函数的奇偶性

1、观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) (2) 从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？xyof(x)=|x|图象：关于图象：关于y轴对称轴对称解析式：解析式： f (-x)=f (x)xyof(x)=x2 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任的定义域内的任意一个意一个x，都有，都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数 1偶函数偶函数偶函数的特征偶函数的特征: :1.1.解析式的基本特征解析式的基本特征：f (-x)=f (x)2. 2

2、. 图像特征图像特征: :关于关于y y轴对称轴对称2( )1f xx22( )11f xx证明以下函数是偶函数 观察函数观察函数f( (x)=)=x和和f( (x)= 1/)= 1/x的图象的图象( (下图下图) )，你，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？能发现两个函数图象有什么共同特征吗？图象：关于原点对称图象：关于原点对称解析式解析式式：式： f (-x)=-f (x) 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意的定义域内的任意一个一个x，都有，都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就就叫做叫做奇奇函数函数 2奇函数奇函数奇函数的特征奇函数的特征:1.1.解析式的基本特征

3、：解析式的基本特征：2.2.奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称f (-x)=-f (x) 如果一个函数如果一个函数f(x)f(x)是奇函数或偶函数，是奇函数或偶函数，那么我们就说函数那么我们就说函数f(x)f(x)具有奇偶性具有奇偶性.例例1、判断下列函数的奇偶性：、判断下列函数的奇偶性：4(1) ( ) f xx2 (3) ( ), 1,2f xxx 3 (2) ( )f xxxxxf1)(4）（0),1(0),1()(6xxxxxxxf）（221)(52xxxf）（(1). f(x)=5 (2) f(x)=0解解: f(x)的定义域为的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f

4、(x)为偶函数为偶函数解解: 定义域为定义域为R f(-x)=0=f(x) 又又 f(-x)= 0 = -f(x)f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数结论结论: 函数函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。偶函数。练习练习1. 1. 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2211)(xxxf(3) f(x)=x2+x解解: f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1) ，f(-1)-f(1)f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(4) f(x)= x解解: 定义域为定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称定义域不关于原点对称f(x)为非奇非

5、偶函数为非奇非偶函数22)(5xxxf）（ 思思 考考 ? 1.函数奇偶性对定义域有什么要求吗? 2.一个函数不是奇函数就是偶函数吗? 定义域关于原点对称定义域关于原点对称非奇非偶非奇非偶奇函数既奇又偶偶函数(1) (1) 先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称；用定义判断函数奇偶性的步骤：用定义判断函数奇偶性的步骤：(1) (1) 先求定义域，看是否关于原点对称；先求定义域，看是否关于原点对称；(2)(2)再判断再判断f(-(-x)=-)=-f( (x) )或或f(-(-x)=)=f( (x) )是否恒成立是否恒成立. .(3)(3)根据定义，作出结论根据定义，作出结

6、论 而函数的而函数的奇偶性奇偶性是函数的是函数的整体整体性质性质. .函数的函数的单调性单调性是函数的是函数的局部局部性质性质. .例2.若函数是偶函数,求m的值. 2123f xmxmxoyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法略xy0相等相等3.奇偶函数图象的性质(1)、奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数奇函数.(2)、偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来，如果一反过来，如果

7、一个函数的图象关于个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函轴对称，那么这个函数为偶函数数.说明：奇偶函数图象的性质可用于：说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性、判断函数的奇偶性解(1)1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定义域为-1,0) (0,11-x2（2）f(x)=(x+2)-2（3）f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x- = f(x) 为奇函数.例例4.已知函数已知函数 f(x)= （1）求函数的定义域（）求函数的定义域（2）化简函数表达式）化简函数表达式（3）判断函数的奇偶性）判断

8、函数的奇偶性|x+2|-21-x21-x2 x=- f(x)例例5：设函数：设函数f(x)为奇函数，当为奇函数，当x0时，时，f(x)=2x(1-x), 求：当求：当x0时，时，f(x)的表达式的表达式.设设x0解：解：于是于是f(-x)=2(-x)1-(-x)= -2x(1+x)又又f(x)是奇函数，故是奇函数，故f(-x)= -f(x)所以，所以，f(x)=2x(1+x)即当即当x0）2x(1+x) (x0)本课小结1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：、两个性质： 一个函数为奇函数