主轴zo、y0，由主轴的定义1 yozoI yz cos2 0 二 0从而得tan2 a = 2lyzl ly(1-16)上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下

8、面两式相符。这样确定的a角就使得lz0等于lmax 由式（I - 16）及三角公式可得sin2： 0cos2： 0-2IyzVz-ly)2 4寵将此二式代入到式（I- 13）、（I - 14）便可得到截面对主轴 z0、 y的主惯性矩Iz0Iy02Iz Iy2(Iz - Iy)4心(1-17)二、形心主轴、形心主惯性矩通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。 通过截面形心的主轴叫做形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩 例题I - 5求例I- 1中截面的形心主惯性矩。解：在例题I- 1中已求出形心位置为Zc = 0 , yC = 0.323m过形心的主轴 勺、y。如图所示，z0轴到两个矩形形心的距离分别 为a 0.137ma” = 0.123m截面对z0轴的惯性矩为两个矩形对z0轴的惯性矩之