2.1-多元复合函数的求导法则(1)ppt课件

1、多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法第四节第四节一、多元复合函数的偏导数一、多元复合函数的偏导数定理定理处处均均可可导导，在在点点，设设函函数数),(),(),(yxyxvvyxuu 处处有有连连续续的的偏偏导导数数在在相相应应点点又又函函数数),(),(vuvufz ，、vzuz 处处在在点点则则复复合合函函数数),(),(),(yxyxvyxufz 可导，可导，且有且有，xvvzxuuzxz 定理说明：多元复合函数关于某个自变量的偏导数定理说明：多元复合函数关于某个自变量的偏导数uvxzy此定理可推广其它此定理可推广其它各种多元复合函数各种多元复合函数等于它对每个中间变量的偏导数及该中

2、间变量对这个等于它对每个中间变量的偏导数及该中间变量对这个自变量的偏导数的乘积之和自变量的偏导数的乘积之和.yvvzyuuzyz ，例如，已知例如，已知),(wvufz zwvuyx 的的偏偏导导数数求求复复合合函函数数),(),(),(yxwyxvyxufz ，xwwzxvvzxuuzxz .ywwzyvvzyuuzyz ，又又),(yxuu ，),(yxvv ，),(yxww ，又又对对函函数数),(wvufz uvwtz.dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz 称为全导数称为全导数这里的这里的dtdz有有，)()()(twwtvvtuu ),(),(vuwwwvufz ，而，而如果

3、如果uvwz 的的偏偏导导数数求求复复合合函函数数),(,vuwvufz ，uwwfufuz .vwwfvfvz 把复合函数把复合函数),(,vuwvufz 中中的的v看作看作常常量量而对而对u的偏导数的偏导数 把把),(wvufz 中中的的v及及w看作常量看作常量而对而对u的偏导数的偏导数 两者的区别两者的区别区别类似区别类似，而而如如果果)()(, ),(uwwuvvwvufz 则则.dudwwzdudvvfufdudz 解解dxdyyfxfdxdz .cos212xyx 或或直直接接求求.sin12dxdzxyyxz，求，求，又，又设设例例 .cos212xyx xyxdxdz)()(2

4、 .)(222yuxuyxzyxuz 及及，求求，又又设设例例解解xzzfxfxu .2)ln()()(1xyxyxyxzzz 同理同理.2)ln()()(1yyxyxyxzyuzz .,),(32yxuyuxuexzzyxfuy 、求求，又又设设例例解解 xu 1f，3fey，同理同理32fxefyuy ),(),(),(321zyxffzyxffzyxffzyx ，注注意意 312fefyxuyyxuy 1312fxefy . )(33323fxefefeyyy 有有连连续续的的，其其中中设设例例fxyzzyxfw),(4 .2zxw 二阶偏导数，求二阶偏导数，求解解令令，zyxu ；xy

5、zv xwxvvfxuuf ，21fzyf zxw2)(21fyzfz 1211fyxf zfzyfy 22)(222121211fyxfzyfyfyxf .)(22221211fyfzyxfzxyf ，及及，求求，设设例例yxzyzxzeyxfzxy 222),(5解解xyexfyxxfxz 2221)(，212fyefxxy ，212fxefyxy )2(212fyefxyyxzxy )2(21211fxefyxxy 2fexy 2fxyexy )2(2221fxefyyexyxy 2222122211)1()(24fexyfxyefeyxfxyxyxyxy )2004(具具有有连连续续二

6、二阶阶偏偏导导数数其其中中 fxyeyfyxyfyz 2221)(且满足且满足具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，设设例例),(6vuf)2003(.2222ygxg 求求解解 xgxvvfxuuf ，vfyufxyg )(22vfxufyxxg 故故)(222vufxufyy vf ，又又)(21,),(1222222yxxyfyxgvfuf ，vfxufy 同理同理)(222vfxuvfyx 且满足且满足具有二阶连续偏导数，具有二阶连续偏导数，设设例例),(6vuf)2003(.2222ygxg 求求解解)(22222vufxufyyxg vf ，又又)(21,),(1222222yx

7、xyfyxgvfuf 同理同理)(222vfxuvfyx ，vfvfxvufxyufy 22222222，vfvfyvufxyufxyg 2222222222222222yxygxg 足足具具有有连连续续偏偏导导数数，且且满满设设例例),(7vuf)2004(.其其通通解解的的一一阶阶微微分分方方程程，并并求求解解),(22xxfeyx 所满足的所满足的，求，求),(),(),(2xxfeyuvvufvufxvu xxexxxfe222),(2 ，xexy222 故所求一阶方程为故所求一阶方程为，xexyy222 方程的通解为方程的通解为)(2222Cdxeexeydxxdx )(22Cdxx

8、ex )31(32Cxex ),(),(2xxfxxfevux 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分1. 全微分的四则运算法则全微分的四则运算法则，dvduvud )(，udvvduuvd )(.)(2vudvvduvud 2. 全微分的复合运算法则全微分的复合运算法则均均可可微微，设设函函数数),(),(),(yxvvyxuuvufz 也也可可微微，且且有有，则则复复合合函函数数),(),(yxvyxufz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()( )()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuz .dvvzduuz 全微分形式的不变性全微分形式的不

9、变性量量，是是中中间间变变量量，还还是是自自变变，无无论论vu函数的全微分形式不变函数的全微分形式不变解解 2sinreddz )2sin(2sin rder )2sin2(sin2sin drrder )2cos22(sin2sin drrder 从而从而 ， 2sin2sinrerz 2sin2cos2rerz ，求求，设设例例 zrzdzezr2sin8求求，设设例例duxxyyxfu)sin,(922 解解)sin,(22xyxyxfddu xdfxydfyxdfsin)()(32221 dxfxxdyydxfydyxdxf321cos)()22( .)2()cos2(12321dyfyfxdxfxfyfx 且有且有 ，321cos2fxfyfxxu 122fyfxyu 210ln3xzuv uvxydzy 例例设设， 求求解解)ln(2vuddz vduvdulnln22 dvvuvduu2ln2 )3(ln22yxdvuyxdvu )3(ln222dydxvuyxdyydxvu .ln23ln2222dyvuyvxudxvuyvu 从而从而 ，vuyvuxz23ln2 .ln222vuyvxuyz .)(1122yuxuyxzyxuz 及及求求，又，又设设例例解解zyxddu)( dzyxyxyxdyxzzz)ln()()()(1 )()ln