第1讲-整式的恒等变形

1、把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等 问题中，有着广泛的应用。通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提 高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种， 它既是代数式恒等变形的基 础，又具有独特的复杂性和技巧性。整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各 种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘 法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外,有时还用到下面几个:(1)(

2、ab)3a33a2b 3ab2 b33(2)ab32 2 23abc (a b c)(a b c ab bc ca)n(3)abn(aI X , n 1 n 2.b)(a a babn 2 bn1)F面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧:、运用运算性质和法则? 例 1. 设 x、y、z 都是整数，且 11 整除 7x+2y-5z ，求证： 11 整除 3x-7y+12z 。? 例 2. 已知 y ax5 bx3 cx d ，当 x=0 时， y=-3 ；当 x=-5 时， y=9 ，求 x=5 时 y 的值。b4、c3 d2,且 c-a=19 ,? 例3.若 a、b、c 都是自然数，且满

3、足 a5 求 d-b 的值。二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。? 例 4.计算 (2 1)(22 1)(24 1)(232 1) 1?例5.已知整数a、b、(a-b )都不是3的倍数，试证a3 b3是9的倍数。?例 6.当 a b c 0,且a2(1)bc+ca+ab;b2c21时，试求下列各式的值(2) a4 b4? 例 7. 试求 x243x81x27x9x3 X被 x1除的余数 。? 例 8. 求证：33 ab3abc (a b c)(22 abc2 ab bc ca)若 a+b+c=

4、0,本公式在整式的恒等变形中，经常使用的是 则 a3 b3 c3 3abc ”和其逆命题。333a b c 0.例如：设 a、b 、c 为有理数，且 a+b+c=0, 证明对于任何正奇数 n ，都有 an bn三. 配方法配方法是一种重要的数学方法， 配方法在恒等变形中应用十分广泛。 在配方 时，还常常要用到拆项或者补项的技巧。? 例 9. 证明：当 a、 值总是正数。b 取任意有理数时，多项式a2 b2 2a 6b 11的?例 10.若 14(a2 b2c2) (a 2b 3c)2，求 a : b :c。a4 b4 c4 d 4 4abcd? 例 11. 已知 a、b 、c、d 为四边形的四

5、条边， 且 求证：此四边形是菱形。4y 4 0。? 例 12. 解方程 3x2 12x2 y 12x2y2? 例 13. 若 a、b、c、d 是整数， 可以表示成两个整数的平方和。m a2 b2，n c2 d2 ，求证 mn四、应用因式分解应用因式分解来进行整式的恒等变形，也是一种常用的方法。c2 6ab 10bc 0 (a、b 、c 是? 例 14.在三角形 ABC 中， a2 16b2 三角形的三条边），求证： a+c=2b? 例 15. 已知 a2b ac2 b2c b2a bc2a2c ，试求 (a-b)(b-c)(c-a) 的值。? 例 16. 已知 a b c 0 ，求适合等式 a

6、bc ab cb ca a b c 1998 的 整数 a、b、c 的值。? 例 17. 解方程 (16x 27)2(8x 15)(2x 3) 7 。五、代换法所谓代换法，就是用字母替代或者等量替换的方法，有时应用的换元法就 是其中的一种。? 例 18.已知 a、b 、c、d 适合 a b c d，a3 b3 c3 d 3 。求证：2011 2011 2011 2011a b c d 。? 例 19. 证明： (b c2a)3 (c? 例 20. 已知 X y z3,且（X中至少有一个等于1。a 2b)3 (a b 2c)3(3 b c 2a)(c a1)3 (y 1)3(z 1)3 0,2b

7、)(a求证b 2c)x、y、z? 例 21. 证明：(X y z)3 Xyz (yz zX Xy)3 Xyz(X3 y333 3z3) (y3z3z3X333Xy)? 例 22. 设 x3mx2nx r 是 x 的一次式的完全立方式， 求证 3mr= n2? 例 23. 已知n2 1， pm2 p222q1，n21，mpq2 1，nqmn0。求证：pq 0? 例 24. 设 xx(1z xyz ，2yy2)(1 z )证明：22 y(1 x2 )(1 z)2z(122x )(1 y ) 4xyz2c2ambc c2 a2 mac 。2 2 2 2 b c 2(a b mab) 。? 例25.已知 a、b、c 两两不等，且满足关系式：a2 b2 mab b21）求 m 的值；（2 ）求证：? 例 26. 证明：如果当自变量 ax2 bx c 总取整