概率论与数理统计公式(全)

1、第1章 随机事件及其概率m!（1）排 列组合 公式Plgn)!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。Cn _m!匕m n!(m -n)!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n（2）加 法和乘 法原理某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mx n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mX n种方法来完成。（3）一 些常见 排列（4）随 机试验 和随机 事件重复排列和非重复排列（有序）

2、对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件, 它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（5）基 本 事 件、样 本空间 和事件 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用O来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用C表示。一个事件就是由 0中的部分点（基本事件 © ）组成的集合。通常用大 写字母A

3、, B, C,表示事件，它们是 O的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件 B发生）：AU B（6）事 件的关 系与运 算如果同时有 AU B，B二A，则称事件 A与事件B等价，或称A等于 B： A=BA B中至少有一个发生的事件：aUb，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB，它表示 A发生而B不发生的事件。A B同时发生：AB,或

4、者ABB=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。Q-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C)n (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC) 德摩根率：n Ai=u Aiy yRB = AnB , OTb = AU B设。为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数P(A), 若满足下列三个条件：0 < P (A) < 1 ,(7)概 率的

5、公 理化定 义P( Q ) =1A1, A2，有对于两两互不相容的事件P仃 Ai =5： P(Ai)(i 4丿常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。12° p (仞1)= P®2)=P ®n)=-。(8)古 典概型n设任一事件A，它是由© 1,©2m组成的，则有P(A)=q©1)U2)U U(oOm) = P(01)+ P©2)中+P ®m)m A所包含的基本事件数 基本事件总数(9)几 何概型咻“譜。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，

6、同时 样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随 机试验为几何概型。对任一事件 A,(10) 加法公 式P (A+B)=P( A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )减法公 式当 A=Q 时，P( B)=1- P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BUA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)(12)条件概定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称P(AB)为事件A发生条件P(A)下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A) = P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概

7、率。例如 P( Q /B)=1 = P( B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公 式乘法公式：P( AB) = P(A) P(B/A)更一般地，对事件 A1, A2,An,若P(A1AA-1)>0，则有P(A1A2 An) = P(A1 )P(A2| A1)P(A3| A1A2)P (An | A1 A2 . An -1)。两个事件的独立性B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A、B是相互设事件A、 独立的。若事件A、(14)独立性(15)全概公 式B相互独立，且P(A)0，则有P (B|A)=P = P (A) P(B)= P(B)P(A) P(A) _若事件A、B相互独立

8、，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件0和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P (ABC)=P(A) P(B) P(C) 那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1,B2,Bn满足B1,B2,，Bn 两两互不相容，P(Bi)>0(i =12 ,n),nAuU Bii 二2°则有P(A) =P 冋 P(A| B1)+ P(B2 )P (A| B2)+ +P (Bn)

9、 P(A| Bn)。设事件B1, B2 ,，Bn及A满足B1, B2,，Bn两两互不相容，P (Bi)>0, i = 1, 2,(16)贝叶斯公式2°则nAU U Bi V , P(A)>0 ,P(Bi/A)=nP(Bi)P(A/Bi)，i=1，2，n。2 P(Bj)P(A/Bj) j #此公式即为贝叶斯公式。P(Bi) , ( i =1 , 2，n),通常叫先验概率。P (Bj/A) , ( i=1 ,2，n ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试

10、验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验 A(17)伯努利概型发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为1 -P = q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中 A出现k(0 < k < n)次的概率,r /I 亠 k k n _kPn(k)=CnP q k =0,12，n。第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值P(X=Xk)=p k, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或

11、分布律。有时也X| X1,X2，xk,P(X =xk) 1 P1, P2,pk,。显然分布律应满足下列条件：S pk = 1(1) Pk 30 , k 二1,2，,(2)km。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任XF(xWf(x)dx则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度密度函数具有下面 4个性质：1°f(x)>0。2°Lf(x)dx = 1。(3)离散与连续型随机变量的关 系P(X = X)是 P(x C X < X + dx)止 f (x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中

12、所起的作用与P(X=:泊松分布为二项分布的极限分布(np=, n78)。(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x) = P(X <x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a < X <b) = F(b)-F(a) 可以得到X落入区间(a,b分布函数具有如下性质:0 < F(X)< 1,处 C X V +处；2°3°F (x)是单调不减的函数，即X1 C X2时，有 F (xi) <F (-比)=lim F(x) = 0, F (+必)=lim F (x) = 1F(x + 0) = F(x)，即F(x)是右

13、连续的;P(X =x) = F(x)-F(x-0)。对于离散型随机变量，F(x) = S pk ；Xk童x对于连续型随机变量，F(x)= f f (x)dx 。(5)八大分布0-1分布P (X=1)=p, P (X=0)=q在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为P。事件AP(X =k) =Pn(k) = ck pkqZ其中 q = 1 P,0c p设随机变量X的分布律为泊松分布则称随机变量 X服从参数为n , P的二项分布。记为 X 当 n = 1时，p(x=k) = pkqJ, k = 0.1，这就是(0,ZkP(X =k)= ef, A >0, k =0,1,2,k!则称随机变量

14、 X服从参数为A的泊松分布，记为 X (超 几 何 分 布 几 何 分 布 均 匀 分 布P(X=cM cN3 k = 0,1,2，ICN I = min(M ,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,P(X= k) = qkp,k=123 ，其中 pA 0, q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f(X)在f(x)11aw X w b= b - a，【0,其他,则称随机变量 X在a , b上服从均匀分布，记为XU(a,分布函数为0，F(x)X -ab 一 a JXr=Jf(x)dx =1,aw x&l

15、t; bx>b。x<a,xi<X2W b时，X落在区间(x1, x2)内的概率为P(XiXo 一 x1cX VX2)= 21 。b a指 数 分 布f(0,x>0x<0J其中A >0，则称随机变量 X服从参数为k的指数分布。 X的分布函数为x>0F(x)Jx<0。记住-beJxn0积分公式:dx = n!(6)分位数正 态 分 布分布函数为设随机变量X的密度函数为13IF A 2f(x)=peF其中卩、b >0为常数，则称随机变量X服从参数为f(X)具有如下性质:1° f(x)的图形是关于x = P对称的;12°当x =

16、 »时，为最大值;2J22若X N(10 :X，则X2的分布函数为F(x) = f e dt42 =参数b m2时的正态分布称为标准正态分布，记为1，一处 C X < +处，t22 dt o1 x(X)Je _J2兀壬e(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-X) = 1-(x)且(0) = O2 X -2如果 X N(A,cr2)，则N(0,1) OP(X1 <X<X2)=。一下分位表：P(X<4a)=a；上分位表：P(X>4a)=«o(7)函数分布已知X的分布列为x1, X2,xn,的分布列(yg(Xi)互不相等)如下:g

17、(xi), g(x2),g(xn),P(X =Xi) p1, p2,pn,Y =g(x)Y P(Y = yi)12 . n .若有某些g(Xi)pjt等，则应将对应的T' pj相加作为g(xi)的概先利用X的概率密度fx(x)写出丫的分布函数FY(y) = P(g(1)联 合分布离散型如果二维随机向量t (X, Y)的所有可能取值为至多可设匕=(X，Y)的所有可能取值为(Xi,yj)(i, j =1,2；'P(X, Y)=(Xi,yj) = Pij(i,j=12 )(1) Pij > 0 (i,j=1,2,); Z ZPij =1.连续型i j对于二维随机向量匕=(X,Y

18、)，如果存在非负函数 f(x, y即 D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y)- D = JJf(x,y)dxdy,D则称©为连续型随机向量；并称 f(x,y)为© =( X，Y)的分分布密度f(x,y)具有下面两个性质:(1) f(x,y) > 0;LLf(x，y)dxd1.(2)维随机变量的本质r(X =x, Y =y) =qx =xn Y = y)(3)联 合分布 函数设(X 丫)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) = PX称为二维随机向量(X, 丫的分布函数，或称为随机变量 X和丫的联合分布函数。分布函

19、数是一个以全平面为其定义域，以事件12) <XU)1x <Yfe：(1) 0<F(x,y)兰 1;(2) F( x,y )分别对x和y是非减的，即当 X2>xi 时，有 F (X2,y )> F(xi,y);当 y2>yi 时，有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F(x,y) = F(x + O,y),F(4) F (-处,-比)=F (-OC, y) = F (x,-)=0,F (+处,+处)=1.(5)对于 xX2, y1 < y2,F(X2, y2)F(X2, y1)-F(X1, y

20、2)+ F(X1, yJO.(4) 离 散型与 连续型 的关系(5) 边 缘分布P (X =x, Y =忙 P(X cX <x +dx, y cY <y + dy)止 f(x, y)dxdy离散型X的边缘分布为P.= P(X=Xi)=Z： Pij(i, j=1,2,);jY的边缘分布为连续型(6)条 件分布离散型=P(Y = yj)=2： Pij(i, j =1,2,)。iX的边缘分布密度为-befx(x) = Jf(X, y)dy；Y的边缘分布密度为fY(y) = Lef(X, y)dx.在已知X=x的条件下，丫取值的条件分布为P(丫 = yj |X =Xi)=旦Pi.在已知Y=

21、y的条件下,X取值的条件分布为P(X =xi |Y = yj)二Pij连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f（x|y）（X'y）fY（y）在已知X=x的条件下，丫的条件分布密度为f（y|x）（x'y）fx（X）(7)独立性一般型离散型F（X,Y）=F x（x）F Y（y）若Xi,X2,XmXm+1,相互独立,h,g为连续函数，则:h ( Xl, X2,Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与丫独立，则：h (X)和g (丫)独立。例如：若X与丫独立，则：3X+1和5Y-2独立。有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)f Y(y)直接判断，充要条件： 可

22、分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分布f（X, y）=11e 刁（1-P）2胆 2 2 J1 - P2O<j2P= 0随机变量的函数（8）维均匀分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为f(X, y)0,U (D)。其中S为区域D的面积，则称（X, Y）服从D上的均匀分布，记为（X, Y） 例如图3.1、图3.2和图3.3 。图3.1图3.2cO图3.3D3（9）维正态分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为_“一叮1eB 厂2兀b 1 b 2 J1 一 P2f(x, y)-其中卩1,卩2,6 ：0,cr2 ：0,| P|1是5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分布,记为（X,

23、Y）N （卩 1卍2,cr2，cr；, P）.由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即 XN (已,b2),YN(42b；).但是若XN（已，b：）,YN（42b2） , （X , Y）未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：FZ(z) = P(Z < z) = P(X + Y < z)-be对于连续型，f Z(z) = J f ( X, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（+卩2,2 +on个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 卩=2 CH ,宀送 Ci2s2iiZ=max,min(X i,X2，Xn)若

24、X1,X2Xn相互独立，其分布函数分别为Fxjx）, FFmax(X)= Fxi(X) Fx2(X)FXn (x)Fmin(X)= 1 - 1 一 Fxi(X) 1 Fx2 ( X)-1 - Fxn(X)严分布设n个随机变量X 1, X 2，,X n相互独立，且服从标准正态的分布密度为我们称随机变量W 服从自由度为n的X2分布，记为W所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变2上分布满足可加性：设则Z设X, 丫是两个相互独立的随机变量，且分布可以证明的概率密rlf(t) =n我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(nti£( n)ta(n)F分布f(y)门n1-n2丿

25、（1）维机量数特随 变 的 字 征期望期望就是平均值离散型设X是离散型随机变量，其分布律为 P( X = xk)= pk ,k=1,2,n ,nE(X) =2 XkPkkrn连续型设X是连续型随机变量，其-beE(X)= fxf (x)dx（要求绝对收敛）2 2设X （nJYz （n2），且X与丫独立，可以证明Fn1 + n 2 I 2丿 nm丿 12丿12丿0, y cO我们称随机变量F服从第一个自由度为n 1,第二个自由度为F(n1，n2<第四章 随机变量的数字特征（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)nE(Y)=2 g(Xk) PkkmY=g(X)-beE(Y)= Jg(x)f(x

26、)dx方差D(X)=EX-E(X)标准差D(X)Xk -E(X)2 Pkk-beD(X)= Jx-E(X)2fb（x）= Jd（x）,对于 的k】 阶原点正整数k，称随机变量 欠幕的数学期望为 X的 矩，记为k=E(Xk)=Vk,即kXi Pi ,切比雪夫不等式对于与E (望为对于正整数k,称随机变，讼kX-oCk=E(Xk)= ff (x)dx,k=1,2,(2)望性(3)方差的性质(4)常见分布(1)(2)(4)(1)(2)(3)(4)(5)E(C)=CE(CX)=CE(X)k=1,2,正整数k，称随机变量 X)差的k次幕的数学期对于正整数攵k,称随机变际=E(X-E(X)k的k阶中心矩，

27、记为卩k ,E(X -E(X)kS (Xi -E(X)k Pik=1,2,-be=f (x-Ek=1,2,k(X) f(x)dx设随机变量X具有数学期望E(X)=卩，方差D (X)=P( X切比雪的一种2 (Tcy 22z夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率估计，它在理论上有重要意义。nnE(X+Y)=E(X)+E(Y) , E(5： CiXi)=：S CiE(Xi)i=1E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：充要条件：D(C)=0; E(C)=C2D(aX)=a D(X) ; E(aX)=aE(X)2D(aX+b)= a D(X);2 2D(X)=E(X )-E (X)D(X&#

28、177; Y)=D(X)+D(Y)D(XiziX和丫独立；X和丫不相关。E(aX+b)=aE(X)+b，充分条件：X和丫独立；充要条件：X和丫不相关。± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望0-1 分布 B(1, P)1方差随 变 的 字 征维 机 量 数 特二项分布B(n,p)泊松分布P仏)几何分布G(p)超几何分布 H (n,M, N)均匀分布U(a,b)指数分布e仏)正态分布N(4,b2)Z2分布t分布E(X)=Z： xi=1数的期望EG(X, Y)2 2： G(Xi,i jD

29、(X) =2：方差对于随机变量npnMNa+b2iPi.jP<j2Xi -E(X) Pi.j - E(Y)2 pj-beE(X)= Jxfx(x)dx-beE(Y)= JyfY(y)dyEG(X, Y)=-be -be/ JG(x,y)f(x,y)dxc-oO-oC-beD(X)= Jx-E(X)2-beD(Y)= Jy-E(Y)2fX与Y,称它们的二阶混合中心矩为X与E(X-E(X)( Y E(Y).与记号b XY相对应，X与丫的方差D (X)与D (Y)也可分另相关系数对于随机变量 X与Y,如果D (X) >0, D(Y)>0，则称为X与丫的相关系数，记作 PXY (有时

30、可简记为 P)。P| w 1,当I P|=1时，称X与丫完全相关：P(X =完全相而当> =0时，称X与丫不相关。以下五个命题是等价的:丫 =0 ； cov E(X D(X D(XX,Y)=0;Y)=E(X)E(Y); +Y)=D(X)+D(Y); -Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵p XXWyx混合矩对于随机变量X与丫如果有E(XkY1)存在，则称之为X-Ukl(6)协方差的性质(7)独立和不相关i)ii)iii)iv)(i)(ii )cov (X, Y)=cov (Y, X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov

31、(X 2,Y);cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).若随机变量X与丫相互独立，则PXY =0 ；反之不真。若(X, Y)N (巴卍2,CT 12,CT 22, P ),则X与丫相互独立的充要条件是 X和丫不相关。第五章 大数定律和中心极限定理(1 )大数定律切 比 雪 夫 大 数 定 律设随机变量Xi , X2,相互独立，均具有有限方差，且被 同一常数C所界： 数£，有lim Pn_D(X) <C(i=1,2,)，则对于任意的正1 n1 n-Z XiZ E(Xi)< £n 7n i丄J=1.特殊情形：若Xi, X2,具有相同的数学期望 E(Xi) ，

32、则上式成为J1 nlim P-Z Xi A< £n_5PC 1n yy-口=1.(2)中心极限定 理伯 努 利 大 数 定 律辛 钦 大 数 定 律林德I心伯格定理设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，P是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数£，有lim Pn、P< sQn7=1.伯努利大数定律说明， 当试验次数n很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即n5PC=0.这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。设Xi, X2,，Xn,是相互独立同分布的随机变量序列, 且E (%) =,则对于任意的正数 £有f1 nlim P

33、-Z Xi -»< £njpcn y丿=1.设随机变量X1, X2,相互独立，服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差2E(Xk)=D(Xk)=b H0(k=1,2,)，则随机变量nZ Xk - nAYn"屁的分布函数Fn(X)对任意的实数X,有1V2兀t2X J妥 2 dt.nmFn(xnm P<n送 Xk - nA<x =Vnb此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。拉 普 拉 斯 定 理（3）二项定理设随机变量 X n为具有参数n, p（0<p<1）对于任意实数X,有I X n np = lim 巳 jnNy Jnp(1-p

34、)<x的二项分布，则t22dt.若当NT oc时，加p（n,k不变），则C k C n_k(Nt 处).CMCNJM rk-k"-、n 上、Cn P (1 p) cn超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当nT处时，npTZ >0，则C k k Z. n_kCn P (1- P)kT Lk!(nT 处).其中k=0, 1, 2,，n,。 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）理计基概总体数 统 的 本 念个体样本在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的 全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布 的随机变量（或随机向量）

35、。总体中的每一个单元称为样品（或个体）。我们把从总体中抽取的部分样品X1, X2 " ,Xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n个相互独立的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，Xi,X2,Xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，Xi,X2,，Xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数禾n统计量常见统计 量及其性 质设Xi,X2，,Xn为总体的一个样本，称®( X1, X2，,Xn)为样本函数，其中 W为一个连续函数。如果申中不包含任何未

36、知参数，则称 申（Xi,X2，Xn ）为一个统计量。样本均值样本方差S2样本标准差Xj.n i 二(Xi-X)2.样本k阶原点矩样本k阶中心矩1 n -Mk =-艺(Xi -x)k,k=2,3. n y一 C 2E(X)*，D(X)= nE(S2) =cr2，e(S*2) =口2n1 n 一 其中s*2 =2 （Xi -X）2，为二阶中心矩。n y（2）正 总 下 四态体的大分布正态分布设Xi,X2，Xn为来自正态总体N（巴CT2）的一个样本，贝y样本函数def X 卩u-；X7/rN(0，1).t分布F分布设X1,X2，Xn为来自正态总体 N(p,cr2)的一个样本，贝y样本函数def X

37、-卩t 一一t(n-1), s/V n其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2设X1,X2，Xn为来自正态总体N(A,Cr )的一个样本，贝y样本函数2wdef 上忆"2(n_1),a2其中/2(n-1)表示自由度为n-1的/2分布。设 Xi, X2 ,yi, y2，本函数其中- ,Xn为来自正态总体 N(巴62)的一个样本，而2,yn为来自正态总体 N(巴2)的一个样本，则样defF-Sr-Fg1,n 21),S2 /b2n1-无(Xi -X)2,1 n2-/曲2;F (n1 1, n21)表示第一自由度为 n 11，第二自由度为n21的F分布。(3)正 总 下 布态 体 分

38、 的X与S2独立。性质第七章参数估计（1）点估计矩估计本值,其样本的k阶原点矩为设总体X的分布中包含有未知数 6,日2,月m，则其分布函数可以表成 F（X；8iH2,，8m）.它的 k 阶 原点矩kVk=E（X ）（k=12，m）中也包含了未知参数 日1,日2,月m.即Vk =Vk（®,日2,Pm）。又设Xi, X2,Xn为总体X的n个样4 n丄送 Xik (k =1,2，,m).n y这样,本矩”我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样 的原则建立方程，即有A AA 1 n1(日1,日2,月 m)=-I： Xi, n i吕A AA 1 nV2©,日 2,fm)

39、=-Zn yA AA 1 nVmlQ,，日 m)= 送n iTA AA由上面的m个方程中，解出的 m个未知参数（6，日2,月m）即为参数（屮2，fm ）的矩估计量。若&为0的矩估计，g（x）为连续函数，则 g（昭为gp）的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f（X；Ti，日2,，&m），其中01月2,，8m为未知参数。又设Xi ,X2，,Xn为总体的一个样本，称nL（6，日 2,月 m） =n f（Xi©，日 2,，8m）i 二为样本的似然函数，简记为 L.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX = 7 = p（X；6，日 2，Pm），则

40、称nL（Xi,X2，Xn；6,日 2,Pm） =n P（Xi；6 ,&2 ,，齢） i 4为样本的似然函数。若似然函数L（Xi,X2，Xn©,&2,，&m）在（f2，$m处取到最大值，则称 &2,，fm分别为0,2,，8m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。g| nLn= 0,i =1,2,m8遵若冷为日的极大似然估计，g（x）为单调函数，则为g但）的 极大似然估计。（2） 估 量 评无偏 性A AA设9= 0（Xi,X2，Xn）为未知参数0的估计量。若E （日）=日A则称0为日的无偏估计量。标准E（ X）=E（ X），E（ S2）=D（

41、 X）有效性A A设日 1 =01（X1, X,2，,XnA）和日 2 =0 2 （XjA,X,2，,Xn ）是未知参AA A数0的两个无偏估计量。 若D（8i） V D（日2），则称9 1比£ 2有效。一致 性A设0 n是0的一串估计量，如果对于任意的正数S ,都有Alim P(|0n-0 lUA则称e n为0的一致估计量（或相合估计量）。（3）区间估计置信区间和置信度单正 态总 体的 期望 和方 差的 区间 估计若&为0的无偏估计，且 D（殆T 0（nT ，则$为0的一致估 计。只要总体的E（X）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都 是相应总体的一致估计量。设总体X含有一个待估的未知参数0。如果我们从样本X1 , x,2，,Xn出发，找出两个统计量日1 =6（x