解析几何知识点总结复习

1、、直线与方程基础:ot迂0,兀)1、直线的倾斜角a :2、直线的斜率k :两点距离公式：M(xi,yi)，N(X2,y2)，y2 一 y1k =tana =-X2 X1注意：倾斜角为90。的直线的斜率不存在。3、直线方程的五种形式:点斜式:y yo =k(x -Xo)；斜截式:y = kx 中 b ；一般式:Ax + By+C =0 ；截距式:两点式:y - y1 _ y2 - y1X Xj X2 - X,注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。4、两直线平行与垂直的充要条件:IrAx+Bj y+ 0=0, I2: A2X + B2y+C2=0,A B2 = A2B111 “12H

2、kiB2 HC2B1 h 丄 |2 u AA2 +B,B2 =0 .5、相关公式:MN=J(X2 -xj2 +卜2 -yj2 ；y1 x y2；中点坐标公式：M(x,yi)， N(X2,y2)，x +则线段MN的中点P(久-2点到直线距离公式：P(xo,yo)，I ： Ax +By+ C = 0，则点P到直线l的距离d =Axo +Byo +C两平行直线间的距离公式:h : Ax + By + G = 0 , I2 ： Ax + By + C2 = 0 ,则平行直线ll与l2之间的距离dJa2 + B2到角公式：(补充)直线li : Ax + By + G =o到直线l2: A2x + B2y

3、+ C o的角为R,我(ot)U(二巧，则tan8 = k2 kl .(两倾斜角差的正切)221 + k1 水2二、直线与圆，圆与圆基础:2 2 21、圆的标准方程：(x-a) +(y-b) =r确定圆的两个要素：圆心 C(a,b)，半径r ；2、圆的一般方程：X2 +y2 +Dx +Ey + F =0， ( D2 + E2 -4F aO)；.222.3、点 P(xo, yo)与圆 C:(x a) +(yb) = r 的位置关系:点P(xo, yo)在圆内u(xo -a)2 +(yo -b)2 < r2 ；点P(xo, yo)在圆上H(Xo -a)2 +(yo -b)2 = r2点P(x

4、o, yo)在圆外二(Xo -a)2 +(yo -b)2 > r2 ；4、直线 I :Ax + By+ C =0与圆 C:(x-a)2 +(y-b)2 =r2 的位置关系: 从几何角度看: 令圆心C(a, b)到直线I : Ax + By +C = 0的距离为d，相切二d =r ;2 2 2若直线l:Ax + By+C=O与圆C:(x-a) +(y-b) = r相交于两点M , N , 则弦长 MN =2&2 -d2 ； 从代数角度看:2 2 2联立 l:Ax+By+ C=0与圆 C:(x-a) +(y-b) =r消去y(或x)得一元二次方程， = b2 -4ac ,相切二相交二

5、>0 ；相交时的弦长MN=Jk2 +1 x1 -x2 =J1* 1 yi - y2 .5、圆与圆的位置关系：相离，外切，相交，内切，内含 圆 Oi :(X -Xi)2 +(y -yi)2 = rj ；圆 O2 :(X -X2)2 +(y -y2)2 =22，根据这三个量之间的大小关系来确定:相离二O1O2 >1 + D ；O1O2=ri + r2 ；相交二ri r2 O1O21 + r2 ；O1O2=ri 一2 ；内含二0 兰 OiO2 <|r r2 ；6、两圆Oi :(X -Xi)2 +(y -yj2 = rj；圆 O? : (x -x?)2 +(y - y?)2 =若相交

6、,则相交弦所在的直线方程的求法： 交轨法：式-式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程三、椭圆:=2a> F1F2 ；焦点在x轴上的椭圆标准方程为:2+ 爲=1(a >b0)； ba:长半轴；b :短半轴；c:半焦距.椭圆中a， b， c的关系：a=b2 +C2 ；c椭圆的离心率e = -（0,1）.a3、弦长公式:直线 l:y=kx+b 与椭圆 C:笃 +y=l(mH n)交于两点 M(Xi,yi)， m n则相交时的弦长MN=Jk2 +1-x2=J1+古 <y1 -y2 .弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。4、中点弦结论（点差法）：2 2椭圆

7、C:笃+与=1(mH n)上的两点 M(X1,y1)，N(x2,y2)，m n弦MN的中点P（宀汇里2 nrin则 kMN kOP = 2m5、焦点三角形面积:2 2椭圆C:务+岭=1（a Ab >0）的两个焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C上除左、右 a b端点外的一点，令 NRPF2 =9，贝1：2 eS应F1F2 =b ta n-.该公式是由三角形面积公式、椭圆第一定义、余弦定理结合三角恒等变换推导出来。6、直线与椭圆位置关系:x2y2联立 I : Ax +By + C = 0与椭圆 C :弋 +笃=1(m H n),m n消去y（或x）得一元二次方程,A = b2-4ac，相交二

8、7、与点坐标相关的面积公式:0(0,0), A(Xi, yi)，B(X2,y2)，点0, A，B不在一条直线上,1则：s©ab =2 X1y2 X2y1.该公式是由三角形面积公式、余弦定理结合三角恒等式推导出。四、双曲线：（类比椭圆来学习双曲线）1、定义:Ph - PF2 =2a V RF2 ；2、双曲线标准方程及离心率、渐近线方程:焦点在X轴上的双曲线标准方程为:22X y一 一2 = 1(a > 0,b > 0);a ba :实半轴；b :虚半轴；c:半焦距.双曲线中a , b, c的关系：C2 =a2 +b2；双曲线的离心率e=C<（1，兄）；a焦点在X轴上的

9、双曲线的渐近线方程为y = ±bx ;a焦点到渐近线的距离d = b .焦点在y轴上的双曲线相关性质可以类比。3、弦长公式:2 2直线l : y = kx+b与双曲线c :笃-爲=1(a >0,b a0)交于两点Mg%)， a bN(x2, y2)，则相交时的弦长MN=Jk2 +1X1 -X2I =/+£ 丹1 -y2 .4、中点弦结论（点差法）：2双曲线-占=1(a A0,b a0)上的两点 M(x,y1)，N(x2,y2)， b弦MN的中点P（厶，山2）,2 2则kMNb2kO Pa5、焦点三角形面积:2 2双曲线C :务-=1（a >0,b A0）的两个焦

10、点分别为F1、F2，点P是双曲线C上除a b左、右端点外的一点，令 NRPF2 =9，贝心b2tan 26、直线与双曲线位置关系: 当直线I与双曲线C的其中一条渐近线重合时，显然直线 I与双曲线C无交点; 当直线I与双曲线C的其中一条渐近线平行时，有且仅有一个交点,0）；此时联立直线方程与双曲线方程，会得到一个一次方程（二次项系数为 当直线I与双曲线C的渐近线既不平行也不重合时,此时联立直线方程与双曲线方程，消去y （或X ）得一元二次方程，也=b2 -4ac,相离二也<0 ；相切二也=0 ； 相交二也 0 ；五、抛物线:1、定义:物线）.PF=dp丄（到定点的距离等于到定直线的距离的这

11、样的点的轨迹即为抛2、标准方程： 及其它性质可以类比。）2y = 2 px( p A 0)（开口朝右的抛物线，开口朝其它方向的抛物线方程焦点F(-,0)，准线I :x =-2离心率e =1.3、常见性质:普通的弦长公式:直线y =kx +b与抛物线2y =2px(p >0)相交于两点 M(X1,y1)，N(X2,y2)，则相交时的弦长MN=Jk2 +1 Jx, X2x=Xj中X2 + p = 2p (a为倾斜sin a过焦点F （号,0）的特殊弦长公式及XiX2与yi y2 :（i ）若弦MN过焦点F （卫,0），则弦长MN2角）；2/P（II）X,X2=42ym = P过抛物线C :

12、y2与抛物线C交于两点M , N ,Op =4OF .反之亦然，即：若OP =4 OF，贝y NMON =90。.=2px( P > 0)的顶点O(O,O)作两条互相垂直的射线 OM、ON分别 弦MN与X轴交于点P，则P(2p,0)，即：(补充，作为了解，切记不能死记硬背。如死记硬4、抛物线中过焦点弦的其它性质背，如下知识点不如不用掌握。可以尝试证明。)2设MN是过抛物线y =2p x( p>0)焦点F的弦，M(Xi,yi) ,如图(抛物线图2),则：S加N2P2sin aMFNF以MN为直径的圆与准线相切; NPFQ =90。；以MF或NF为直径的圆与y轴相切.5、直线与抛物线的

13、位置关系:若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则有一个交点;也的符号来确定交点个 若直线与抛物线的对称轴不平行，也不垂直，则根据判别式 数； 若直线与抛物线的对称轴垂直，画图数形结合很容易判断交点个数。圆锥曲线大题常见题型(归纳总结)： 题型一、求点的轨迹问题: 常见方法:直接法：(设出所求点 P(x,y)，根据题意列出等式，建立起y与x的关系。)如椭圆的标准方程的求出，本身就是利用这种方法。几何定义法：根据题意画出图形，通过已知条件及所学知识(如三角形中位线、圆 与圆内切与外切，直线与圆相切的等价条件)得出所求点P (x,y)满足圆的几何定义或椭圆、双曲线、抛物线的定义，从而求出点的轨迹方程；

14、 伴随动点转化法：该类题型的特征往往是：其中一个动点如点 Q(X0, y。)的轨迹方程是已知的，另有一个定点 A或多个定点，所求动点 P(X, y)与定点A和动点Q(X0, yo)有着一定关系。这时只需这么做：根据已知条件得出:"x0 = f(x,y) /，代入y = g(x,y)到点Q(x0, y0)的轨迹方程中，从而建立起 y与x的关系，求出点P(x, y)的轨迹方程. 交轨法：如求两圆相交时的相交弦所在的直线方程，采用的就是这种方法。相交弦的两个端点同时在两个圆上，将这两个圆的方程相减，进行整理即得到所求直 线方程.交轨法常用于解决两动曲线交点的轨迹方程问题。通过消参来求点的轨

15、迹方程。 参数方程法：求动点 P(X, y)的轨迹方程，有时直接不能看出y与x的关系，但是设其中一个中间变量为t，发现根据题目已知，能很好的建立起X与t和y与t的关系，IX = f (t)即：«，然后通过消去参数t建立起y与X的关系从而求出点P(x,y)的轨迹方J = g(t)程.题型二：直线与圆锥曲线的位置关系，相交弦长及最值问题通常的方法就是联立+韦达，结合弦长公式，将弦长表示为斜率k的函数，结合均值不等式来求最值。在运用韦达定理时，如何表示 yi中y2， yi以及xiX2 yi呢?因为交点也在直线上，故：yi =kxi +t， y2 =kx2 +t，代入表示成与 治+X2和相关.要注意：直线的斜率