空间向量知识点归纳(期末深刻复习)

1、空间向量期末复习知识要点：1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 *同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2 ）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。（如图）定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下CoB oA aB a b；BA oA oB a b；oP a(aR)运算律：加法交换律：a(b c)b加法结合律：（a b） c数乘分配律：（a b）3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，a平行于b，记作a /

2、 b o当我们说向量a、b共线（或a/ b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b工0 ）, a/ b存在实数九使a =入4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。:（2） 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 X, y 使 P xyb o5. 空间向量基本定理：如果三个向量，善b,cf共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组 X, y, z，使P xyb zc o,.P，都存在唯一的三个有序实数面

3、的四点，则对空间任一点zOC o若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,X, y,z，使 op6.空间向量的数量积。（1 ）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o，作oA a,oB b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b ；且规定o a,b b,a ；若a,b -,则称a与b互相垂直，记作：a(2) 向量的模：设oA a,则有向线段oA的长度叫做向量i的长度或模,(3) 向量的数量积：已知向量.a,b，则| a11 b | cos a,b叫做a,b 作a b

4、，即 a b| |b| cos a,b。(4) 空间向量数量积的性质： a e|cos a,e。 a b a(5) 空间向量数量积运算律：.(,辭b) a,( b)。a ba (b c) a b a c (分配律)。7.空间向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算.设 a =心1月223), b = (bi,b2,b3)则(1) a + b = (31 bi,a2 b2,a3 d);(3)入a = (3i,32 , a3)(入 WR);(2) .设 A(心 yi,zi), B(2,y2,Z2)，则 AB(3) .设 a (Xi，yi,Zi), b (X2, y2,Z2)，则Jq a a= X

5、ij lyi2 I Z2alba, b(b 0)；显然有b 0。 I a |2 a a。ba(交换律)。(4O(X2=aibiaba, b,b。记作：血。的数量积，记(ai bi,a2 b2,a36);xi,y2 yi,z2 zi).(4) .夹角公式设 a=(caG), b=(bbb), 贝y cos a, b -j=Ja2(5) .异面直线所成角4 .cos I cos(a, b) |=甲 * 严' |3| |b| 血2(6) .直线和平面所成的角的求法a2b2asbs2a2a2b； bf|xiX2 yy22 i2yizig0XiX2yiy2Z1Z20.ZlZ2 I22光 Z2如图

6、所示，设直线l的方向向量为e,平面a的法向量为n,直线I与平面a所成的角为0,两向量e与n的夹角为0,则有sinIn e|(1)如图，AB, CD是二面角a -l -卩的两个面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小(2)如图，n1, n2分别是二面角大小e=< n1,门2或n<'、n1, n2.Icos 1cos rij,门21 1练习题：1.已知；a = (3,2,5),b = (1 , x,A. 3B. 4C. 5e=< AB , CD.a -1 -卩的两个半平面1)且 a b = 2 ,贝 U xD . 6a,卩的法向量，则二面角的的值是()2 .已知a = (2,

7、4,5),b = (3 , x, y),若 a/b ,A. x= 6, y = 15x= 3 ,则()15y=7C. x = 3 , y = 15x= 6,15y = 丁3.已知空间三点垂直，则向量aA(0,2,3) , B( - 2,1,6), 为()C(1, 1,5).若 |a|=y,且 a 分别与 AB, ACB.C.(1,1,1)(1 , 1 ,(1,1,1)或(1 , 1 , 1)(1 , 1,1)或(1,1 , 1)-1)A4若 a = (2 , 3,5), b = ( 3,1 , 4),则 |a 2b| =5.如图所示,1已知正四面体 ABCD中，AE=AB, CF= CD，则直

8、线 DE和BF所成角的余弦值为444/258解析va 2b = (8， 5,13),.|a 2 b| =_ 5 2+ 132 = /25845.13解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为 BCD的垂心，所以有BC丄DA , AB丄CD.设正四面体的棱长为 4,则 BFdE =（BC + CF）（DA + AE）=0 + BCAE+CFdA + 0=4Xi Xcos 120 ° 1 X4 Xcos 120 °=T,BF= DE = 4=a+ c+ b. -/N是BC的中点, AN = aa + AB + BN 一 a+ b + 严1_,1一a+b+2A

9、D 一 a+ b+2c.+ 12-2 X4 Xi Xcos 60 °3 ,所以异面直线 DE与BF的夹角e的余弦值为:13cos e=6. 如图所示，在平行六面体 ABCD-AiBiCi Di中，设aAI = a, AB = b , AD = c, M ,N , P分别是AAi, BC, CiDi的中点，试用a, b, c表示以下各向量:AN ； MP + NCI .解：（1） vP是CiDi的中点, AP = aA! + AiDi + D"P=a+AD+ 2DiCii 一=a+ c+2ABvM是AAi的中点,MP = MA + AP = AA + AP1 1 1 1一 2

10、a+ a+c+ 2b = 2a+2b + c.又 NCi = NC + CCi = BC + aAI2i _T i =2AD + A = 2C+a,/MP + "Noi =fa + 尹 + c +7.已知直三棱柱ABC-AiBiCi 中，/ABC 为等腰直角三角形，/BAC= 90 ° 且 AB = AAi,D , E, F分别为BiA, CiC, BC的中点.(1)求证:DE /平面 ABC;求证:BiF丄平面 AEF.证明：以A为原点，AB，AC，AAi所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，令 AB = AAi= 4,贝U A(0,0,0)

11、 , E(0,4,2) , F(2,2,0) , Bi(4,0,4) , D(2,0,2),Ai(0,0,4),(i) DE = ( 2,4,0)，平面 ABC 的法向量为 aAI = (0,0,4), DE -aA! = 0 , DE?平面 ABC,DE /平面 ABC. BF = ( 2,2 , - 4), EF = (2 , - 2, - 2), b"f EF = (- 2) X2 + 2 X( - 2) + ( 4) X( - 2) = 0 , b1f 丄 EF , BiF丄 EF,b"f aF = (- 2) X2 + 2X2 + ( 4) X0 = 0 ,BF

12、丄 aF ,.BiF丄AF.AF nEF= F,.BiF丄平面 AEF.8.如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，PC丄平面 ABCD , PC = 2，在 四边形 ABCD 中，/ B=/C= 90 °,AB = 4 , CD = 1，点 M 在 PB上,PB= 4PM , PB与平面 ABCD成30 °的角.求证:(1)CM /平面 PAD;平面PAB丄平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.PC丄平面ABCD ,/PBC为PB与平面ABCD所成的角,/./PBC= 30PC= 2 , BC= 2话,PB

13、= 4,D(0,1,0) , B(/3, 0,0) , A(2V3, 4,0) , P(0,0,2) , M 半,0, |DP = (0，- 1,2) , dA = (2/3 , 3,0),CM =设n =(X, y, z)为平面PAD的一个法向量,DP n = 0,由_DA n = 0,y+2z = 0, 即2>/3x + 3y = 0,令 y = 2，得 n = ( 3, 2,1).n CM = © %¥+ 2x0 + i3x-= 0,2n丄CM又CM ?平面PAD,CM /平面 PAD.(2)如图，取AP的中点E,连接则,2,i) , BE =(茁,2,i).P

14、B = AB,.BE丄 PA.又/ BE DA = ( /, 2,i) (2>/3, 3,0) = 0 ,BE 丄 DA. /BEX DA.又 PAnDA = A, /BE丄平面 PAD.又-/BE?平面PAB,平面PAB丄平面PAD.9.如图，在正方体 ABCD-AiBiCi Di中，E为AB的中点.(1)求直线AD和直线BiC所成角的大小;求证：平面 EBiD丄平面BiCD.解:不妨设正方体的棱长为 2个单位长度，以DA, DC, DDi分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.根据已知得：D(O,O,O) , A(2,O,O) , B(2,2,O) , C(O

15、,2,O),Bi(2,2,2).(1) da = (2,0,0) , CBi = (2,0,2) , Acos DA , CBiDA CBi y2|DA|CBi|2nA直线AD和直线BiC所成角为-4证明：取BiD的中点F,得F(1,1,1)，连接EF.E 为 AB 的中点， E(2,1,0),EF = (- 1,O,1) , DC = (O,2,O),EF DC = 0 , EF CBi = 0 ,EF丄 DC, EF丄 CBi.DC nCBi = C,；EF丄平面 BiCD.又EF?平面EBiD，平面EBiD丄平面BiCD.10 .如图，直角梯形 abcd与等腰直角三角形 abe所在的平面

16、互相垂直.AB /CD, AB 丄 BC, AB = 2CD = 2BC, EA丄 EB.(1)求证：AB丄DE;求直线EC与平面abe所成角的正弦值;4EF(3)线段EA上是否存在点 F,使EC/平面FBD?若存在，求出云；若不存在，请说明解：证明：取AB的中点O,连接E0, DO.理由.因为EB= EA,所以EO丄AB.因为四边形ABCD为直角梯形.AB= 2CD = 2BC, AB 丄 BC,所以四边形 OBCD为正方形，所以 AB丄OD.因为 EOQDO = O,所以AB丄平面EOD，所以AB丄ED.因为平面 ABE丄平面 ABCD，且EO丄AB ,所以EO丄平面ABCD，所以EO丄O

17、D.由OB, OD , OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形,311.所以 OA = OB = OD = OE,设 OB = 1 ,所以 O(O,O,O) , A( 1,0,0) , B(1,0,0) , C(1,1,0),D(0,1,0) , E(0,0,1).所以 EC = (1,1 , 1),平面ABE的一个法向量为 OD = (0,1,0).设直线EC与平面ABE所成的角为0,| EC Od |3所以 sin e=|cos EC , OD匸苟高=3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为12 .如图所示，在多面体 ABCD-AiBiCiDi中

18、，上、下两个底面 AiBiCiDi和ABCDBP ABCD 中，PA丄平面 ABCD，PA= AB = 2 ,(1)证明如图，以A为原点, 空间直角坐标系，则依题意可知AD、AB、AP所在的直线分别为 x轴、y轴、z轴建立A(0,0,0) , B(0,2,0),C(4,2,0) , D(4,0,0) , P(0,0,2)PD = (4,0， 2) , CD= (0 ,设平面PDC的一个法向量为h冷=02,0) , PA= (0,0， 2) n = (x, y,1),(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥BC= 4 , E是PD的中点.(1)求证：平面 PDC丄平面PAD;求点B到平面PCD的距离

19、.21.2y = 0 4x 2 = 01所以平面PCD的一个法向量为2，0，1.PA 丄平面 ABCD , A PAX AB ,又AB 丄 AD , PA PAD = A, aAB 丄平面 PAD.平面PAD的法向量为AB = (0,2,0).n B = 0 ,An 丄 AB.¥，0,呼平面PDC丄平面PAD.n(2)解 由(1)知平面PCD的一个单位法向量为 |n|点B到平面PCD的距离为5互相平行，且都是正方形，DDi丄底面 ABCD , AB = 2Ai Bi = 2DDi = 2a.求异面直线 ABi与DDi所成角的余弦值;已知F是AD的中点，求证：FBi丄平面BCCiBi；

20、在的条件下，求二面角 F-CCi-B的余弦值.解：以D为坐标原点，分别以 DA , DC, DDi所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则 A(2a, 0,0) , B(2a,2a,0), C(0,2a,0), Di(0,0 , a), F(a,0,0),Bi(a, a, a), Ci(0 , a, a).(1) AB； = ( a, a, a), DD； = (0,0 , a),AB； DD；.yj3C0S忌,DD；|= |忒品 | = 3Ia, a), BC = (一 2a,0,0) , FBi = (0 , a , a),证明： BB； = ( a,FBi

21、'BBi = 0 ,FBi BC = 0,FBi 丄 BBi，FBi 丄 BC.BBiQBC = B,.FBi 丄平面 BCCi Bi.由知，FB；为平面BCCiBi的一个法向量.设n = (x1, y1, z1)为平面FCC1的法向量,'CC1 = (0， a, a), FC = ( a,2a,0),n CC1 = 0, ay 1 + az 1 = 0,得n FC = 0 ,ax1 + 2ay1 = 0.'COS FB1 , n=|FB1|n|3二面角F-CCi-B为锐角,.二面角 F-CC1-B的余弦值为也313 .如图， 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A

22、1A丄底面ABCD , AB/DC, AB 丄 AD , AD = CD = 1 , AAi = AB = 2, E 为棱AA1的中点.r"Ur、/flAl(1)证明：B1C1 丄 CE;求二面角B1-CE-C1的正弦值.点 M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为屯，求线6段AM的长.解：法一：如图，以点 A为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0) , B(0,0,2) , C(1,0,1) , B1(0,2,2) , C1(1,2,1) , E(0,1,0).(1)证明：易得 = (1,0，- 1), CE = (- 1,1 , - 1)，于是C

23、e = 0,所以 B1C1 丄CE.(2) BC = (1 , - 2 , - 1).设平面B1CE的法向量 m = (x, y, z),m BIC! = 0 ,X 2y z= 0 , 即m CE = 0 ,消去X,得y + 2z = 0,不妨令z= 1，可得一个法向量为m = ( 3 , - 2,i).由（i）知，BiCi丄CE,又CCi丄BiCi，可得BiCi丄平面 CECi，故 記 =（i,0， i）为平面CECi的一个法向量.于是 cos m , !c!m BiG 4|m 1 fECi I>2从而 sin m ,Bq!V2T所以二面角Bi-CE-Ci的正弦值为 申(3) AE = (0,i,0) , ECi = (i,i,i).设 EM = XECi =(入入入)，0<X<i，有 AM = AE+ EM =(人入+ 1 ,片.可取 AB = (0,0,2)为平面 ADDiAi的一个法向量.设 e为直线AM与平面ADD