对称性及守恒定律-Oriyao

1、第五章:对称性及守恒定律131证明力学量 A （不显含t）的平均值对时间的二次微商为:（H?是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A?不显含t,有将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量的平均值，则有:dtA二；1咅氏旳旳=-右氏旳的此式遍乘护即得待证式。t的物理量对时间t的导2证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含 数的平均值等于零。（证明）设A是个不含t的物理量，屮是能量H?的公立的本征态之一，求 A在屮态中的平均值，有:A = 屮 * A+dtT将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）齐莉丽和厂（AZA）畑今屮代表H?的本征态，

2、故屮满足本征方程式(2)（E为本征值）又因为R是厄密算符，按定义有下式（ 屮需要是束缚态，这样下述积公存在）川屮 * H?(AV)dT =川(H)* (砂)dtT（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（2） （3）代入（1）得：等=+ 川 * A（H?屮）dT 1 川（Hw）*（A屮）dTE*诗J阿*恥一千鬥*恥工因 E =E*，而 d=0dt:3设粒子的哈密顿量为唸+V（r）。（1）证明4（：目=刊卩一罚。 dt（2） 证明：对于定态2T =厂vV（证明）（1） r ”p = xpx + ?y +z?z，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律:dt（rrp）看禹荷?,

3、H? =x?x +yPy 十程；1 ?2 +v(x, y, z) 2L= XPx +y?y +ZPz，2(?x2 + ?y2 + Pz2)+V(x, y, Z)2 1= X?x +yi?y +Zpz, Px + Py分动量算符仅与一个座标有关，例如+ Pz 咗+XPx + ypy+zPz,V(x,y,z)(2)h gPx =，而不同座标的算符相对易，因此（2）式i ex可简化成:r? $ H? = 27x?x，i?2P2?y，?y2?z，?2+XPx +yp?y +ZPz，V(x, y, z)二缶邠x,02+为 yPy，?y +止zPz,0；+x(?x,v +ypy,v +zpz,v前式是轮换

4、对称式，其中对易算符可展开如下:XPx,P； = Xp；-p2XPx= xp：-?xXp2+?xXP2-P2xi?x = )? ?x?2 + ?xX, ?x?x(4)= i?2 +齐i?； =2 卉ip；私V =xpx?-VX?x =x?x?-?px =XI?X,Vex将(4)(5)代入(3)，得:"G/?zy+pz)+"ixix+yiycz=两 + r A/V代入(1),证得题给公式:dL(rp_rw(2)在定态屮之下求不显含时间t的力学量A的平均值，按前述习题2的结论，其结果是零，令d贝yr ”p =dt2 _*(?p)WdT=±耐=0但动能平均值由前式三f阳

5、* LdT V2卩1 =r A/V22=_P_24:4设粒子的势场 V (x, y, z)是x, y, z的n次齐次式证明维里定理(V irial theorem )nV =2T式中V是势能，T是动能，并应用于特例:(1)谐振子 V =T(2)库仑场 V = -2T(3) V =Crn,nV =2T（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标（X, y, Z）的n次齐次式，则不论n是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中V假定是有理函数 （若是无理式，也可展开成级数）：V(x,y,z)=Z CijkXiyjzkijk此处的i,j,k暂设是正或负的整数，它们满足:i

6、+ j +k = n (定数)Cijk是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。根据前一题的结论:现在试行计算本题条件下r PV的式子及其定态下平均值。rV=x竺+y空+z空excycz=(x1X+y亍唔広 CijkxVJ=xWiCjjxk'yjzk+y£jCjjxk+ 乏kQjxkyjzk=(i + j +k)2； Cijk xi yj zkijk=n V(x,y,z)这个关系在数学分析中称Euler的齐次式定理。再利用（2）即得:(3)27= nV本证明的条件只要r PV不显含时间（见前题证明）故是一个普遍的证明。现将其直接 用于几种特例，并另用（2）式加以验证。（1

7、）谐振子：V =（时jX2 +时2y2 +时3乙2）式知道直接看出n = 2 ,根据（3）2T =2V ,即 T =V也可以根据前一题的结论，即（2）式直接来验证前一结论cx石 yczX，甩区+ y 甌2y + z 皿3Z卩(必2七02屮+b3z2) =2Vr V = 2V，由式可知T = V（2）库仑场-f 2 丄24x +y +z直接看出V是X,y,z的n =-1次齐次式，按（3）式有:2T = -V但这个结论也能用（3）式验证，为此也利用前一题结论（2）有:-cVr AZ V = X exeVdV+ y+z-x ,x2+y2+z2)3/2+y-y/ 2 ,2 .2 3/ 2(X +y +

8、z )十 z'(x2+y2：z2)3/2_1 Jx2+y2+z2代入（2）式，亦得到2T(3)场 V(x, y, z) = Crn = C(x2 + y2 +n z2）2 直接看出V是X, y,z的n次齐次式，故由（3）式得：2T =nV仍根据（2）式来验证:r B V = X + y CXcy+ z空cznn=x 丄(X2 + y222)r2x)v2(x2+y2+z2)r2y)n2 +z2)2 (2z)222 O=n( x + y +z2)2由（2）得 2=nV，结果相同。本小题对于n为正、负都相适，但对库仑场的奇点r=0除外。5证明，对于一维波包:d x dt（解）一维波包的态中，

9、势能不存在故（自由波包）依据力学量平均值时间导数公式:d x dt养?2点炉,？2 =?2 -pxx=(Xpx Px - XPxXPx)+(?x?x - ?x PxX+ (XPxPx>-Px?xX+(F?x?x-PxPxX?)=X Px?x +xPx? Px +冈 PxPx+ ?xx； ?x?, Px二為(4)?2,?：=2(xPx+?x代入（2）式，得到待证的一式。6求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表 象的力学算符A?（t）应满足:又对于自由粒子，有（ ?不随时间t变化）令A（t） =5?（t）为海氏表象座标

10、算符；代入（1）dX(t) 1(2)X(t), p2 =?2_?2?=?p px? + px? - ?p?= ix, p? +|?X,|?=2卉iP代入（2），得:dXV)dt积分得X：t) =£t+C将初始条件t =0时，x（t） =X（0）代入得C =x（0），因而得到一维座标的海氏表象是:x（t）諾t 50）:7求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。 （解）用薛氏表象时，一维谐振子的哈氏算符是：解法同于前题，有关坐标?（t）的运动方程式是:(2)dX(t) 1 ?(,) F?2(t)+ 甩歹将等式右方化简，用前一题的化简方法:=2>?2+船?0=罟dx(t)dt十(t)

11、但这个结果却不能直接积分（与前题不同，?与t有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式:d?(t)dt2 2 2=訥）譽+巴严化简右方和p,也 2X2(t)也2 ?2?2?pxx-xp?-xxp2hi曲22 2陶？-刃0,?=卄?(t)将对时间求一阶导数，并与式结合，得算符x（t）的微分方程式：黔心t）"这就是熟知的谐振动方程式，振动角频率3，它的解是:X(t)=Acos©t + B?s inA，B?待定算符，将它求导，并利用:?(t) = P© (?cos©t - Asin©t) (7)将t=0代入：x(0)=A P (0)=曲B，最后得解:

12、1X(t) =X0)costot?(0)sintP(t) = p(0) cos肌一 P<»x(0)sin 矶)在初时刻t=0，海森伯表象的算符与薛定谔表象中的算符的形式是相同的，因为前式 中：x(0) =?h F?(0)i exc.f.P.Roman.Advaneed Quantum Theory: § 1.1.p.47-48 Addison-Wesley8 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：H? =2 Pi +2 V/ri -rj/i 2mii,ji<证明：总动量?=送?为守恒。i证明:待证一试是矢量算符，可以证明其X分量的守恒关系，即为足够按力学量守

13、恒条件这要求:?x,H? =0?x,H?HZi?ix正i1 2 亦？ +T(/r/)=Zi?ix,Si1 2 亦？i 皿？ix，T(/rrj/)=?1x 中？2x ？ix 1 2 2 2 1 2 2 2，甄(Plx fy fy ) +亦倫 7 Ty)+?ix +ftx？ix，V(/ri-Q/) +V(/r2 -R/)V(/rrj /)+最后一式的第一个对易式中,因为:故整个?ix,?jy2 =0，?iz,?jy2=0，?ix，?jzH0三?ix J：ii至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式艺 V/ r r / =5： V(Xi -Xj- yj,Zj - zji,ji,ji<j=

14、-S V(Xi -Xj,yi -yj,Zi -Zj)+V(Xi -Xj,yiyj,Zi - Zj) 2 i,j又式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同座标的座标算符和 动量算符永远能够对易，式又能简化成：?x,H? =Z ?ix,艺 ?(Xi-Xj,yi -yj,Zi -Zj)j=送送?ix，1?(Xi-Xj,yi- yj,Zi-Zj)+?(Xj-Xi,yj -yi,Zj-乙)再运用对易式(第四章 11题)idx-i?ix,F(Xi)皂,F(Xi) = WxJi <Xi代入上式得:Xj,yi yj,Zi Zj) +2 Z ?x,V?(Xj -Xi, yyi,z Zj)i

15、j2=SS -SZ i j 2i cXi2i cxi满足式，故式得征。?O9多粒子系如所受外力矩为0，则总动量L=Z l?为守恒。证明与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能 V(ri-rj)，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0,因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能:C12H?=忒?i +2 Vri -rj2比i,j要考察合力矩是否守恒，可以计算?,H的分量看其是否等于零。-ZiP iyhS 土2 Pi +2 Vri rji，j2 2 2 2+ ?iz) -( Pix + piy + ?iz )( y Piz - Zi Piy ) +1 2 2 =Z (yi P

16、iz -Zi Piy)(?ix +?iyi 2 n艺艺(yiPiZ- ZiPi y)V(Xi-Xj,yi -yj, Zi -Zj)-V(Xi -Xj,yi-yj,Zi-Zj)(yi pix - Zi p iy)i j1 2 2 2 2 2 =Z ( yi Piz ?ix- ?ixyi Piz ) + ( yi Piz piy - ?iyJi Piz ) +( Ji Piz - Pizi 24i2 2 2 2 2 (?ix Zi Piy Zi Piy ?ix) + (?iz乙 piy Zi ?iy ) + ( ?iz 乙 Piy送送(yi PixV Vyi Pix ) +(VziZi Piy Z

17、i PiyV)i j2 2yi Piz) +最后一式中，因为2 2 2 2Pix,Piy = Piz,Piz= Piz,Pix = Piz , Piy=0因而可以化简：? 1 2Lx,H?=2 苛0+yi,?iy Pix +0+0+0+?iz i 2 Pi Piz,yiV +zv, Piy用对易关系:L?x,h? =Zi2-乙 Piy ?iz) +2,Zi Piy2岛 iPiypiz -2挖 Piz Piy+2Z；yiV-f ZiVi j i czii cyi丄"i匸I i,j最后一式第一求和式用了 Piy,內2=2囲Py等，第二求和式用了：P X,f(X)i ex见课本上册P111

18、，最后的结果可用势能梯度 内力表示，因内力合矩为零，故有1?X, H?=-送x7iV =-S nx fi =0i i,ji i , j同理可证Ly,® =0LzH =0?因此L是个守恒量。10 证明：对经典力学体系，若 A，B为守恒量，则A，B即泊松括号也为守恒量，但不一守恒量。证明先证第一总分，设qi为广义坐标,力学量，i=1,2,3,£为坐标或动量编号，!c.f.Goldstein : Clessical Mechanics)定是新的守恒量，对于量子体系若A, B是守恒量，则 A,B 也是守恒量，但不一定是新的,Pi为广义动量，A q i , Pi和B qi , pi

19、是任意 s自由度，则经典Poisson括号是：(前半题证明A,B三送空皂-空亘i i OPi 卬 i i在经典力学中,力学量 A随时间守恒的条件是或写作：dAdt4 &iRi 员cPicA cPi=0将哈密顿正则方程式组:dqicHdt$idpidt代入前一式得dAdtdA狛弘注=6+A,H=0 ctcqi cpi印i 內i因此，若力学量B不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是:A,H =0B,H =0假定以上两条件都适合,我们来考察A，B是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立: A,H, H =0为了考察前一式，可令:I 三A,B,H -B,A,H将此式用泊松括号的定义展开

20、得:三送邑丄_亜 JLw B cH cB cH 、I.I.o.I.J、rI.ro.JcA cH、_ cpi cqii gi e "Pi 旳 k gK EPk 中 K qKp r cB CcBCr <5A cH一匕: 一:匕仔细地展开前一式的各项, 化简形式如下：kcqK卬KCPKcqKiCQicpi将发现全部有关 H的二阶导数都抵消，只留下H的一阶导数的项,ehcHI =5： F(A,B)+G(A,B)i卬i旳式中F，G都含a和B的导数，为了确定这两个待定系数，可令H等于特殊函数Pi （这不失 普遍性，F与H无关），代入式后有I =AB, Pi -B,A, Pi= A-B,=2

21、A,B前式中B, Pi的值可在中，作替代a >B，B > Pi得到， a, Pi求法类似。再在式中,令H= Pi，得：I=F（ a，B）因而得:同理令 Hnqj得：G(A,B) =-2A, B 印i将所得的F和G代入，并将这结果再和等同起来，得到:A，B，H B，A，H这个式子说明：如果（2）,（3）满足，（4）式就成立即A,B守恒。在量子力学体系情形,A, B守恒的条件是戌 H=0再考察 I = A,目的=AB?-BA,H?将此式加减 AB? + BHA后得到:l?,B? =B,? +?,?B + BHA + Hf,BA若A，B是守恒量，前一式等号右方A,H?=o，氏H?=o，左

22、方A,BH? = o所以?,B也是守恒量，所以量子体系的情形也有类似的结论。在量子体系情形，若守恒量，则A,有共同本征态，在此态中测得的值为确定值Ao和Bo（初始时刻的值），A,B? 的值为0。11粒子系处在下列外场中，指出哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称， 是守恒量。自由粒子无限的均匀柱对称场无限均匀平面场中心力场均匀交变场椭球场解要判断哪些力学量守恒 ,需要将力学量?,P,H?,i?宇称量等表示成适宜的形式，再考察?, ?等是否是零，但A是该力学量,若该交换式是零就说明 A是个守恒量，下面各种场的分析中,?的分量或其平方,PP,f?等逐个立式考虑, 自由粒子V? = 02卩14o122

23、2a Px,H? =?x,(?x+?y+?z ) =02 F同理lPy,H=0Pz,H?=0b ?,心1沖zPy),2(?x" + ?/ +Pz'=2(?y?x-?z?y) =0同理 i?y,H? =0l?Z,H?=027-.2+土)屮(口)fe2丄+冷+話心t)c设P为宇称，对任意波涵数屮(门t)r-2ccy2cz=他(-F,t) =H?屮(F,t)PH =HP冃 H?ho此外H不显含时间，故总的说p,l?HP, P守恒。无限均匀柱对称场柱对称场若用柱面座标(R,®,z)表示势能时 形式为V(R),是对称的哈氏算符，凡以z轴为对称轴的柱面上各点，势能V(R)相同。

24、护 1 CC1 C2 点2H (R)+rF+ V(R)2R*RERR2 总申2 6(z)a动量算符?-(co«-Sin 总icRPy/(sin半空+空 icR?z直截代入相应的对易式, ci cz得：WyH H0F?z,H?H0b角动量分量hpI? = -zs i nh詁。畤+ Rcos2c 岛F ZFF|yrzcoi-isi-Rco直截代入相应的交换式，得:(?z，H = 0c PH® (门t) =P秸？2 +V(r?)屮(r：t) =p>2 +V(I?)屮(F,t)柱面对称性的表示式v(o =v(_o故前式成为弗屮（nt）屮（nt）P,H=q此外H?也不显含时间t

25、，总的说来P四力学量守恒。Z是柱面对称轴方向的座标。无限均匀的平面场均匀平面场在一平面内势能不为零，并且处处相等，而与该点的座标无关，记作V0.2诂?2+必诂（盯+盯）垃a Px,H? =Px,扫 px2 + ?y2)+V02 »= ?x，2(px2 +?y2)+(?x,V0)=0同理 Py，H=0b角动量？系沿着 z轴，故I? =0,?y =0, I?=邪y -yt?x|?尚=0?y,H =0i?,H? =X?y -yPx,夬盯 + ?y2)+V,士 (饰yPx-卉 iPxPy)=02L?Z,R =0冉2 宀2c PH朋弓(右r2+厶)z。屮(X, y,t)护二弓(心2r2+為&q

26、uot;7=徵P, H? =0H?不显含t,总起来说?,?Z,H?,F?守恒.本题和三维自由场类似，差别在于均匀二维势场，但它不影响力学量的守恒 中心力场这种场的势能V(r),哈氏算符衣21 C 2 C?2H -庶孑石(評芹円(r)动量算符如下：?x=-Sini日 cose£+C0H_ 比韦 crrr sin9 c®?yi by=-sini占sin半纟+co泄空_ crrcos C rsin 日?z由于i dz等不能与CXh=一 cos & -idro sin8 cdrH?中所含V(r)对易，因而各分量px等都不和H?对易，即px,H?H0等式成立,矿=)24空r

27、a(r2 空)- 疔cr1r2 s in 日)r2s in2 日祥2r-2=»(旦 +V - 2<xQ-2CQD和Vcycz(r)对易，也不与H?对易。即?2, H? H0b角动量算符是:育+ ctgTco界靜I?=-禹cos 申 7 ctg 8 sin 申 £l?2心2 j-idf 厶。 c E、1C 、一（si）+一22sin 日拠 c0sin 20靜I?及其分量仅与角度（&,W）有关，与r无关，因而l?X等和？和势能V（ r）对易直接看出：（见课本113页）直接代入能证：1?,1?2 =0l" =0E,?2 =0ri? L?i r 冉*212

28、C1?2Iz,H= 莎,一不产石（r"同理关于？，I?。?22C 2 C1 ?2V（r）=V（r）l?,HZl ,一正尹17（77）一于？" c中心力场是球对称势场，即在同一球面上势能相等（等势面球形） 对任意波函数屮（nt），有?2餡（）屮（门）"生3（）屮（）二诛+V（-）屮（-rt） =加2（）屮（门）川刖（t），P?,H=0中心力场的守恒量是l?,l?2,h?,F?o均匀交变场这种势场可以是三维的，但既是均匀的，则势能不应依赖于座标，而只依赖于时间，例 如写成标量场形式V =V0 cost这样，在每一个指定时间 t就是一个空间中的均匀场，其性质就和三维自由

29、粒子场相仿。但若这种场是矢量场，例如一个电场沿z轴，随时间作交变，这样对称性要减低。V =Vo cos钮k（ k沿z轴单位矢）则守恒量是？x,0y,?X,H?,P?椭球场这种势场的对称性，在于场的等势面是一群椭球面，因而势场写作：v（FWr 咱这可以用直角坐标形式的算符来讨论乙2+令+召)+百2cy cz42我+ &)动量算符是：?xi ex，?yJi E，icz另两个轮换对称。由于直角坐标与其共轭动量不对易，即?xH=琵审（討訂")+(d2+(V+U)2一式中?x，0工0，所以动量不守恒，同理_ 岛 r r 岛2 尸2?尚十刃fzcyr、2+十)+时)2+(¥)2

30、+护此式之中I?与T?，V?两部分都不能够对易，因而角动量也不守恒。椭球形势场中粒子的守恒只会有H?和P?两种。c.f.D.特哈尔：量子力学习题集：§3。31题p154 P。160。12对于平面转子（转动惯量I），设：屮（巴0）=Asin2®（1） 试求屮（申,t）解平面转子勺定位坐标是转角9，这种坐标相当于球面极坐标中=常数宀2，0 .自 变量的情形。首先推出哈氏算符，在经典力学中，若刚体对旋转轴转动惯量I，角动量（相当于i?X）?12舟尸和动量T的关系是T=-2lx，转子的势能是零，又在球面极座标中导得lz二，故转子哈氏算符：B=_兰厶21砂2根据本章§ 5.

31、1的状态的波函数采用海森伯表象时记作（r,0），采用薛定谔表象时是屮（r ,0），则二者有函数变换关系是:本题是该公式的典型用法的示例，本题情形，所用变换算符不显含时间，根据式有:渔/純K jHt/h2I 那e = e h将式运算于题给的海森伯表象波函数k/h Q仆2歹（1 cos2 申）屮(r,t)=珂®,t) =e2M 1 /tn/ 点2 n/1 - Cos2® 弋补R (丽)注意到：盍cos2-2cos（2-引一2sin梓点2° 2COS2W = _22 cos2®£2n° cos2 =22ncos(2W +n兀)=(-4)n

32、cos2Wwe £ 12 卉it n 1 COS2W 11-2 齐it n cos2®1 1,-2%、n、COS2®=-亿)2 n z0 n!I21 型= 1 -e 1 cos2 刃(4)还是非归一化的波函，要将屮（ht）归一化，应乘常数 J 。V3兀13证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性，即设惯系K/以速度v相对于惯性系K （沿x轴正方向）运动时，空间任何一点，两座标系中的坐标满足：x=x / +vt / y=y /z=z/t / =t势能在K / K两坐标系中的表示式有下列关系V /证明若在(X/ ,t/) =V / (x-vt,t)=V(x,t)K/中薛

33、定谔方程式是24 dx则在K/中:尸屮舟2尸2忖十和£+V艸其中：屮（x,t）卅咒屮'（x-vt,t）t=0时，x=x /, t=t /,因此在时刻t=0 一点的波函证明从伽利略变换定义可知，在式中当数屮（X,t）与屮（x；t）相重合，这个关系和§5.1的海森伯，薛定谔表象变换®（nt）yE勿（匚0）为普遍起见，我们假设K,K /间的变换用一未知的么正算符L?（x,t）表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释（x, t）。= lP(x,t)屮(x,t)逆变换W(x,t) =lpj(x,t)屮(xf)QexCQexexexexr-.I ffff从知道:cctc , ex c