实验五 行星的轨道和位置

1、 行星的轨道数学实验数学实验和位置上海交通大学上海交通大学数学实验行星的轨道和位置乐经良他以几乎神一般的思维力,最先说明了行星的运动和图象,慧星的轨道和大海的潮汐. Newton 墓志铭乐经良哥白尼哥白尼( (波兰，波兰，1473-1543) 1473-1543) 日心说日心说地球地球我们的家园我们的家园4646亿岁亿岁 , ,赤道半径赤道半径6378.146378.14公里，比极半径长公里，比极半径长2121公里公里金星金星看起来最亮的行星看起来最亮的行星半径约为半径约为60736073公里公里, , 表面温度高达表面温度高达465465至至485485度度 , ,自转自转方向与其它行星相反

2、方向与其它行星相反背景介绍1616世纪前，人们认为太阳只有世纪前，人们认为太阳只有6 6大行星大行星托勒密（古希腊）托勒密（古希腊）地心说地心说乐经良水星水星距太阳最近的行星距太阳最近的行星半径为半径为24402440公里公里 , , 较小，难以观察较小，难以观察火星火星离地球最近、人们最关注的行星：离地球最近、人们最关注的行星：火星上有无生命？火星上有无生命？土星土星最美丽的行星最美丽的行星卫星数目最多卫星数目最多,23,23颗颗. . 光环由无数块冰状物组成的光环由无数块冰状物组成的木星木星行星中的巨无霸行星中的巨无霸赤道半径约为赤道半径约为7140071400公里，是地球的公里，是地球的

3、11.211.2倍倍乐经良行星运行三大规律开普勒开普勒(1571(15711630) (1630) (观察分析数据观察分析数据) )在第谷在第谷布拉赫布拉赫(1546-1601)(1546-1601)的基础上提出的基础上提出1. 1. 行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆; ;2. 2. 从太阳指向某一行星的线段在单位时间内从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相同扫过的面积相同; ;3.3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数的立方之比值是不随行星而改变的常数. .乐经良

4、(Adams 1845,Leverrier 1846)万有引力定律“自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理” ” (1687 (1687 牛顿牛顿) )天王星天王星乐师乐师(Herschel)(Herschel)发现的行星发现的行星 (1781)(1781)海王星海王星笔尖上的行星笔尖上的行星冥王星冥王星离太阳最远、未知数最多的行星离太阳最远、未知数最多的行星20062006年年8 8月月2424日国际天文学联合大会决定：日国际天文学联合大会决定：冥王星降级为冥王星降级为“矮行星矮行星” ” ( (大行星的定义大行星的定义) )太阳只有太阳只有八大行星八大行星！乐经良二二实验目的实验目的本实验主

5、要涉及常微分方程。通过实验复习：微分方程的建模和解法，数值积分的计算。另外，还将介绍：建立数学模型时复坐标系的选取，基于压缩映像的求根方法，微分方程的Runge-Kutta法乐经良三三 实际问题实际问题地球距太阳最远处地球距太阳最远处( (远日点远日点) )距离为距离为1.5211.5211011 m,1011 m,此时地球绕太阳运动此时地球绕太阳运动( (公转公转) )的速的速度为度为2.9292.929104 m/s104 m/s, ,试求试求: :1) 1) 地球距太阳的最近距离地球距太阳的最近距离2) 2) 地球绕太阳运转的周期地球绕太阳运转的周期3) 3) 在从远日点开始的第在从远日

6、点开始的第100100天结束时天结束时, ,地球的位置与速度地球的位置与速度乐经良加速度加速度数学模型在运动学中常采用复坐标系在运动学中常采用复坐标系设太阳中心所在位置为复平面之原点设太阳中心所在位置为复平面之原点, ,在时刻在时刻t, t,行星位于以下复数代表的点行星位于以下复数代表的点速度为速度为 ()iiidddddiidddddZrrereerttttt() )().iddddd diddddd dZrrerrtttttt222222225 2( ).iZ tre5 1四数学模型四数学模型( . )iddmMGZemrt2225 3() )()iidddd didddddmMGrrem

7、errrttttt2222222根据根据 Newton Newton 第二定律第二定律比较虚实部导出比较虚实部导出微分方程组微分方程组( . )()( . )dd ddddddddrrtttrMGrttr 222222205 45 5四数学模型四数学模型( . )( . )( . )( . )ttttrrdrdtvddtr00000005 605 705 85 9问题（问题（5.45.4） （5.95.9）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。）就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。四数学模型四数学模型四数学模型四数学模型( .)( .)( .)( .)( .)tttCd rMGdtrrCddtr

8、rrdrdt 2212321200005 125 135 1405 1505 16于是我们得到了行星运动的形式较为简单的数学模型：于是我们得到了行星运动的形式较为简单的数学模型：四数学模型四数学模型 r d C1tp乐经良I I 行星的轨迹行星的轨迹请尝试推导出行星的轨道方程？请尝试推导出行星的轨道方程？p1 ecosr 2( p,e 是常数是常数,根据相关已知数据导出根据相关已知数据导出)改写前面积分表达式成为改写前面积分表达式成为210d T1C121(1 - ecos )给出时间给出时间T1，要求位置即求出，要求位置即求出1与与r，较难！，较难！五解析方法五解析方法五解析方法五解析方法I

9、I II 行星的周期行星的周期五解析方法五解析方法III III 行星的位置行星的位置五解析方法五解析方法hnrvhnthtrjsdv0.05 331.65001.49401.99592.98190.01 1681.68001.49331.99792.98340.005 3371.685001.49321.99822.98360.001 16861.686001.49311.99832.9837六六数值方法数值方法hn六六数值方法数值方法hnabeeabdeabdabbeadyxxytCsinsin1cossinsincoscos1六六数值方法数值方法hn六六数值方法数值方法hn1.70261

10、.7026sin0167. 01.7192sin1.70261.7192sin0.01671.7192sin1.7192sin231201eee六六数值方法数值方法五五数值方法数值方法hn六六数值方法数值方法乐经良艾萨克 炼金术士炼金术士 造币厂总监造币厂总监较之科学他更多致力于较之科学他更多致力于圣经圣经的研究的研究牛顿 Sir Isaac Newton(英格兰英格兰 1643164317271727年年)科学史上最有影响力的人科学史上最有影响力的人物理学家物理学家 数学家数学家 天文学家天文学家哲学家哲学家 专心于科学研究到痴情专心于科学研究到痴情乐经良 性格内向性格内向 独身一生独身一生

11、 牛顿的一句名言牛顿的一句名言What Descartes did was a good step you haveadded much several ways & especially in takingthe colours of the thin plates into philosophcalconsiderationIf I have seen further it is by standing on yeshoulders of Giants.hh乐经良III微分方程的微分方程的 Runge-kutte 方法方法以一元为例以一元为例dxdt f (t , x), x t

12、0 x0设步长为设步长为h,则则 tk kh , 记记 xk x(tk ) xk 1 x(tk h) （Taylor 展开）33!22!x(tk ) x(tk ) x(tk ) hx(tk ) 其中 x(tk ) f (tk , xk )x(tk ) ft (tk , xk ) f x (tk , xk ) x(tk ) f t (t k , xk ) f x (t k , xk ) f (t k , xk )可以求出各阶导数 xk h( K1 乐经良计算高阶导数计算高阶导数 代之以代之以 f f 在一些点的值的组合在一些点的值的组合当当Taylor Taylor 展开到四阶项，可取展开到四阶

13、项，可取16262616K 4 )K 2 K 3 xk 1其中其中K1 f (tk , xk )K 2 f (tk h / 2, xk hK1 / 2)K3 f (tk h / 2, xk hK 2 / 2)K 4 f (tk h, xk hK 3 )Runge-KutteRunge-Kutte迭代格式迭代格式在在MatlabMatlab可可以直接调用以直接调用乐经良使用Matlab先定义一阶微分方程组函数组先定义一阶微分方程组函数组function dy=m5_2_fun(t,y)C1=4.455e15;MG=1.989e30*6.672e-11;dy=zeros(3,1);dy(1)=C1

14、2/y(2)3-MG/y(2)2;dy(2)=y(1);dy(3)=C1/y(2)2;000000212321tttqrrrCdtdqdtdrrMGrCdtdq乐经良再调用再调用Runge kutte方法专用程序：方法专用程序：function T=m5_2(h)t,y=ode45(m5_2_fun,0:h:400*24*3600,0,1.521e11,0);n=max(find(y(:,3)2*pi); %查找小于查找小于2pi所对应的最大所对应的最大n值值T=t(n);r=y(round(n/2),2) ;polar(y(:,3),y(:,2)乐经良轨道图形将计算所得的数据，将计算所得的数

15、据， 利用利用 MatlabMatlab 作图可得作图可得乐经良实验任务任务任务2.2.水星距太阳最远处距离为水星距太阳最远处距离为0.69820.69821011m,1011m,此时水星绕太阳运行的线速度为此时水星绕太阳运行的线速度为3.8863.886104 m/s104 m/s, ,画出水星绕太阳运行的轨道曲线画出水星绕太阳运行的轨道曲线, ,试求试求: :1) 1) 水星绕太阳运行的周期水星绕太阳运行的周期2) 2) 水星到太阳的最近距离水星到太阳的最近距离3) 3) 求从远日点开始的第求从远日点开始的第5050天天( (地球天地球天) )结束时水星的位置结束时水星的位置乐经良任务任务4. 4. 冥王星在冥王星在19891989年年1010月处于近日点距月处于近日点距太阳太阳44.4 44.4 1011m,1011m,此时其线速度为此时其线速度为0.61220.6122104 m/s104 m/s, , 试求试求: :1) 1) 它在什么时间到达远日点，此时它的它在什么时间到达远日点，此时它的线速度为多少线速度