第二章单自由度系统振动

机械振动与模态分析西南交通大学牵引动力实验室第2章单自由度系统的振动

张立民第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动2.2单自由度系统的强迫振动2.3单自由度系统的工程应用第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动

正如第一章所述，振动系统可分为离散模型和连续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。

系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。

在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统，它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动

构成离散模型的元素有三个，弹性元件、阻尼元件和惯性元件。2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动通常假定弹簧为无质量元件。如图2-1(a)所示，弹簧力Fs

与其相对变形x2-x1的典型函数关系如下图2-1（b）所示。

图2-1弹簧模型2.1单自由度系统的自由振动

当x2-x1

比较小时，可以认为弹簧力与弹簧变形量成正比，比例系数为图中曲线的斜率k，如果弹簧工作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则称弹簧为线性弹簧，常数称为弹簧常数k

，或弹簧刚度。一般用k

表示。单位为（N/m）。

阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。

常见的阻尼模型三种形式:图2-2阻尼模型阻尼元件由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1单自由度系统的自由振动

如无特别说明，后续所说的阻尼均指粘滞阻尼，其阻尼力Fd与阻尼器两端的相对速度成正比，如图2-2（b），比例系数c

称为粘性阻尼系数，它的单位为牛顿-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用c

表示。图2-2阻尼模型2.1单自由度系统的自由振动

惯性元件就是离散系统的质量元件，惯性力Fm与质量元件的加速度成正比，如图2-3所示，比例系数就是质量m

。m

的单位为千克（kg

）。

图2-3质量模型

惯性元件2.1单自由度系统的自由振动

并联时弹簧的等效刚度

在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，分别如图2-4（a）和2-4（b）所示。

图2-4弹簧的组合2.1单自由度系统的自由振动（2-1）所以等效弹簧刚度为

（2-2）

并联时弹簧的等效刚度图解弹性元件的组合2.1单自由度系统的自由振动（2-1）

（2-2）串联时弹簧的等效刚度2.1单自由度系统的自由振动在图2-4（b）所示的串联情况下，可以得到如下关系将x0

消掉，可得（2-6）（2-5）（2-4）（2-3）如果有n

个弹簧串联时，可以证明有以下结论2.1单自由度系统的自由振动（2-1）题1串联串联并联2.1单自由度系统的自由振动

（2-2）并联并联串并联2.1单自由度系统的自由振动（2-1）

（2-2）2.1单自由度系统的自由振动（2-1）

（2-2）问题，将如图所示机床简化成单自由度系统，写出其运动方程。2.1单自由度系统的自由振动（2-1）问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图2.1单自由度系统的自由振动（2-1）

（2-2）问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图2.1单自由度系统的自由振动（2-1）

（2-2）问题：判断等效的正误2.1.1

单自由度系统的运动方程

图2-5单自由度模型

单自由度弹簧-阻尼器-质量系统可由图2-5（a）表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系统的分离体图如图2-5（b）。

运动微分方程2.1单自由度系统的自由振动（2-8）

由于

，

方程（2-7）变为:

（2-8）式是一个二阶常系数常微分方程。常数m

，c，k是描述系统的系统参数。方程（2-8）的求解在振动理论中是十分重要的。

用F(t)表示作用于系统上的外力，用x(t)表示质量m

相对于平衡位置的位移，可得:（2-7）

2.1单自由度系统的自由振动ωn称为系统的无阻尼自然角频率（可用量纲分析）。可以证明（2-9）式具有如下形式的通解:

（2-9）（2-10）2.1.2无阻尼自由振动

本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况下，F(t)恒等于零。在（2-8）式中令，F(t)=0

，c=0

则有:

其中A1和A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始位移x(0)和初始速度决定。运动方程2.1单自由度系统的自由振动若引入

（2-11）可得:蒋(2-11)代入(2-10)可导得:

（2-12）（2-13）

A和φ也是积分常数，同样由x(0)和决定。方程（2-13）表明系统以为ωn

频率的简谐振动，这样的系统又称为简谐振荡器。（2-13）式描述的是最简单的一类振动。

2.1单自由度系统的自由振动

在简谐振动中，完成一个完整的运动周期所需的时间定义为周期T

周期

从物理概念上讲，T代表完成一个完整的振荡所需的时间，事实上T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时间差，其单位为秒。

自然频率自然频率的单位为赫兹(HZ)。自然频率通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为:2.1单自由度系统的自由振动

（2-14）（2-15）（2-16）

下面给出用初始条件表示的积分常数A和φ

的表达式。引入符号，，利用方程（2-10）不难证明简谐振子对初始条件x0和v0

的响应为

比较方程（2-11）和（2-16），并利用（2-12）式的关系，可以导出振幅A与相角φ

有如下形式积分常数A和φ

的表达式2.1单自由度系统的自由振动（2-17）2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动

例2-1

如图2-6

，一个半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。

图2-6例2-1题图2.1单自由度系统的自由振动（a）

分析:本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。

设壳体倾斜角为θ（如图2-6），设c

为壳体与粗糙表面的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c点作转动。对c

点取矩，可得系统的运动微分方程。

解：2.1单自由度系统的自由振动（b）

其中，IC为绕点C的转动惯量，MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对于给定的θ，对C点的恢复力矩MC

有如下形式：（a）2.1单自由度系统的自由振动（b）（c）壳体对C点的转动惯量为:

其中，dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积的质量。

2.1单自由度系统的自由振动

当壳体作小幅振动时，即θ很小时，引入近似表达式sinθ≈θ，cosθ≈1

，并将（b）、（c）两式代入（a）中，得到:

（d）（e）（f）整理可得:

（e）式表明，当θ很小时，系统运动的确象简谐振子，其自然频率为:

（a）2.1单自由度系统的自由振动（2-18b）（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振动

有阻尼自由振动方程:

其中，称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如下形式:将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程(特征方程)

有阻尼自由振动方程

2.1单自由度系统的自由振动（2-18a）

写成:

(2-20)这就是系统的特征方程，它是s

的二次方程，有两个解：

很明显，s1、s2

的性质取决于阻尼因子ζ

，其相互关系可以从s

平面，即复平面上得到反映（如图2-7）。

（2-21）图2-7s1

、s2

的复平面表示2.1单自由度系统的自由振动（2-20）式的根s1

、s2

作为阻尼因子ζ

的函数在复平面上描绘出一条曲线，图中可直观地了解参数ζ对系统运动行为的影响，或者说对系统响应的影响。参数ζ对系统响应的影响。(2-20)2.1单自由度系统的自由振动

当ζ=0时，得到两个复根±iωn

，此时系统就是简谐振子。

当0

＜ζ

＜

1时，为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为ωn的圆上。

当ζ=1时，特征方程的根s1

、s2为－ωn

，落在实轴上。

当ζ

＞1时，特征方程的根始终在实轴上,且随着ζ→∞，s1→0、s2

→∞（2-21）2.1单自由度系统的自由振动

将特征方程的根（2-21）代入（2-19）式，可得系统的通解

:（2-22）（2-19）（2-21）系统的通解2.1单自由度系统的自由振动

式（2-22），对应于ζ

＞1的情况，此时系统的运动是非振荡的，并且随时间按指数规律衰减，x(t)的确切形状取决于A1

和A2

，也即取决于初始位移x0

和初速度v0

。ζ

＞1的情况称为大阻尼或过阻尼。大阻尼(ζ

＞1)（2-22）2.1单自由度系统的自由振动这也代表一指数衰减的响应，ζ=1的情况称为临界阻尼。

在特殊情况ζ=1,方程（2-20）有一个重根，s1=s2=－ωn

，不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解:（2-23）由表达式可见当ζ=1时，临界粘性阻尼

临界阻尼（ζ=1）临界阻尼是ζ

＞1和ζ

＜1的一个分界点，应该注意到，ζ=1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。ζ=1也是系统振动与非振动运动的临界点。2.1单自由度系统的自由振动（2-20）图2-8

ζ

＞1

时x(t)曲线ζ

＞1

、ζ=1时系统的自由振动如图2-8--图2-9

。图2-9ζ=1

时x(t)曲线2.1单自由度系统的自由振动其中，，通常称为有阻尼自由振动频率。由于

:

0

＜ζ

＜

1时，解（2-22）可改写成如下形式：

（2-24）小阻尼（0

＜ζ

＜

1）2.1单自由度系统的自由振动

式（2-24）简化成（2-27）

可见上式表示的运动为振动，频率为常值，相角为，而幅值为，以指数形式衰减。常数、由初始条件决定。称为小阻尼或欠阻尼情况。并设（2-26）2.1单自由度系统的自由振动小阻尼情况的典型响应曲线如图2-10所示，曲线为响应曲线的包络线。很明显，当t→∞

，x(t)→0，因此响应最终趋于消失。图2-100

＜ζ

＜

1

时x(t)曲线2.1单自由度系统的自由振动

例2-2

对于图2-5所示的单自由度系统，计算系统分别在，和时，对于初始条件，的响应。

解:对于，用（2-22）式有，所以（a）因此,系统响应应有如下形式（b）因此，系统响应对（b）式求导，并代入初始条件可得

（c）

可得时，系统的响应（d）2.1单自由度系统的自由振动

对于，从（2-23）式中容易导出和，所以此时的响应为:（e）

对于，在（2-27）式中用初始条件得，幅值则与初始速度有关，，因此（2-27）简化为

:

（f）

表达式（d）、（e）、（f）分别对应于大阻尼、临界阻尼和小阻尼的情况，其图形分别见图2-8～2-10。图中将、、作为参数，给出了响应随这些参数的变化规律。

2.1单自由度系统的自由振动2.1.4对数衰减率

如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数本身又是阻尼因子的线性函数。下面来寻求通过衰减响应确定阻尼因子的途径。图2-11ζ＞1时x(t)的一般规律在图2-11中，设t1

和t2表示两相邻周期中相距一个完整周期T

的两对应点的时间。2.1单自由度系统的自由振动由（2-27）式，可得（2-28）（2-27）

由于，是有阻尼振动的周期，所以（2-29）这样（2-28）式可化为:2.1单自由度系统的自由振动

观察（2-29）式的指数关系，可以自然地引入以下关系式:（2-30）

要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点x1

和x2

，计算对数衰减率（2-31）此处，δ称为对数衰减率。从而得到2.1单自由度系统的自由振动

对于微小阻尼情况，（2-31）式可近似为（2-32）

值得注意的是，可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移，来确定。设、为、对应的时间，为整数，则（2-33）

由（2-33）可导得（2-34）2.1单自由度系统的自由振动

例2-3

实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。

解:设，则

由（2-31）、（2-32）式分别得到：2.1单自由度系统的自由振动2.1.5弹簧的等效质量

在图2-12中，设弹簧具有质量，其单位长度的质量为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。图2-12弹簧等效质量系统示意图

设质量的位移用表示，弹簧的长度为，那么距左端为的质量为的微单元的位移则可假设为，设为常数。2.1单自由度系统的自由振动（2-35）（2-36）

根据能量守恒原理（2-37）则系统的动能和势能可分别表示为2.1单自由度系统的自由振动

可得（2-38）

此处称为等效质量。可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到（2-39）（2-39）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。2.1单自由度系统的自由振动第2章单自由度系统的振动2.2单自由度系统的强迫振动2.2单自由度系统的强迫振动

工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强迫振动，这是本节要讨论的内容。

对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。2.2.1

系统对于简谐激励的响应

对于图2-5所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为（2-40）

首先考虑最简单的情况，即简谐激励情况，设F(t)

有如下形式图2-5单自由度模型（2-41）

运动方程2.2单自由度系统的强迫振动（2-41）将（2-41）代入（2-40），两边同除以m

有

（2-42）当A

为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。式（2-42）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为稳态响应。2.2单自由度系统的强迫振动（2-43）将（2-43）代入方程（2-42），可得

（2-44）利用三角函数关系

并令（2-44）式中和项的系数相等可得（2-45）

设系统（2-42）的稳态响应有如下形式

稳态响应2.2单自由度系统的强迫振动（2-46）（2-47）

将（2-46）、（2-47）代入（2-43）得到系统的稳态解。解（2-45）式可得

2.2单自由度系统的强迫振动2.2单自由度系统的强迫振动A=2ξXnX=A|H|=Xn*2ξ|H|式中典型的激励与响应关系曲线如图2-13所示。

将f(t)用复数形式表示:

图2-13

简谐激励f(t)

与响应x(t)曲线（2-48）

f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由f(t)的实部表示，当然，响应也应由x(t)

的实部表示。式中A

一般为复数。

2.2单自由度系统的强迫振动系统的稳态响应

（2-50）由上式可见，系统稳态响应x(t)与激振力f(t)

成正比，且比例因子为（2-51）这称为复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系（2-49）2.2单自由度系统的强迫振动

由（2-51）式，可见的模等于响应幅值和激励幅值的无量纲比，即

常称为幅值因子。

（2-53）（2-52）

这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励的无量纲比。这里中的是由静平衡位置算起的。

由（2-50）、（2-51）式可得

2.2单自由度系统的强迫振动图2-14

简谐激励的响应

图2-14

给出了在不同阻尼比下与的关系曲线。

从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于的位置左移。2.2单自由度系统的强迫振动（2-54）

当ζ=0时，在ω=ωn处︱H(ω)︱不连续。对（2-53）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的ω

值

当ζ=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是简谐振子。当驱动频率ω趋近于系统的自然频率ωn时，简谐振子的响应趋于无穷，这种状态称为共振，系统会发生剧烈振动。2.2单自由度系统的强迫振动

值得注意的是，当ω=ωn

时，（2-50）式所表示的解已不适用了，必须对系统（2-42）重新求解。

在微小阻尼情况下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的极大值的位置几乎与ω/ωn=1相差无几，引入符号︱H(ω)︱max=Q

，在微小阻尼情况下，有（2-55）品质因子Q（2-42）

Q通常称为品质因子。2.2单自由度系统的强迫振动另外，工程上常将︱H(ω)︱

曲线上取值为的两点P1

和P2称为半功率点。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽，在小阻尼情况下，不难证明(如何证明？)，半功率点带宽Δω

取如下值（2-56）

比较（2-55）和（2-56）式，可得

（2-57）（2-57）式给出了一种快速估计Q

和ζ

值的方法。

2.2单自由度系统的强迫振动

下面将注意力转到相角上来，由（2-51）和（2-53）式，不难得到

（2-58）这里（2-59）这与（2-47）式的结果相同。根据（2-58）式和（2-59）式，（2-50）式可写为

（2-60）相角φ2.2单自由度系统的强迫振动从（2-60）式和图2-15可以看出:对应于不同ζ值的所有曲线均在ω/ωn=1处通过共同点。

对于ζ=0，随ω/ωn的变化曲线在ω/ωn=1处间断。从的φ=0跳到ω/ωn＞1时的φ=π

。这可以通过ζ=0

时的x(t)解来解释。对于ω/ωn＜1情况随ω/ωn减小，相角趋于零。

对于ω/ωn＞1情况，随ω/ωn增大，相角趋于π

。

图2-15简谐激励的相位即ω/ωn＜1时响应同相，ω/ωn＞1时响应反相。2.2单自由度系统的强迫振动方程（2-61）也清楚地表明简谐振子在驱动频率ω

趋近于自然频率ωn时，响应变为无穷大。

下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方程变为

:（2-62）（2-61）简谐振子的共振响应2.2单自由度系统的强迫振动不难证明系统有如下特解（2-63）

此式表明，解是幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了随着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。

图2-16

简谐振子的共振响应有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成。

2.2单自由度系统的强迫振动

例2-4

如图2-17所示，有两个带有偏心的质量反向旋转，旋转角速度为常数，不平衡质量的垂直位移为，由静平衡算起。求。

图2-17例2-4题图解:由题意不难得到系统的运动方程:简化为:2.2单自由度系统的强迫振动系统的响应为:相角φ由（2-38）式给出。将上改写为可得:在这一例子中，可将无量纲比写为

的图形与的图形完全不同，这将于稍后叙述。

2.2单自由度系统的强迫振动例2-5研究一种基础激振的情况。如图2-18所示:解:系统的运动微分方程有如下形式

:图2-18

例2-5题图

简化为:设基础的运动为简谐运动，有如下形式则系统的响应为2.2单自由度系统的强迫振动将简写成那么无量纲比可写为2.2单自由度系统的强迫振动

简谐振动的复指数描述

有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将（2-60）式两边对求导得（2-64）所以振动速度超前位移π/2相角，加速度超前位移π相角，并且分别放大ω和ω2的因子。

据上所述，可以将方程（2-42）在复平面上绘图如图2-19，不失一般性地设A为实数。

我们知道2.2单自由度系统的强迫振动,图2-19说明复向量，与的和与平衡，这正是方程（2-42）所必须满足的。图2-19简谐振子的复平面表示注意，整个图形绕着复平面以角速度ω旋转。从图中也可以看出，由于整个图形是封闭的，成为一个平衡系统，所以仅考虑实部就相当于将图中各分量投影于实轴上。理论上讲，投影于任何轴上都不改变系统各向量之间的关系。

2.2单自由度系统的强迫振动叠加原理

这里重新考虑图2-5所示的二阶线性系统。上节已经导出了系统受任意激励的微分方程

（2-65）在工程上，经常又将和分别称为系统的输出和输入。为了分析方便，引入线性微分算子

（2-66）这样，（2-65）可简写为

（2-67）2.2单自由度系统的强迫振动

微分算子代表二阶系统的一个“黑盒子”，它包含了系统的所有性质，因为系统的参数、、都在算子中。方程（2-67）表明，如果系统有一个输入作用于黑合子，则系统的输出就是。

考虑两个激励和，并设和分别为对应于和的响应，则有

（2-68）接下来考虑为和的线性组合，即

（2-69）2.2单自由度系统的强迫振动

则称系统是线性的，否则系统是非线性的。应用方程（2-68）、（2-69），（2-70）可以用微分算子的G形式表示，即

方程（2-71）为叠加原理的数学描述。很明显，它仅适用于线性系统。换句话说，叠加原理可理解为，对于线性系统，可以先分别求解系统对于单独激励的响应，然后将各个响应合成为系统的总响应。（2-70）（2-71）如果的响应满足

2.2单自由度系统的强迫振动2.2.2

系统对周期激励的响应

在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。利用Fourier级数展开的方法，可以将周期为T

的任何函数展成如下形式（2-72）

和由右式求得

（2-73）,2.2单自由度系统的强迫振动为了求解方便，将（2-73）式用复数形式表示（2-74）这里为复常数，由下式给定

由复数运算规律得,(2-74)式等效于下式其中

（2-75）2.2单自由度系统的强迫振动（2-76）（2-77）这里，为对应于频率为的复频响应，即

有阻尼单自由度系统对于（2-76）式所示激励的响应，可以求得下式

（2-78）（2-79）

类似地，解（2-78）可写成

（2-80）2.2单自由度系统的强迫振动为的模，而（2-81）

由解的表达式（2-78）和（2-80）可看出，对于周期激励的响应也是周期的，且与有同样的周期。另外，当某个接近系统的自然频率时，系统的响应中此简谐分量将占主导地位，特别是当时，系统均发生共振，也就是说周期激励同样可以激起系统共振，只要某与重合。2.2单自由度系统的强迫振动2.2.3非周期激励的响应

在非周期激励的情况下，系统的响应将不再是“稳态”的，而是“非稳态”的。求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种，将激励描述成一系列脉冲，通过求各个脉冲的响应，然后叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一，下面详细叙述此方法。

单位脉冲函数的数学定义为当时

（2-82）2.2单自由度系统的强迫振动

按单位脉冲函数的定义，在t=a

时刻作用的一个任意幅值的脉冲力可表示为

（2-83）系统在零初始条件下，对于t=0时的单位脉冲力的响应，称为单位脉冲响应，并用h(t)

表示。系统对于t=a时刻单位脉冲力的响应则相应为h(t–a)。

下面求解有阻尼单自由度系统对于脉冲力的响应，此时系统的方程为

（2-84）

由于脉冲的作用时间ε极短，即ε→0

，对方程（2-84）两边在区间ε积分，并设初始条件

（2-85）2.2单自由度系统的强迫振动其中

（2-86）

符号

表示在区间内系统速度的变化。另一方面，由于脉冲作用时间极短，系统在瞬间不可能获得位移增量，即。由（2-85）、（2-86）可得

（2-87）2.2单自由度系统的强迫振动

(2-87)式可以理解为作用于时的脉冲力，使系统产生一瞬间的速度增量，这样就可以将这一脉冲作用等价为系统具有初速度。因此，系统的响应为

（2-88）单位脉冲响应可以由（2-88）式得到，令，则有

（2-89）2.2单自由度系统的强迫振动对一任意激励函数，可以看成由一系列变幅值的脉冲所组成。在任意时刻，对应一时间增量，相应的脉冲幅值为，脉冲力在数学上可描述为，此时系统的

响应（2-90）系统总的响应为

（2-91）令，我们可得到

（2-92）2.2单自由度系统的强迫振动

（2-92）式称为卷积或杜哈美（Duhamel）积分，表示系统的响应为一系列脉冲响应的叠加。将（2-89）式代入（2-92）得

（2-93）

这就是有阻尼单自由度系统对于任意激励的响应。注意，（2-93）未考虑系统的初始条件。根据卷积的性质，（2-92）可写为另一种形式

（2-94）2.2单自由度系统的强迫振动阶跃响应

作为卷积的一个例子，下面讨论有阻尼单自由度系统对单位阶跃函数的响应，单位阶跃函数定义为

（2-95）

很明显，单位阶跃函数在处不连续，在此点处，函数值由0

跳到1

。如果不连续点在处，则单位阶跃函数用表示。

值得注意，单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系，在数学上可表示为

（2-96）此处，仅仅是积分变量。反过来有

2.2单自由度系统的强迫振动（2-97）

系统对于作用于时的单位阶跃力的响应称为单位阶跃响应，并用表示。将和代入卷积公式，可得单位阶跃响应（2-98）经积分可得

（2-99）此处的作用是使（2-99）式在时，。

系统响应的求法还有Fourier积分法，Laplace变换法，这里不做介绍。

2.2单自由度系统的强迫振动第2章单自由度系统的振动2.3单自由度系统的工程应用2.3

单自由度系统的工程应用2.3.1

转子系统临界转速的概念

图2-20单盘转子示意图图2-21圆盘的瞬时位置及力

设有一转子如图2-20所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ

，在跨中安装有质量为的刚性薄盘。

由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e

。当转子以等角速度ω自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。设圆盘在瞬时t

的状态如图2-21所示，这时弹性轴因有动挠度而对圆盘的作用力为，它在坐标轴上的投影分别为

（2-100）由材料力学可知，对于图2-20所示的模型2.3

单自由度系统的工程应用（2-101）图2-21（2-102）根据质心运动定理，可得（2-103）

由图2-21的几何关系知

对上式求两次导数，可得

（2-104）（2-105）设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为

2.3

单自由度系统的工程应用图2-21把（2-105）代入（2-103），得到转子模型的运动微分方程

（2-106）可改写为

式中（2-107）把（2-107）式与有阻尼单自由度系统的强迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。2.3

单自由度系统的工程应用（2-108）把（2-108）代入（2-107）中，得到

（2-109）由此可见，O'点绕固定坐标系的Oz

轴在作圆周运动。因此引用其求稳态解的方法，设2.3

单自由度系统的工程应用

可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r

，角速度等于轴的自转角速度ω

，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差φ

。即有

（2-110）对照几何关系

2.3

单自由度系统的工程应用根据（2-110）式可绘出在不同ζ

值时，r和φ

随ω值变化的曲线，分别如图2-22与图2-23所示。图2-22

转子动挠度的幅值-转速曲线(左)图2-23

转子动挠度的相位-转速曲线(右)2.3

单自由度系统的工程应用由于φ的存在，在一般情况下，O、O'和C三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形ΔOO'C

，而且ΔOO'C

的形状在转子以等角速度

ω旋转过程中保持不变。当ω＞＞ωn时，φ→π，这三点又近似在一直线上，但点C

位于O和O'之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。只有当ω＜＜

ωn时，φ→0

，这三点才近似在一直线上，O'点位于O和C之间，即所谓圆盘的重边飞出。2.3

单自由度系统的工程应用

根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度取得极值的转速，于是可利用条件（2-111）来确定临界转速，并以ωCr

表示。由（2-99）式得由此解得

（2-112）2.3

单自由度系统的工程应用可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2-22中也可以看出，各曲线的峰值都偏在ω=

ωn

线的右边，这一点应特别注意。

图2-22

转子动挠度的幅值-转速曲线2.3

单自由度系统的工程应用实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。对于小阻尼情况

:（2-113）

对于无阻尼的理想情况，即ζ=0

，在临界转速时，动挠度r

将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为π，即在临界转速前后有相位突变，O

、O'和C三点始终在一条直线上。2.3

单自由度系统的工程应用

为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差，把O、O'及C三点在不同转速时的相对位置表示在图2-24上。

图2-24在不同转速时的偏心位置2.3

单自由度系统的工程应用2.3.2振动传感器的基本原理

下面以惯性式传感器的接收为例来讨论振动传感器的基本原理。

机械接收部分：作用是将被测的机械量（如振动位移、速度、加速度等）接收为另一个适合于机电变换的中间量。振动传感器组成部分机电变换部分:

将中间量变换为电量输出。

振动传感器常用的机械接收原理相对式惯性式2.3

单自由度系统的工程应用图2-25惯性传感器的接收部分简化模型表示接收关系的相对振动微分方程为（2-114）可改写为

（2-115）其中

为传感器底座完全刚性固定不动时接收部分的自然频率，也称为“固定安装共振频率”，为接收部分的阻尼比。2.3

单自由度系统的工程应用

位移计型惯性接收（，）

设输入的被测振动的复数形式为

（2-116）

经接收后输出的相对振动的稳态响应为（2-117）代入（2-115）式，