平面向量知识点总结及训练题

1、第五章平面向量、向量的相关概念:1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母a、b等表示;用有向线段的起点与终点字母：AB ；坐标表示法：a Xi yj （x, y）3、向量的模：向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作丨AB |.4、特殊的向量：长度为0的向量叫零向量，记作 0 0的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向5、相反向量：与a长度相同、方

2、向相反的向量记作6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作7、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a/b平行向量也称为共线向量 规定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a 与 b，作 OA = a , OB = b，则AOB 0叫a与b的夹角说明：（1）当0时，a与b同向；（2）当 时，a与b反向；（3 ）当 -时，a与b（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须垂直，记a丄b ;规定零向量和任意向量都垂直。是同起点的范围 0<< 1809、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与

3、方向规定如下：(n)当 0时,a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a0,方向是任意的10、两个向量的数量积:已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为，贝U a b | a | | b | cos叫做a与b的数量积（或内积）规定0 a11、向量的投影：定义：I bIcos 叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不 是向量；当 为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当 为直角时投影为0;当0时投影为I b | ;当 =180时投影为|b|bcos生卫 R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：e1 ,

4、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1,2，使a1 e12 e2（1）.平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y，使得O1我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a (x, y)O2其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，O2式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为(X, y) ' ' -J 1特别地，i (1,0)，j (0,1)，0(O,O)(2)若 A(xi, yi) , B(X2,y2)，则 A

5、B x? Xiy y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入， 使b a设 a (xi,yi) , b (X2,y2)，则 a/ b abXiy2X2yi03、两个向量垂直的充要条件设 a (x1, y1) , b (x2, y2)，贝U a4、平面内两点间的距离公式xi Xyi y2(1)设 a (X, y),则 |a|2 x2 y2 或 |a|(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(Xi, yi)、b(X2, y2)，那么I2| AB | J Xi X2V

6、iy2 2 (平面内两点间的距离公式5、两向量夹角的余弦(0)a b丿 cos |a| |b|xiX2yiy2Jx,2 I 22Vigy2三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算 的坐标表示和性质rra (Xi, Vi), b (X2, y?)运算 类型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则2三角形法则(首尾相接，首尾连)a b (xi X2, Vi y2)abba(a b) c a (b c)AB BC AC向 量 的 减 法三角形法则(首首相接，尾尾相连, 指向被减)a b (xi X2,yi y2)a b a ( b)AB BAOB O

7、A AB实数入与向量a的积是一个向量,记作:(a)向 量 的 乘 法(1)0时，a与a同向;a ( X, y)(a b)0时，a与a异向;a/ b a0 时，a 0。任意方向a b | a | | b | cosa b X1X2 yi y2(a) b a ( b) (a b)向 量 的 数 量 积2a|a |b |cos a, b向量的数量积的几何意义：(a b) c a c数量积长度与在|b | cosa b等于a的a方向上投影的乘积特别注意：(1 )结合律不成立：a (b c) (a b) c ；(2)消去律不成立a b a c不能得到b c(3) a b 0不能得到a =0或b =02|

8、a |2 a 或 |a|ab| |a|b|a bcos |a| |b|乘法公式成立:(a b)(ab)2b |a|2|b|22(a b)2线段的定比分点公式：2a b b | a |2 2 a b | b |2设点P分有向线段所成的比为入，即=入，则)(+ )或(线段定比分点的坐标公式 当入=1时，得中点公式：= 平移公式：设点P(x, y)按向量a =( h, k)平移后得到点P'(x', y )，则=+a或曲线y= f (x)按向量a = ( h , k )平移后所得的曲线的函数解析式为：y- k = f (x h )正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径)(1)asin A

9、bsin B2rsin C(2) a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3)sin Aab2R,sin AB,sinC2R余弦定理(1)b2 = a2 c2 2accosB.2 2 2(2)cosAb c a2bc(3)S 1a ha : S-bcsin A221-absin C21严nB ；A + / BVA + / B>得在钝角 ABC中, 在 ABC中，有下列等式成立. 证明：因为所以，所以，结论！cosC 02 .2a bc20a2 b2 c2附： ABC的判定: ABC为直角/ A + / B =< ABC为钝角/> ABC为锐角/ 附：证明：，三角

10、形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 垂心：三角形三边上的高相交于一点非零向量a与有关系是：是a方向上的单位向量练习题:、平面向量的概念及其运算1、若向量a、b 满足 |a b| |a| 用,则a与b必须满足的条件为a,b方向相同2、若 ABb, AC c ,贝U BC 等于(A. be3、正六边形ABCDE中,BA CDEFA.0BE.CD.CF4、在边长为1的正方形 ABCD中，设AB a,AD b, AC e，则|a b C =25、在 ABC中，已知BC3BD，贝U AD等于(A)A.1 *1 (AC 2AB

11、)31 .才(AB 2AC).1(AC 3AB)D.1 (Ac 2 AB)4在 ABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若ABa, AC b，贝y EF等于(C )A.2(a b)1.2(a b) Ci(ba)已知：向量a, b同向，且 |a|3,lb 7 ,则|2a、平面向量的基本定理及坐标表示8、若 AB 3e1, CD5ei，且ADBC，则四边形ABC( CA .是平行四边形.菱形 C .等腰梯形不等腰梯形9、已知 A( 2,4), B(3,1),C( 3,4)且 CM 3CA, CN 2CB，试求点 M、N和MN的坐标199页(答案：M (0,20), N(9,2), MN(9, 18

12、)10、已知向量a ( 3, 4)，则与a同向的单位向量是( AA. ( |, 4)34.(匚4)C . ( 3, 4)5 5D . (3,4)11、已知 A( 3,2), AB(8,0)，则线段AB中点的坐标是(1,2)12、若三点 P(1,1), A(2,4), B(x, 9)共线，求 x(答案：x 3 )13、若向量a (x 3, x2 3x 4)与AB相等地，已知 A( 1,2), B(1,2)，则x的值为(A )A. -1 B.-1 或-4 C . 4 D . 1 或 4三、线段的定比分点14、已知AB、C三点在同一条直线上，且A( 3,-6 ), B (-5 ,2),若点C的横坐标

13、为6，求25、若|ab |a b，且a与b不共线，则a与b的夹角为90°点c分AB所成的比及点 C的纵坐标(答案:春,9)15、若线段 AB的端点 A(lgx,lgy),B( 6,3)，中点 M( 2,0)，则 x10016、已知0(0,0)和A (6, 3)两点，若点 P在直线OA上，且OP扌'PA，又P是0B的中点，则点B的坐标为(4, 2)17、已知直线I与x轴，y轴分别交于点 A B, AOB的重心为(-139,3),则AB中点坐标为(-，-)2 218、已知三个点A( 2,1),B(1,4),D(4, 3),点 C在 AB 上，且 2ACcB，连结DC并延长至E,使

14、 1 *CE -DE，则4E点的坐标为(D )11B .(-8，5)已知点 A(x,5)关于P(1, y) R对称点是19、.拒 B . J15CB( 2,.(0, 1)或(2,二)D33),则点(x,y)到原点的距离是(四、平面向量的数量积20、已知，a 2,|b 3,a b 33，则a与b的夹角等于30°21、已知ABCD为菱形，贝U (AB BC) (AB AD)的值为22、已知lb 5,且a b 12，则向量a在b方向上的投影为12523、已知向量a与b的夹角为120o，且|a|4,|b|2 ,(1 )求a在b方向上的投影(2)求 |3a4b|(3)若向量(答案：(1)a k

15、b与5a b垂直，求实数-2 , (2) 4万,(3)4k的值24、已知a、b 满足 |a| 1,|b|1 且(ab)226、已知I a 2j13,b( 2,3)，且 a b，求 a 的坐标27、已知(2, 1),bA.(2,)(,1)，若a与b的夹角为钝角，贝y.(B . (2,) C28、已知a(6,0),b (5,5)，则a与b的夹角为29、已知 A(3,2),B( 1, 1)，若点 P(x, 1)在线段五、平移30、31、32、A.33、的取值范围是(AAB的中垂线上，则把点A (3, 4)，按 a (1,2)平移，求对应点 A 的坐标(x , y )2x 1把函数y 二的图象I按a

16、(3一个向量把点(2, -1 )平移到(2, 1).(-2 , 1) C若向量a使点-9 )平移到点的解析式为(答案(4，6)1,2)平移得到I，求I的函数解析式(答案-2 , 1),它把点(-2 , 1)平移到.(6, -3 ) D(1 , 1),则将函数y2x 7 )3.(-6，3)3x2 12x2的图象,按a平移后A. y 3x22y 3( x 2)23(x 2)210 D.y 3( x2)2 1034、已知 A (5, 7)、B(-3 , -4 )八、解斜三角形在ABC 中，已知C45°, A30o,a2罷，求b(答案：2j3 2)在ABC 中，已知B45o,b72,c 1，

17、求a(答案46<2)2在ABC 中，已知B150o,a33, c2，求b(答案7)在ABC 中，A120o,b3,c5 ,求 sin Bsi nC(ab c)(abc)3ab，求C(2, 3),将AB按向量a(4,1)平移后的坐标为35、36、37、38、(1)(答案：(1)也(2) C 60° )739、若三角形的三边长分别为，5, 6，则此三角形一定是A.锐角三角形.直角三角形 C .钝角三角形D.锐角或钝角三角形40、在ABC中，若a2bcosC，则 ABC 为(BA.直角三角形.等腰三角形C.等边三角形.等腰三角形或直角三角形41、在 ABC 中,S ABCJ3, A 60o,b则a的值为（.1342、已知三点A（ 1，2），（1 ）若ABCD为平行四边形，求B (3,1 ），C（-1D点坐标；,0)（2 ）若P在直线 AB上，且 PA3PB，求P的坐标（3