圆锥曲线大题综合测试

1、圆锥曲线21 .设椭圆M :笃a的右焦点为Fi，直线l : x=与x轴交于点A ,2uur uuu若OFi 2FiA （其中O为坐标原点).(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N ：x2的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)，求PE PF的最大值.2占1a(I)求椭圆E的方程；(n)设椭圆E的上下顶点分别为 A1,A2, P是椭圆上异于A1, A的任一点，直线PA1, PA2分别交x轴于点N , M , 若直线OT与过点M,N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.22 .已知椭圆E：笃ab 0的一个焦点为Fi73,0,而且过点H J3,丄23

2、、已知圆0：x2y22交x轴于A,B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F,若P是圆02上一点,连结PF,过原点0作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.（I ）求椭圆C的标准方程；（n）若点P的坐标为（1,1）,求证：直线PQ与圆0相切;（川）试探究：当点P在圆0上运动时（不与A B重合）,直线PQ与圆0是否保持相切的位置关系若是 ，请证明；若不是，请说明理由.24 设 A(xi, yj B(X2, y2)是椭圆-y2xe旦短轴长为2, 0为坐标原点.2221（a b 0）上的两点，满足 （一,（，上）0，椭圆的离心率bbaba（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点

3、F （0, c）, （c为半焦距），5、直线 I : y = mx +直径的圆过原点2，双曲线C: 3x2 y = 1 ,问是否存在 m的值，使I与C相交于A , B两点，且以AB为2x6已知双曲线C: ra2爲 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1 (-2 , 0), F2 (2, 0),点P(3,J7)在曲线C上。(1)求b双曲线C的坐标；(2)记0为坐标原点，过点Q(0,2)的直线I与双曲线C相交于不同两点 E,F,若 OEF的面积为22 ,求直线I的方程。2x7.已知椭圆C : -ya7 1(a b 0)经过点A(2, 1)，离心率为,过点B(3, 0)的直线l与椭圆C交于不同的两b2

4、点 M ,N . (1) 求椭圆C的方程;(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证：kAM kAN为定值.10如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于0M的直线I在2x&已知椭圆C1 :飞a轴长为半径的圆相切。1(a b 0)的离心率为，直线l : y x 2j2与以原点为圆心、以椭圆 C1的短半 b2(I)求椭圆C1的方程；(n)设椭圆Ci的左焦点为F1，右焦点为F2,直线li过点F1,且垂直于椭圆的长轴，动直线 2垂直li于点P,线段P吕的垂直平分线交12于点M求点M的轨迹C2的方程；(n)若 ACBD为椭圆Ci

5、的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2,求四边形ABCD勺面积的最小值.9设F是椭圆C:2 2笃占1(a b 0)的左焦点，直线l为其左准线，直线I与x轴交于点P,线段MN为椭圆的长a b轴,已知|MN I8,且 I PM I 2 I MF I .求椭圆C的标准方程;(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A B 求证：/ AFM=/ BFN求三角形ABF面积的最大值.y轴上的截距为 m(m 0) , I交椭圆于A、B两个不同点(1 )求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；(3)求证直 线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。X211已知椭圆C :笃a且周长为6.2爲 1(a b 0)，左、右两

6、个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b),bAF1F2为正三角形(1)求椭圆C的标准方程及离心率;(2) O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求IPF2 | |P0|的最小值，并求出此时点P的坐标.12如图，设P是圆X2 y2 2上的动点，PD! x轴，垂足为 D M为线段PD上一点，且|P D|= J2|MD|，点 A、F1 的坐标分别为(0, J2 ), (- 1 , 0 )。(1) 求点M的轨迹方程；(2) 求|MA|+|MFi|的最大值，并求此时点M的坐标。2x 213.如图，在平面直角坐标系 xOy中。椭圆C: y 1的右焦点为F ,(1)求到点F和直线I的距离相等的点 G的

7、轨迹方程。UULT(2)过点F作直线交椭圆C于点A, B，又直线OA交I于点T ,若0T(3)已知点M的坐标为xo,yo ,xo 0 ,直线OM交直线XoXyoy3'A右准线为I。UUT2OA，求线段AB的长;1于点N，且和椭圆C的一个交点为点UUU2是否存在实数，使得0Puuuu OMUULT ON ?，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。圆锥曲线答案a21 解：(1)由题设知， A(一 ,0), F1 Ja2 2 ,0 ,Ja2 2LULT 由ORUULTr2AF10，得 JaVa22 ,3分解得a2所以椭圆(2)方法1 :设圆N : X2则 PE PF NE NPNFNPLL

8、JUr uuu6 分NF NPLULTNFuuuNP7分ULU2 NPJUT 2 uur2 NF NP 1 -从而求PE PF的最大值转化为求 NP2的最大值因为P是椭圆M上的任意一点，设 P Xo ,0 ,10分2所以X0-621, 即 X02211分因为点N0,2，所以 NP22Xo22 y0112 .12分因为yo近，近，所以当y021时，NP取得最大值12.13分所以PE PF的最大值为11 -14分2由（I）可知A直线PA1： y 10,1 , A 0, 1 ,设 P X0, y 生X,令y0,得 Xn直线PA2: y 1XJx,令 yyo 1X0y。 1X0X2X0¥0

9、1 ¥0 1y02 10,得 XmXo则 |OM | |ON |,|OMy02 1,即 X 4 1 y0|ON | 4OT2 OG2GM 2 (OQ2 QG2) (MQ2QG2)OQ2MQ2 (|OQ MQ |)(| OQ | MQ |)|OM | |ON | 4|OT|2.即线段OT的长为定值2.-14分MN勺中点Q连接GQ,GM ,GO , r|GM |五e3 7.(14 分)解:(I )因为a2Z2 ,所以 c=1,则 b=1,22而X0-4取线段2 所以椭圆C的标准方程为2(n ) P(1,1), kPF丄， koQ2, 直线 OQ的方程为 y=-2x,2点 Q(-2,4)7

10、 分- kpQ1,又 kOP 1 , kOP kPQ 1 ,即 OP! PQ 故直线 PQ 与圆0相切10分（川）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切 证明：设 P（X0,y0）（ X）血），则y 2Xo,所以kPFXoy0-,kOQ111分X01 Jy0所以直线0Q的方程为所以点y0Q(-2,2 X0 2 )y012分所以kPQy。X02x0y22y 0(2 X0(X02) y02)2X02 X0(X02) y0，又 koPy0匹13分X0所以k0Pk PQ1 ,即OP PQ故直线PQ始终与圆0相切.14分4 9解:(1) 2b2.b1,e-aJa2 b222.e椭圆的方程为I X2

11、14.（2 分）设AB的方程为y kxa/3y由y24(k24)x2273kx 10x1X2¥1722aX1X2宁（1k24尿2V3k4k2 44,解得k(3 )当当A,B必为顶点.S4AO=1A为顶点时，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b2J3k口和2A-(kx1 V3)(kx248 分)1k24(4 分)73）（1)X1 X24血（X1X2）4(7 分)y2y4kx b1(k24) X2 2kbx b240得到X1 X22kbk2 4X1X2b2242 X1X2k 4X1X2(kx1 b)(kx2b)0代入整理得:2b2 k212lb|x1 X2 |2|b|J(X1 X2)

12、24x1X2 |4b2k2416 J4k2-12|b|所以三角形的面积为定值 9726 .解：（1）依题意 c 2, - - 1 且ca2 b212 分)2.2ab ,解得:22所以双曲线方程为 L 12 22 2a 2,b2,设直线|的方程为2由 y=kx+2 及222k )x 4kx 6有两个交点，1 k20,2又 =16k24(12 2k )0 , k23,43k73，又X1X2& 且X1gX261 k2- | EF | J1 k2J(x, X2)2 4x1X2L 4k 224 k Qe严2 O点到直线的距离为 d 十=丄 |EF|d 242 ,21 2&，- k=72,

13、(2)依题意可知，直线丨的斜率存在y=kx+2 , E ( xi, yi), F ()12分直线1的方程为7 .解：(1 )由题意得42a2a1b2b2雄21,c2，解得a76, b 73 2 y32故椭圆C的方程为6(2)由题意显然直线|的斜率存在，设直线|方程为k(x3),0.y k(x 3),由 x2 y2得(1 2k2)X2 12k2x 18k2 6石亍1， 因为直线1与椭圆C交于不同的两点所以4 2 2144k4(1 2k )(18k26)24(1 k )解得1 k 1.N的坐标分别为(X1,y1),(X2, y2),则x1X22 212k218k2彳 r 2，X1X21 2k1 r

14、，yk(x11 2k3),y2k(X2 3) kAM.y11y21Kan X,2X2 210分所以kAM8 6 .解:(kxj 3k 1)(X22) (kx2 3k 1)(x12)(Xi 2)(X22)2kXiX2(5k 1)(x1 x2) 12k42k(18k26) (5k 1) 12k2 (12k4)(1 2k2)18k2 6 24k24(1 2k2)kAN为定值(I) Qea2 b21a2222a 2b2b相切x,x22(x1 x2) 42.2k2214分2,b2 4, a28,2椭圆C的方程是8 MP=MF 动点(n)是以2y4M到定直线h ： X 2的距离等于它到定点1.F2 (2,

15、 0)的距离,动点M的轨迹C点(川)11为准线，F2为焦点的抛物线M的轨迹Q的方程为y2 8x当直线 AC的斜率存在且不为零时，设直线A(X1, y1),C(X2, y2),2联立8则直线AC的方程为y6分AC的斜率为k(x 2).所以X1|AC|2y4X28k21 2kJ(1 k2)(X1由于直线四边形k(x2，X1X2X2)2BD的斜率为BD ,2)得(1 2k2)x28k 2x 8k28 0.28k 81 2k7(1 k2)(x1 X2)24x1X211,用一代换上式中的k可得|BD|kkABCD的面积为S22(1由(1 2k )(k2)-2 21 | AC | | BD |16(1 k

16、 )2 (k22)(1 2k2)2 2 22k ) (k2),2 3(k1)2所以S 64,当1 2k2 k22时,即k9易知，当直线 AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形1时取等号.1 2k2732(1 k2)k2 2.12 分13分ABCD勺面积S 89 解：(1)/ |MN | 8又2a又.| PM| = 2 | MF | 得備(|a刃即F年得ae 1 c a = 412或e 1(舍去)c2b2 a2 c2122椭圆的标准方程为L162L 112当AB的斜率为0时,显然 AFM BFN 0.满足题意当AB的斜率不为0时，设A(Xi,yi), B(X2,y2), AB方程为my 8,(48

17、m)2kAFkBF椭 圆4 144(3 m2y1y2X 2 X220,从而综上可知：恒有AFMkAF kBFAFM4),y1y1my 6BFN.程 整 理48m 盲y1 2my1y26"y2 3my2my, 6y2得1443m24凹0(my16)( my26)BFN(3) Sabf Spbf Spaf 272 吋 m241JPFI |y272yi|72/m2 4(3m24)y2 48my 144023(m4) 1616Jm243m2 4722J3 16当且仅当3jm2416即m三角形ABF面积的最大值是28 (此时适合> 0的条件)3取得等号10【解析】：(1)设椭圆方程为a则

18、 4a22b解得12ab2(2)因为直线又kom因为直线332X2a1(ab 0)8所以椭圆方程22y_2l平行于OM且在y轴上的截距为所以I的方程为：y21-X22y2l与椭圆交于 A、B两个不同点，(2 m)2 4(2 m2 4)0,所以m的取值范围是m|(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，只要证明k1k22 2X 2mx 2m 4 0m 2,m 0。0即可设 A(X1,y1),B(X2,y2)，则 k1 仏X11尹2y2 1X22由X222mX 2m40可得X1X22m, X1X2 2m2七 1 (y1X221)(X22) (y2 1)(X12)(X,2)(X22)而k1k2 4(2x1 m 1)(X22)(2x2 m 1)(X12)2 2x1x2 (m 2)( Xj x2) 4(m 1)(xi 2)(X22)(xi 2)(X22)2m2 4 (m 2)( 2m) 4(m 1) 0(Xi 2)(X22)k1 k20 故直线MA M