必修二立体几何典型例的题目

1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1 空间直线和平面的位置关系：(1) 空间两条直线： 有公共点：相交，记作：an b= A其中特殊位置关系：两直线垂直相交. 无公共点：平行或异面.平行，记作：a/ b.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2) 空间直线与平面： 有公共点：直线在平面内或直线与平面相交.直线在平面内，记作：a.直线与平面相交，记作：an= A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交. 无公共点：直线与平面平行，记作：a /.(3) 空间两个平面： 有公共点：相交，记作：n = 1，其中特殊位置关系：两平面垂直相交. 无公共点：平行，记作：/2.空间作为推理依据的公理和定理：(1) 四

2、个公理与等角定理：公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2) 空间中线面平行、垂直的性质与判定定理： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

3、该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线 平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)我们把上述判定定理与性质定理进行整理，得到下面的位置关系图：直线丄直线直域丄平面平面丄平面【例题分析】例2 在四棱锥P ABCD中，底面ABC是平行四边形，M N分别是AB PC的中点，求 证：MN/平面PAD出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中

4、位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE NE底面ABCD是平行四边形， M N分别是AB PC的中点,1 MA/ CD MA CD.2 E是PD的中点，1 NE/ CD NE CD.2 MA/ NE 且 MA= NE AENI是平行四边形， MN/ AE又AE 平面PAD MN 平面PAD MN/平面 PAD方法二取 CD中点F,连接MF NF/ MF/ AD, NF/ PD平面MN/平面PAD MN/平面 PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法: 证明线线平行：a / c , b / c ,a /a , a 卩a / 3a丄a , b丄aaCl 卩=bC a =

5、a ,3 = bCa / ba / ba / ba/ b(2)证明线面平行:a C a =a / ba/ 3ba , aaa 3a /aa/aa /a(3)证明面面平行:aC3 =a / 3，b / 3a丄a , a丄3a /,3 /a , b a , aC b=Aa/卩a / 3a / 3a / 3例 3 在直二棱柱 ABC- ABC 中，AA= AC, AELL AC,求证：AC丄BG.【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明AC垂直于经过BC的平面即可.证明：连接AC./ AB ABC是直三棱柱， AA丄平面 ABC ABL AA.又 ABL AC. AB丄平

6、AACC, AC丄AB.又 AA= AC侧面AACC是正方形， AC丄AC.由，得 AC丄平面ABC,- AC丄 BC.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的.如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“ABLAC都要将其向“线面垂直”进行转化.例4 在三棱锥 P ABC中，平面 PABL平面 ABC AB1 BC API PB求证：平面 PAd 平面PBC【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又 可 以通过“线线垂直”进行转化.证明：平面PABL平面 ABC平面PABH平面 AB= AB且AB丄BC BCL平面 PAB API BC又

7、 APL PB API平面 PBC又AP平面PAC,平面PAC!平面PBC【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:(1)证明线线垂直:a丄 c, b / c,a丄abaa丄ba丄b(1)证明线面垂直:a丄m a丄na/ b, b丄 aa / 3 , a 丄 3a L 3 , a A 3 = lm n a , mA n= Aa 3 , a 丄 la丄aa丄aa丄aa丄a(1)证明面面垂直:a 丄 3 , a a a丄卩例5 如图，在斜三棱柱 ABC- ABC中，侧面AABB是菱形，且垂直于底面 ABC / AAB =60° , E F分别是 AB, BC的中点.(I )求证

8、：直线EF/平面AACC;(n )在线段AB上确定一点 G,使平面EFGL平面ABC并给出证明. 证明：(I )连接AiC, AE.侧面AABB是菱形，E是AB的中点， E也是AiB的中点，又F是BC的中点， EF/ AC./ AC 平面 AiACC, EF 平面 AiACC,直线EF/平面AiACC.bg i解：当时，平面EFGL平面ABC证明如下：GA 3连接EG FG侧面AiABB是菱形，且/ AiAB= 60° , AAB是等边三角形. E 是 Ai B 的中点，BG - , EGL ABGA 3平面AiABB丄平面 ABC且平面 A ABBA平面 ABC= AB EGL平面

9、 ABC又EG 平面EFG 平面EFG_平面ABC例6 如图，正三棱柱 ABC- Ai B C中，E是AC的中点.(I )求证：平面 BEC丄平面ACCA; ( n )求证：AB/平面BEC.【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I ) / ABC- A B C是正三棱柱， AA丄平面 ABC BE! AA. ABC是正三角形，E是AC的中点， BE! AC - BE!平面ACCA ,又BE 平面BEC, 平面BEC丄平面 ACCAi.(n )证明：连接B C,设BCn B C= D./

10、 BCCB是矩形，D是B C的中点， DE/ AB.又DE 平面BEC, AB 平面BEC, AB/平面 BEC.例7 在四棱锥 P ABCD中，平面 PADL平面 ABCD AB/ DC PAD是等边三角形，已知 BD= 2AD= 8, AB 2DC 4.5 .(I )设M是PC上的一点，证明：平面 MB!平面PAD(n )求四棱锥P- ABCD勺体积.【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面 MBD内“不动”的直线 BD是否 垂直平面PAD证明：(I)在厶ABD中,由于 AD= 4, BD= 8,

11、AB 4、. 5 ,所以 aD + bD= aB故 ADL BD又平面PADL平面 ABCD平面PADn平面ABCAD BD 平面ABCD 所以BDL平面PAD又BD 平面 MBD故平面 MB丄平面PAD(n )解：过P作PQL AD交AD于Q由于平面 PADL平面 ABCD所以POL平面 ABCD因此PO为四棱锥P- ABC啲高，3又 PAD是边长为4的等边三角形因此 PO -242 3.在底面四边形ABCDK AB/ DC AB= 2DC所以四边形ABCD!梯形，在Rt AD沖，斜边AB边上的高为4 8 誓，即为梯形4丿55ABC 的高，所以四边形 ABC啲面积为S 2 5/ 5 勞 24

12、.故25Vp abcd 1 24 2 3 16 3.、选择题：已知m, n是两条不同直线,m有且只有一个平面与平面m垂直的直线不可能与平面m平行的平面不可能与平面垂直平行垂直练习(A)若 m/,n/,则 m/ n(B)若 ml,n丄，则m/(C)若丄,丄，则/(D)若 m/，则/2.已知直线m n和平面,，且 mln, mL,丄，则（）(A) n 丄(B) n /，或n(C) n 丄(D) n /，或n3.设a, b是两条直线，、是两个平面，则a丄b的一个充分条件是（）(A) a 丄,b/,丄（B） a丄,b丄, /(C)a,b丄,/(D) a,b /,丄4.设直线m与平面相交但不垂直，则下列

13、说法中正确的是()（A）在平面内有且只有条直线与直线m垂直是三个不同平面,1.,m/F列命题中正确的是（）n（B）过直线（C）与直线（D）与直线二、填空题：5.在三棱锥 P- ABC中, PA PB . 6，平面PABL平面ABC PAL PBABL BC / BAC=30°，则 PC=.6. 在直四棱柱 ABC- ABCD中，当底面 ABC瞒足条件 时，有AQ丄BD.（只要求写 出一种条件即可）7. 设，是两个不同的平面， m n是平面 ，之外的两条不同直线，给出四个论断：ml n 丄n丄ml以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题.&已知平面丄平

14、面 ， n = l，点 A , A l，直线AB/ I，直线ACLl，直线m/, m/，给出下列四种位置： AB/ mACL mAB/:ACL上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是 三、解答题：9如图，三棱锥 P ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形，M N分别为PA BC的中 占八、(I )求MN的长；(n )求证：PAL BC10.如图，在四面体 ABCD中, CB= CD ADL BD且E、F分别是 AB BD的中点.求证:FD的中点.(I )直线EF/平面ACD(n )平面EFCL平面BCD11.如图，平面ABEFL平面 ABCD四边形 ABEF与 ABCDfE是直角梯形，

15、/ BAD=Z FAB= 90°,BC/ AD BC -AD,BE/AF,BE 丄AF , G, H分别为 FA2 2iA必一一Vsc(I )证明：四边形 BCHG平行四边形；(n)C D F, E四点是否共面？为什么？(川)设AB= BE证明：平面 ADEL平面CDE专题七立体几何参考答案练习一、选择题：1. B 2. D 3. C 4. B二、填空题：5. 10 6 . ACL BD或能得出此结论的其他条件 )7.、；或、8 .三、解答题：9. ( I )解：连接 MB MC三棱锥P- ABC的三个侧面均为边长是 1的等边三角形, MBMC 2-，且底面厶ABC也是边长为1的等边

16、三角形.、22/ N为 BC的中点， MNL BC在 Rt MNB中 MN . MB2 BN2(n)证明： M是 PA的中点，:.PAL MB 同理 PAI MC/ MBH MC- M - PA丄平面 MBC 又 BC 平面 MBC： PAI BC10.证明：(I ) / E F分别是AB BD的中点，已尸是厶ABD的中位线， EF/ AD又EF 平面ACD AD 平面ACD：直线 EF/平面ACD(n ) EF/ AD ADL BD EFL BD/ CB= CD F是 BD的中点， CFL BD/ CFH EF= F,. BDL平面 CEF/ BD 平面BCD：平面 EFCL平面BCD11. ( I )由题意知,FG= GA FH- HD GH/ AD GH AD,1又 BC/ AD BC - ADGH/ BC, GH= BC2四边形BCHG平行四边形.（n ）C D, F , E四点共面理由如下：1由 BE/ AF, BF AF，G是 FA的中点，2得 BE/ FG 且 BE= FG EF