收敛数列的性质

1、 2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容： 收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练（S-N）定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和（g-N）定义突破之。一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若an收敛，则它的极限是唯一的。证明：设lim an =a,lim an = b，则由s - N定义及P3例2和P4习题3知a=b。nn_jpc2、有界性：若an收敛，则an为有界数列。即3M0,n迂 N 有 an N 有 anjica即|a兰i+ia，取M =m aXl +忖1|,2|,则 Vn壬 N

2、 有|an| N 有 a bn。证明：取？（b-a）:0,由-N定义有:- 13N1n A Nj = an -a N2 = |bn -b s ,即 5(a + b) bn。(1)(2)取 N =max Ni, N?，则 VnN 有 abn。1、推论1：若 lim an = a V b.则 3N, nN = a b . npC2、推论2：3、推论3：若 nman=a No有 abn，则 lim a lim bn证明：反证法。说明：（1 ）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。若anbn是否有nmanimbn，考虑#与（2）同理可证相反的不等式。4、迫敛性（两边夹法则）设

3、数列an与bn皆收敛于a，数列Cn满足：3N N,VnN。有ac bn.则 Cn收敛，且 lim G =a.n_5pc证明：N =maxN0, a&canCn0 (n =1,2,3，)，证明：若 lim an = a，则 lim JO? = JO.c名2从而有jon V s即证明：由不等式定理知 a0。若 a =0，贝y 由 li man =0 知 Fs 0,3N ,/n a N 有 an n_3pcjot0 0, 3N, Vn N = a Jas，从而有-Ta综合之该例获证。例：求Vn的极限。解：设 an =斤=1 +hn(hn 0)，则 n =(1 + hn)n aC： h；=0 hn ，

4、故有n 11 0)证明：寫a 0.二3k亡N. 使a兰k，于是有1 k+1 k+2n故 Pnk 有0 =a.-n! 1 2二、四则运算法则若an与（bn）分别收敛于a、b，则心心山环叫0）也收敛(i) lim (an bn) =a b. njpc(ii) lim anbn =ab.n(iii) lim 並Fbn b特别地有：limjan +c) = a + c, Ijmcan)1 1=clim an =ca,lim =- Y+bn bk屮 .a a a a a 1_、.一 N2时有bn b 0JN1, N N(I)当n Ni时有取N =max Ni，N2，则当nN时（l）、（ll ）同时成立，

5、从而有(an + bn ) -(a + b) N )(iii)anb-abnbnbbnb1(ban -a +|a|bn b)bbn10.3N3 邛，V n N3寫limbn =bH0,”.由保号性定理的证明取名=-ib(Ill)1 1 bn b 1-1).(7)+Jn2 + n 丿解：（1）分子分母同除以分子分母的最高次幕。（2）分子有理化后用（1 ）的方法。（3 ）与（1）类似，分子分母同除以 3n。(7)Jn2 +nnJn2 +1Jn2 +1例：证明（1 ）设a、b0，证明:lim an +bn =ma乂 a,b利用迫敛性定理；通过放大或缩小将无限项写为有限项:(2)若 an 0，且 li

6、mVar 1，则 lima 0Wa =1(a0)证明：(1) maxa, b兰 Van +bn V2 maxa,b，由迫敛性定理及 lim nJPC可证(2)*07 -r vs=OanV(r+E)n ，取定o使O c r +名o 1 ，贝y由lim qn =O(q k.且当kT比时nk t 乂反之亦然(严增)。2、数列与其子列收敛性的关系:an收敛U an的任何非平凡子列都收敛。证明：=必要性:设 lim an =a. F名 a03n,Wn aN= an -，设ank是an的任一子列。nT nk Ak.故当k aN时有nk a N，从而也有ank a 。即ank也收敛于U充分性。考虑an的非平凡子列a2k. a2k-i与a3k，由条件它们皆收敛，又点讣既是a2k的子列，又是a3k的子列，由必要性有lim a2 lim a6 lim a3k.又a6k是a2kj及a3k的子列，由必要性有 lim a2k斗=lim a6kd =lim a3k于是有lim a2lim a2k .由P26例7可知，lim an存在。a 予亡0 手七n 环说明：（1）an收敛二a2k与a2kj皆收敛且极限相同。（P34习题7）（2）推论1若an有一个子列发散，则an发散。推论2：若an有两个子列收敛于不同的极限，则an发散。（3）若an单调增加，且有一个子数列收敛。则an收敛，且收敛于同一个极限。例：