概率随机事件及其概率课件

1、概率随机事件及其概率 开课系：蚌埠学院开课系：蚌埠学院 数学与物理系数学与物理系教师教师: : 亓（亓（qi qi）洪胜）洪胜概率随机事件及其概率 预备知识预备知识1 1、乘法原理、乘法原理一、乘法原理一、乘法原理 排列及组合排列及组合 乘法原理：若完成一件事情要经过两个乘法原理：若完成一件事情要经过两个步骤，其中第一步中有步骤，其中第一步中有1n种不同的方法，第种不同的方法，第二步骤中有二步骤中有2n种不同的方法，则完成这件种不同的方法，则完成这件事情共有事情共有 种方法。种方法。21nn 概率随机事件及其概率) 1()2)(1(rnnnnArn!123)2)(1(nnnnAnn2 2、排列

2、、排列 排列：从排列：从n个不同的元素中按顺序取个不同的元素中按顺序取r个个排成一列排成一列 称为一个排列称为一个排列。所有可所有可nr 0能的排列记为能的排列记为rnA。则则特别，当特别，当n = = r时，称该排列为一个全排列，时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为所有全排列的个数为概率随机事件及其概率 例例1 从从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个这六个数字中任取五个组成五位数组成五位数,问共能组成多少个五位数问共能组成多少个五位数?解解从六个不同数中任取五个组成五位数从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列相当于从六个数中任取五个数生成一个

3、排列,因因此此,所有可能组成五位数共有所有可能组成五位数共有)(7202345656个A概率随机事件及其概率3 3、组合、组合,rnC 组合：从组合：从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取r r个元素个元素组成一组组成一组 称为一个组合。所有可称为一个组合。所有可),0(nr 能的组合数记为能的组合数记为种方种方由乘法原理，从由乘法原理，从n个元个元素中取素中取r个生成的排列可分两步进行，首先个生成的排列可分两步进行，首先从从n个元素中取个元素中取r个组成一组，共有个组成一组，共有rnC法，然后再在取出的法，然后再在取出的r个元素中进行全排列个元素中进行全排列共有共有! r种方法，从而种方法

4、，从而概率随机事件及其概率!)!(!) 1() 1(!rrnnrrnnnrACrnrn特别，当特别，当n = r时，时， 而且而且。rnnrnCC1nnC!rCArnrn所以从所以从n个元素中取个元素中取r个元素组成的组合数为个元素组成的组合数为 例例 2 2 从从1010名战士中选出名战士中选出3 3名组成一个名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？突击队，问共有多少种组队方法？解解: : 按组合的定义，组队方法共有按组合的定义，组队方法共有120310C（种）（种）。概率随机事件及其概率二、集合及其运算二、集合及其运算 集合：具有某类共同性质的事物的全体。集合：具有某类共同性质的事物的全体

5、。关于集合之间的关系，常见的有以下几种：关于集合之间的关系，常见的有以下几种： 1 1、子集：若、子集：若A、B为两个集合，且为两个集合，且B B中所有元中所有元素都是素都是A中的元素，则称中的元素，则称B为为A的子集。的子集。若若BA 且且AB ，则，则A=B。2 2、并集：由属于、并集：由属于A或或B的元素全体组成的集合的元素全体组成的集合。AB 记为记为: :概率随机事件及其概率记为：记为：BA 称为称为A与与B的并集。的并集。3 3、交集：由同时属于、交集：由同时属于A和和B的元素组成的集的元素组成的集合称为合称为A与与B的交集。的交集。记为：记为：BA 4.4.差集：由属于差集：由属

6、于A但不属于但不属于B的元素组成的的元素组成的元素组成的集合称为元素组成的集合称为A与与B的差集。的差集。记为：记为： A-B概率随机事件及其概率A记为：记为： 关于集合之间的运算规律，这里只介绍关于集合之间的运算规律，这里只介绍对偶律。对偶律。BABA)(BABA)( 5 5、余集（补集）：若、余集（补集）：若U是包含所有元素的是包含所有元素的集合，集合， , ,称称U为全集。（为全集。（U-A）为集合）为集合A A在全集在全集U中的余集或补集。中的余集或补集。UA概率随机事件及其概率 序言序言 概率论的基本概念概率论的基本概念概率论是研究什么的？为说明什么是随机现象，我们来看这样两个简为说

7、明什么是随机现象，我们来看这样两个简单的例子单的例子（1）在一个装有）在一个装有10个完全相同的红球的袋子中个完全相同的红球的袋子中任意取出一球；任意取出一球；（2）在一个装有）在一个装有10个完全相同的球（个完全相同的球（5红红5白）白）的袋子中任意取出一球的袋子中任意取出一球概率随机事件及其概率确定性现象确定性现象:在一定条件下必然发生或必在一定条件下必然发生或必然不发生的现象然不发生的现象; 随机现象：随机现象：在一定条件下有多种可能结果在一定条件下有多种可能结果,且事先无法预知哪种结果会出现的现象且事先无法预知哪种结果会出现的现象;统计规律性统计规律性:对随机现象进行大量重复观对随机现

8、象进行大量重复观察时察时,随机现象出现的结果会呈现一定的随机现象出现的结果会呈现一定的规律性规律性.我们称之为统计规律性。例如，我们称之为统计规律性。例如，多次重复试验（多次重复试验（2），会发现出现红球与），会发现出现红球与白球的次数大致相同。白球的次数大致相同。概率随机事件及其概率第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件的关系及其运算随机事件的关系及其运算概率的定义及其运算概率的定义及其运算条件概率条件概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性事件的独立性 概率随机事件及其概率1.1随机事件及其概率随机事件及其概率一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验

9、”) 对随机现象的研究必然需要联系到对客观事物进行“调查、“观察”或“试验”。以后，我们统称为试验，并假定这种试验可在相同条件下重复进行。例1.掷一骰子，观察出现的点数。 每次点数可能不同，但必为1、2、3、4、5、6之中一点 例2.掷一硬币，掷两次，可能出现的结果为（正，正）、 （正，反）、 （反，正）、 （反，反）四种。多次重复这一试验，每次结果可能不同，但必为上述四种情况之一。 以上试验具有以下三个特点：概率随机事件及其概率1.试验可在相同条件下重复进行； 2.每次试验的结果可能不止一个,但事先能确定试验所有的可能结果;3.进行一次试验之前无法确定哪种结果会出现。 把具有上述性质的试验称

10、为随机试随机试验验，简称试验试验，可表为E（experiment）概率随机事件及其概率E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命.随机试验的例子概率随机事件及其概率二、随机事件二、随机事件 为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能出现的结果。 样本点： 试验的每一个可能结果称为样本点或基本事件,记为 样本空间：试验的所有可能结果（即样本点的全体）所组成的集合称

11、为该随机试验的样本空间，记为 随机事件（简称事件）：某些样本点的集合。常用大写字母A,B,C表示。 另外，还有两类特殊的随机事件： 1、在一定条件下必然会发生的事件，称为必然事件（）； 2、在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件（）；概率随机事件及其概率例：掷一骰子，观察出现的点数 样本空间： =1点，2点，, 6点 随机事件： “出现偶数点”=2点，4点，6点 “点数大于3”=4点，5点，6点 概率随机事件及其概率三、事件的关系与运算三、事件的关系与运算 概率论中的事件是赋予了具体含义的集合。因此，事件间的关系与运算可以按照集合论中集合间的关系与运算来处理。概率随机事件及其概率 1.包

12、含关系包含关系 “A发生必导致发生必导致B发生发生”记为记为A B AB A B且且B A.概率随机事件及其概率2.相等关系相等关系 若若A B，且，且B A ，则称事件，则称事件A与与B相等，记作相等，记作AB概率随机事件及其概率概率随机事件及其概率4.积（积（0r交）运算交）运算 : 事件事件A与与B同时同时发生所构成的事件，称为发生所构成的事件，称为事件事件A与事件与事件B的积。记作。记作 A B or AB概率随机事件及其概率5.差运算差运算： 事件事件A发生，而事件发生，而事件B不发生所构成的事件，不发生所构成的事件，称为事件称为事件A与与B的的差差,记作记作AB。概率随机事件及其概

13、率6.互不相容（互不相容（互斥）关系：互斥）关系：若事件若事件A与事件与事件B不能同时发生即不能同时发生即AB ，则称，则称事事件件A与与B互不相容。互不相容。 概率随机事件及其概率7. 对立对立关系关系 若若 A B , 且且AB 则称事件则称事件A、B互为互为对立事件。并称事件对立事件。并称事件A是事件是事件B的对立事件（的对立事件（or逆逆事件），记事件），记 易知，在一次试验中，易知，在一次试验中，A与与 只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，只能发生其中之一，并且必然发生其中之一， 例：例：“产品合格产品合格”与与“产品不合格产品不合格”互为逆事件。互为逆事件。注：对立必互斥，互斥

14、未必对立。注：对立必互斥，互斥未必对立。.AB记A.AA A概率随机事件及其概率显然:注意: 对立事件一定互斥,互斥不一定对立.,AAA AA AA A ,AAA 概率随机事件及其概率iniA1推广：和：n个事件个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作积：积：n个事件个事件A1, A2, An同时发生，记作同时发生，记作A1A2An两两互斥：若两两互斥：若n个事件个事件A1, A2, An中任意两个事中任意两个事件都不能同时发生，即件都不能同时发生，即AiAj=概率随机事件及其概率8.事件的运算律事件的运算律:与集合的运算完全一样与集合的运算完全一样(1)、交换律：、

15、交换律：ABBA，ABBA(2)、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)(3)、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)(4)、对偶、对偶(De Morgan)律律： .,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广概率随机事件及其概率例例1：从一批产品中每次取出一个产品进行检验，做不放：从一批产品中每次取出一个产品进行检验，做不放回抽样，用回抽样，用Ai（i=1，2，3）表示）表示“第第i次取到合格品次取到合格品”。试用。试用A1、 A2、 A3表示下列事件：表示下列事件：(1)23456“三次都取到合格品”（ ）“三次中至少有一次取到

16、合格品”（ ）“三次中恰有两次取到合格品”（ ）“三次中最多有一次取到合格品”（ ）“三次中最多有两次取到合格品”（ ）“三次中至少有两次取到合格品”概率随机事件及其概率例例2：某运动员参加三项比赛，用：某运动员参加三项比赛，用 Ai 表示事件表示事件“第第i项比赛获胜项比赛获胜”（i=1,2,3），试用），试用A1,A2,A3 表表示下列事件：示下列事件：（1）只有第一项比赛获胜；（2）只有一项比赛获胜；（3）三项比赛都获胜；（4）至少有一项比赛获胜；概率随机事件及其概率 四、四、 频率与概率频率与概率概率与事件一样，是概率论中最重要的概念之一。概率与事件一样，是概率论中最重要的概念之一。概

17、率随机事件及其概率频率频率定义定义: 事件事件A在在n次重复试验中出现次重复试验中出现nA 次，则次，则比值比值nA/n称为事件称为事件A在在n次重复试验中出现的次重复试验中出现的频率频率，记为记为fn(A). 即即fn(A) nA/n.频率的稳定性频率的稳定性 vv(一一)概率的统计定义概率的统计定义概率随机事件及其概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pears

18、on 24000 12012 0.5005概率随机事件及其概率概率概率的定义：实践证明：当试验次数的定义：实践证明：当试验次数n增大时，增大时，事件事件A的的 频率频率 fn(A) 逐渐逐渐趋向一个稳定值趋向一个稳定值P。称这个稳定值为事件称这个稳定值为事件A的概率的概率记为记为:P(A)注：频率与概率是两个不同的概念。注：频率与概率是两个不同的概念。频率依赖于已做过的试验，可变化；频率依赖于已做过的试验，可变化；概率是事件的客观属性，不变；概率是事件的客观属性，不变；另外，不能简单地理解为另外，不能简单地理解为P(A)=limnA/n.Ann概率随机事件及其概率概率的性质：(1) P(A)

19、0；（非负性）(2) P()1；（归一性（规范性）(3) 有限可加性有限可加性：若AB ，则 P( A B) P(A) P(B)推论： P(A)1 P( );推广（可列可加性）设A1，A2，是两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An)+A概率随机事件及其概率(4)不可能事件的概率为0，即P()=0(5)若事件AB，则P(A-B)=P(A)-P(B)，一般的， P(A-B)=P(A)-P(AB)(6)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 推广：该公式

20、可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；特别的，例题：()( )( )( )()()()()P A B CP APBPCP ABP ACPBCP ABC 概率随机事件及其概率例例1 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人订每种报纸的人数分别占全体市民人数的数分别占全体市民人数的30%,其中有其中有10%的人的人同时定甲同时定甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙没有人同时订甲丙或乙丙报纸报纸.求从该市任选一人求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的他至少订有一种报纸的概率概率.解解:设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报%8

21、0000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP概率随机事件及其概率例例2 在在1 10这这10个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被）取到的数能被2或或3整除的概率，整除的概率，（2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2也不能被也不能被3整除的概率。整除的概率。解解:设设A取到的数能被取到的数能被2整除整除; B-取到的数能被取到的数能被3整除整除21)(AP103)(BP故故)()()()() 1 (ABPBPAPBAP107)(1)()2(BAPBAP101)(ABP概率随机事件及其概率Def:若随机试验满足以下

22、两个特征若随机试验满足以下两个特征:1.有限性有限性: 随机试验只有有限个基本事件，即随机试验只有有限个基本事件，即 样本空间样本空间 1, 2 , , n 2.等可能性：每次试验中各个基本事件发生的可等可能性：每次试验中各个基本事件发生的可能性相同，即能性相同，即 P(1)=P(2)=P(n). 则称此试验为古典概型试验，简称为则称此试验为古典概型试验，简称为“古典概型古典概型”。（是概率论发展初期的主要研究对象是概率论发展初期的主要研究对象）例：掷一骰子例：掷一骰子(二二)概率的古典定义概率的古典定义 古典概型及其概率古典概型及其概率概率随机事件及其概率 对于古典概型试验，如果样本空间所含

23、的样本点总数为n，事件A所含样本点个数为m，则事件A的概率为：( )mP An例1：掷一枚骰子，求出现点数大于4的概率。 古典概型中的概率计算古典概型中的概率计算:概率随机事件及其概率例例2 2 有三个子女的家庭有三个子女的家庭, ,设每个孩子是男是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等, ,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少? ?解解: :设设A-A-至少有一个男孩至少有一个男孩, ,以以H H表示某个孩子是男孩表示某个孩子是男孩=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTTA=HHH,

24、HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT7( )8mP An当样本空间的元素较多时，一般不再将元素一一列出，当样本空间的元素较多时，一般不再将元素一一列出，而只需求出而只需求出 和和A中包含的元素的个数即可。中包含的元素的个数即可。概率随机事件及其概率 例例3 3 一批产品由一批产品由1515件正品和件正品和5 5件次品组成，考虑件次品组成，考虑两种抽样方式。两种抽样方式。1 1、放回抽样，每次随机抽取、放回抽样，每次随机抽取1 1件，共取件，共取3 3次；次；2 2、不、不放回抽样，放回抽样，每次随机抽取每次随机抽取1 1件，共取

25、件，共取3 3次；次；求取出的求取出的3 3件都是正品的概率。件都是正品的概率。概率随机事件及其概率例例4 4（生日问题）设一年（生日问题）设一年365365天，每人在一天，每人在一年中每天出生的可能性相同。求年中每天出生的可能性相同。求n n人中生日人中生日至少有两个相同的概率。至少有两个相同的概率。解：设解：设A=“n人中至少有两人生日相同人中至少有两人生日相同”，则则 =“n人生日各不相同人生日各不相同”，且，且所以，所以，3 6 5()3 6 5nnppAA365( ) 1( ) 1365nnpp Ap A 概率随机事件及其概率例例5（抽签问题（抽签问题 ）设袋中有设袋中有a个白球，个

26、白球，b个红球，个红球，现在依次把袋中球一只只摸出来，求第现在依次把袋中球一只只摸出来，求第k（ ）次取到的是白球的概率。）次取到的是白球的概率。1kab解：（法一）考虑全部抽完，所有的球各不相同。解：（法一）考虑全部抽完，所有的球各不相同。把把a只白球及只白球及b只红球看作是不同的（例如设想只红球看作是不同的（例如设想进行编号）。若把摸出的球依次放在排列成一直线进行编号）。若把摸出的球依次放在排列成一直线上的上的a+b个位置上。则可能的排列法相当于把个位置上。则可能的排列法相当于把a+b个个元素进行全排列，总数为元素进行全排列，总数为Pa+b,把他们作为样本点的把他们作为样本点的全体；所求事

27、件所包含的基本事件数为全体；所求事件所包含的基本事件数为a Pa+b-1，这是因为第这是因为第k次摸到白球有次摸到白球有a种取法，而另外种取法，而另外a+b-1只只球进行全排列，有球进行全排列，有Pa+b-1种，故所求概率为种，故所求概率为1a ba bapappab 概率随机事件及其概率（法二）仅考虑第（法二）仅考虑第k个位置的球的情况。个位置的球的情况。 ,ap.abAnabna所 以 ，注：注：p(A)与与k无关，表明取球的顺序不影响取到无关，表明取球的顺序不影响取到白球的概率。白球的概率。“机会均等机会均等”原则原则概率随机事件及其概率 (三三) 几何概型几何概型 早在概率论发展初期，

28、人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。够的。 在古典概型中在古典概型中, ,把试验个数有限改为无限，把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法几何方法。几何方法。概率随机事件及其概率定义:若随机试验满足若随机试验满足:(1)试验的所有结果为无穷多个试验的所有结果为无穷多个,且布满某个区且布满某个区域域(或区间或区间);(2)每个结果的发生是等可能的。每个结果的发生是等可能的。则称此试验为几何概率模型

29、试验则称此试验为几何概率模型试验,简称几何概型简称几何概型.注：注：“等可能等可能”应理解为对应于每个试验结果应理解为对应于每个试验结果落入某区域内的可能性大小仅与该区域的度量落入某区域内的可能性大小仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置与形状无关。成正比，而与区域的位置与形状无关。概率随机事件及其概率几何概型的计算几何概型的计算:若设样本空间若设样本空间的几何测度的几何测度(即区间的长度、即区间的长度、平面区域的面积、空间区域的体积等平面区域的面积、空间区域的体积等)为为(),事件事件A的几何测度为的几何测度为(A),则事件则事件A的概率为的概率为: ( )( )()AAP A的几何测度的几

30、何测度概率随机事件及其概率例1、长途汽车站每隔30分钟有一辆汽车开出，乘客在不知发车时间的情况下在任何时刻到达车站是等可能的。求该乘客候车时间不超过10分钟的概率。 解：设A=“乘客候车时间不超过10分钟”,用x表示候车时间，则x|0 x 30, ( ) 30 A=x|0 x 10,( ) 10101p(A)=.303 从而，概率随机事件及其概率例例2 2（会面问题）甲、乙两个相约在（会面问题）甲、乙两个相约在0 0到到T T这段这段时间内在某地会面，先到的人等候另一个，经时间内在某地会面，先到的人等候另一个，经过时间过时间 t（t0,则称为事件事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条

31、发生的条件概率件概率。记为P(A|B），即()(|)()PA BPABPB12211()(|)()P A AP AAP A()()PA BPB注：注：重要的是理解定义的含义。最好用古典定义求重要的是理解定义的含义。最好用古典定义求P（A|B)（注意样本空间的变化），而不是利用公（注意样本空间的变化），而不是利用公式求。式求。概率随机事件及其概率例例1 1： 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010解：设 B-从盒中随机取到一只红球. A-从盒中随机取到一只新球. 402(|)603P A

32、 B 概率随机事件及其概率 例2：某种动物能活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现在该动物已经20岁了，问它能活到25岁的概率是多少？概率随机事件及其概率二、二、乘法公式乘法公式设A、B，P（B）0,则 P(AB)P(B)P(A|B). 称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 概率随机事件及其概率例3 一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件。若3件产品都合格,则准予该箱产品

33、出厂。求一箱产品准予出厂的概率。解:设事件Ai为“抽到第i件为正品”(i=1,2,3)则事件“一箱产品准予出厂”可表示为A1A2A3因为 ， P(A1)=90/100=0.9,P(A2|A1)=89/99=0.899,P(A3|A1A2)=88/98=0.898所以，P(A1A2A3)= P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)=0.7265概率随机事件及其概率例例4 4 现有车票现有车票1010张张, ,其中其中6 6张甲票张甲票,4,4张乙票张乙票. .今连续今连续抽取三次抽取三次, ,去后不放回去后不放回. .求求(1)(1)已知前两次取得甲票的情况下已知前两次取得甲票的情况下

34、, , 第三次取得甲第三次取得甲票的概率票的概率. .(2)(2)三次都取得甲票的概率三次都取得甲票的概率. .概率随机事件及其概率例5、一批产品有100个，次品率为10%，不放回的分别抽取2个零件。求第2次才取到正品的概率。概率随机事件及其概率例例6 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB123123112233( )()()()()( |) ( )( |) ()( |) ()

35、1110.020.010.030.0225442P BP BABABAP BAP BAP BAP B A P AP B A P AP B A P A 概率随机事件及其概率三、全概率公式三、全概率公式 概率论的一个重要内容，就是希望通过已知的简单事件的概率来计算出未知的较复杂事件的概率。为此，经常地通过把一复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件，然后利用加法公式求得复杂事件的概率。在这类计算中，全概率公式起着重要作用。概率随机事件及其概率1、完备事件组设有n个事件B1， B2， Bn。若满足:(1) BiBj=(ij),i=1,2, ,n(2) B1 U B2 U U Bn =则称B1， B2

36、， Bn构成一个完备事件组。2、全概率公式 设B1， B2， Bn为一完备事件组，且P(Bi)0(i=1,2, ,n),则对于任意事件A,有 1()() (|)niiip Ap B p A B概率随机事件及其概率析：对任意析：对任意A, 由由B1， B2， Bn互不相容可知，互不相容可知，AB1, AB2, ABn互不相容，故11()nniiiiAAABAB 111( )()()() ( |)nnniiiiiiip ApABp ABp B p A B( )( ) ( | )( ) ( | )P AP B P A BP B P A B特别的，特别的，n=2时，时，概率随机事件及其概率例例1：有朋

37、自远方来，他乘火车、轮船、汽车、：有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4；若乘；若乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/4,1/3,1/12 ,而乘飞机则不会迟到。求而乘飞机则不会迟到。求1）他迟到的概率？）他迟到的概率？2）若他迟到了，那他乘火车来的概率是多少？）若他迟到了，那他乘火车来的概率是多少？概率随机事件及其概率解：设B1,B2,B3,B4分别表示事件“乘火车、轮船、汽车、飞机”，A表示“朋友迟到”，则1）由全概率公式，12341234( )0.3, ()0.2, ()0.

38、1, ()0.4,111( |), ( |), ( |), ( |)04312P BP BP BP BP A BP A BP A BP A B413()() (|).20iiip Ap Bp A B11111()()( ) ( |)12) (| ).( )( )( )2P BAP ABP B P A BP B AP AP AP A概率随机事件及其概率例例2 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取

39、任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？解：设B1从甲袋放入乙袋的是白球；B2从甲袋放入乙袋的是红球；A从乙袋中任取一球是红球；12731433221)()|()()|()(2211BPBAPBPBAPAP甲乙概率随机事件及其概率 定理定理2 2 设事件B1，B2, Bn构成一完备事件组，且P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件A，P(A) 0，有 1()(|)(|),(1,.,)()(|)iiiniiiP BP A BP BAinP BP A B称为贝叶斯公式贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少

40、？答答: :74127)()|()()()|(1111BPBAPAPABPABP四、贝叶斯（四、贝叶斯（Bayes）公式）公式概率随机事件及其概率析：()( ) ( | )( | ),(1,., )( )( ) ( | )( ) ( | )P ABP B P A BP B AinP AP B P A BP B P A B特别的，特别的，n=2时，时，1()() (|)(|),(1,., )( )() (|)iiiiniiiP ABP B P A BP BAinP AP B P A B概率随机事件及其概率例例1 1 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,

41、0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解解: :设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)|(4204182CCBAP由Bayes公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848. 019121 . 0541 . 018 . 0541 . 0概率随机事件及其概率例2数字通讯过程中，信号源发射0、1两种状

42、态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号,问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P 0.067解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号45. 085. 055. 005. 055. 005. 00 (0.55)0 1 0 1 不不清清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 1 0

43、不不清清(0.85)(0.05)(0.1)概率随机事件及其概率注：全概率公式是已知原因，求结果； 贝叶斯公式是已知结果，溯求原因。概率随机事件及其概率条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式概率随机事件及其概率五、事件的独立性五、事件的独立性 例例:掷一枚硬币两次，观察正反面出现的情况。掷一枚硬币两次，观察正反面出现的情况。设设A,B分别表示都一次、第二次出现正面。分别表示都一次、第二次出现正面。解：样本空间为解：样本空间为()()()() 正 ， 正， 正 ， 反， 反 ， 正， 反 ， 反21( )( ),4211(), ( | )()(

44、)42P Ap BP ABP B A 此时，正，正， 正，反从而从而我们注意到：此时我们注意到：此时(|)()()()()P BAp BP ABP A p B，且概率随机事件及其概率 从直观分析可知，事件B的发生完全不受事件A发生与否的影响；同样，事件A的发生也完全不受事件B发生与否的影响。于是，称这样的两个事件是相互独立的。定义定义 设A、B是两事件，若满 P(AB)P(A)P(B) 则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。概率随机事件及其概率性质1：若P(B)0,则A、B独立 P(A|B)=P(A)证明：由定义：若A、B相互独立，则 P(AB)P(A)P(B)所以)()()()()()()

45、|(APBPBPAPBPABPBAP性质2：以下四个结论是等价的：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。概率随机事件及其概率证明：设A与B相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)所以， P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) = P(B)- P(A)P(B)=P(B)(1-P(A) =P(B)P(A)概率随机事件及其概率例：甲、乙两人同时独立的向同一目标射击，例：甲、乙两人同时独立的向同一目标射击，已知甲的命中率为已知甲的命中率为0.720.72，乙的命中率为，乙的命中率为0.550.55。求目标被击中的概率。求目标

46、被击中的概率。解：设A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标” 则AUB=“目标被击中目标被击中” 从而，()( )( )()( )( )( ) ( )0.874P ABP Ap BP ABP Ap BP A p B概率随机事件及其概率推广：推广：若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。相互独立。注：注：1、必须四个式子同时成立，前三个表示、必须四个式子同时成立，前三个表示 A，B，C两两独立；两两独立； 2、相互独立必两两独立；反之，未必。、相互

47、独立必两两独立；反之，未必。概率随机事件及其概率一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对所有可能组合1ijkn成立:P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。概率随机事件及其概率例：设人们上街被盗的概率为 ，问某人上街n天发生被盗的概率是多少？1010解：设解：设Ai=“第第i天被盗天被盗”，i=1,2,n,则则_1212_1210() 1()1( ) ()()1 (1 10)nnnnp AAAp AAAp A p Ap A 101(1 1

48、0)1()nn 注：注：概率随机事件及其概率例：在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。概率随机事件及其概率设设A-L至至R为通路为通路,Ai-第第i个继电器通个继电器通,i=1,2,5)()|(52413AAAAPAAP422pp )()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp概率随机事件及其概率六、独立试验概型六、独立试验

49、概型1 1、重复独立试验重复独立试验 在相同条件下重复做某种试验在相同条件下重复做某种试验n次次, , 且且每次试验的结果互不影响每次试验的结果互不影响, ,则称这则称这n n次试验次试验为为n次重复独立试验次重复独立试验。 3、n n重贝努里试验重贝努里试验 将贝努里试验重复的进行将贝努里试验重复的进行n n次，并把这次，并把这n n次次试验作为一个试验。试验作为一个试验。2、贝努里试验、贝努里试验 每次试验的结果只有两个。每次试验的结果只有两个。概率随机事件及其概率定理定理 在贝努里概型中，在贝努里概型中，P( (A)=)=p (0 (0p1),1),则则事件事件A在在n次试验中恰好发生次

50、试验中恰好发生k次的概率为：次的概率为：)()(),(nkppCpknPknkkn 01 该公式正好与该公式正好与 的二项展开式的二项展开式中第（中第（k+1）项完全相同，故有时又称之为）项完全相同，故有时又称之为 npp)( 1参数为参数为n和和p的二项概率公式。的二项概率公式。概率随机事件及其概率 例例1 1 一批产品中有一批产品中有20%20%的次品，现进行重的次品，现进行重复抽样，共抽取复抽样，共抽取5 5件样品，分别计算这件样品，分别计算这5 5件样品件样品中恰好有中恰好有3 3件次品及至多有件次品及至多有3 3件次品的概率？件次品的概率？解解 设设 表示表示“5 5件样品中恰好有件

51、样品中恰好有i件次品件次品”iA利用二项概率公式可得利用二项概率公式可得. 5 ,1 , 0 iB表示表示“5 5件样品中至多有件样品中至多有3件次品件次品”(5,0.2)np332355()(3)0.2 0.80.0512P APC 55445555( )1(4)(5)10.2 0.80.20.9933P BPPCC概率随机事件及其概率例例2 三重贝努里试验中，至少有一次试验三重贝努里试验中，至少有一次试验成功的概率为成功的概率为37/64，求每次试验成功的概，求每次试验成功的概率。率。解：记每次试验成功的概率为记每次试验成功的概率为p，设事件，设事件A为为“至少有一次试验成功至少有一次试验

52、成功”，则事件，则事件 为为“三三次试验均未成功次试验均未成功”,于是于是3)1()(pAPA64/37)1 (1)(1)(3pAPAP4/1p所以，概率随机事件及其概率第一章第一章 小结小结本章由本章由六个概念六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性）（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性）四个公式四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和式）和三个概型三个概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）（古典概型、几何概型、贝努里概型）组成组成概率随机事件及其概率例例1 1、填空题：、填空题： 1 1、已知、已知, , 3 . 0)(

53、, 4 . 0)(BPAP(1)(1)当当A A、B B互不相容时，互不相容时，(2)(2)当当A A、B B相互独立时，相互独立时，(3)(3)当当 时，时，;_)(_,)(ABPBAPAB ;_)(_,)(ABPBAP;_)(_,)(ABPBAP2 2、已知、已知 )(BAP, 8 . 0)(, 6 . 0)(, 5 . 0)(ABPBPAP则则常见例题精解常见例题精解 概率随机事件及其概率3 3、一种零件的加工由两道工序组成，第一道、一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为工序的废品率为p p，第二道工序的废品率为，第二道工序的废品率为q q则该零件加工的成品率为则该零件加工的

54、成品率为 _。4 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为其命中率分别为0.50.5和和0.40.4，现已知目标被击，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是中，则它是乙射中的概率是 。 5 5、设三次独立试验中，事件、设三次独立试验中，事件A A出现的概率相出现的概率相等，若已知等，若已知A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为 ，则在，则在一次试验中事件一次试验中事件A A出现的概率为出现的概率为 。 2719概率随机事件及其概率例例2 2、单项选择题、单项选择题 ： 1 1、以、以A A表示事件表示事件“甲种产品畅销，乙甲种产品畅销

55、，乙种产品滞销种产品滞销”，则其对立事件为（），则其对立事件为（） A A“甲种产品滞销，乙种产品畅销甲种产品滞销，乙种产品畅销”； B B“甲、乙两种产品均畅销甲、乙两种产品均畅销”； C C“甲种产品滞销甲种产品滞销”； D D“甲种产品滞销或乙种产品畅销甲种产品滞销或乙种产品畅销”。概率随机事件及其概率AAB B 2 2、如果事件、如果事件 、 有有 ，则下述结论正，则下述结论正确的是（确的是（ ）A A 与与 必同时发生必同时发生 B B 发生，必发生；发生，必发生；C C 不发生，必不发生不发生，必不发生D D不发生，必不发生不发生，必不发生 ABABBAAB 3 3、掷两枚均匀硬币

56、，出现、掷两枚均匀硬币，出现“一正一反一正一反”的的概率是（概率是（ ） A A ； B B ； C C ； D D 。 31214143概率随机事件及其概率 4 4、设、设 、 为任意两个事件，且为任意两个事件，且 ， ，则下列选项必然成立的是（，则下列选项必然成立的是（ ） ABBA0)(BP)()(BAPAPA、)()(BAPAPB、)()(BAPAPC、)()(BAPAPD、 5 5、已知、已知 ， ，如，如果它们满足条件（果它们满足条件（ ）时，则能使等式）时，则能使等式 成立。成立。 A A 是一个完备事件组；是一个完备事件组； B B 两两互斥；两两互斥；0)(BPniAPi, 2 , 10)()(BP)()(1iniiABPAPnAAA,21nAAA,21概率随机事件及其概率 C C 相互独立；相互独立；nAAA,21D D 的并集是全集。的并集是全集。 nAAA,21， 且 ，169)(CBAP 例例3 3、设两两独立的三个事件、设两两独立的三个事件A A、B B、C C，满足，