机械工程测试技术基础第三版段富海第一章 信号及其描述

1、date: 1/14/2022page: 1 dalian university of technology第一章第一章 信号及其描述信号及其描述4第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述4第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱4第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱4第四节第四节 随机信号随机信号本章内容：本章内容： 信号分解信号分解傅立叶级数、傅立叶变换傅立叶级数、傅立叶变换; 信号分解后描述信号分解后描述频谱图，将信号在时域频谱图，将信号在时域中的描述转变为频率中的描述。中的描述转变为频率中的描述。 date: 1/14/2022page: 2

2、dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 通过传感器及测量电路，将被测非电量转变成通过传感器及测量电路，将被测非电量转变成电信号，如电压、电流信号，这些信号便于观察、电信号，如电压、电流信号，这些信号便于观察、记录和分析。在这些信号中包含有多种信息，如机记录和分析。在这些信号中包含有多种信息，如机床振动信号就包含幅值、频率和相位等信息。信号床振动信号就包含幅值、频率和相位等信息。信号形式是多种多样的，从不同的角度有不同的分类方形式是多种多样的，从不同的角度有不同的分类方法。在动态测试中，信号可作为时间函数来讨论。法。在动态测试

3、中，信号可作为时间函数来讨论。一、信号分类一、信号分类1.确定性信号、非确定性信号（随机信号） 按信号随时间变化的规律划分为确定性信号和非确定性信号。date: 1/14/2022page: 3 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 确定性信号确定性信号： 可以用明确的数学关系来描述，在实验上可重复产生。即给一个时间，就可确定一个相应的函数值，如压电晶体受力作用产生电荷输出，电容极间距变化产生电容变化输出。又分为周期信号周期信号和非周期信号非周期信号。 周期信号周期信号：按一定时间间隔周而复始地重复出现，无始无终的信号。

4、有明确数学关系，有周期), 3 , 2 , 1()()(0nnttxtxdate: 1/14/2022page: 4 dalian university of technology 例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述date: 1/14/2022page: 5 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 复杂的周期信号复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率是由频率比为有理数的不同频率的正弦信号迭加而成。的正弦信号迭加而成。0001

5、1( )sinsin 3sin 524( )sin 803 sin 1005 sin 120.x ttttx tttt 其频率比为其频率比为有理数有理数，所以是周期函数，周期的确定，所以是周期函数，周期的确定是根据各频率值是根据各频率值最大公约数的倒数最大公约数的倒数来确定。来确定。11( )sinsin3sin524x ttttdate: 1/14/2022page: 6 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 非周期信号非周期信号：有明确数学关系，无周期。非周期信号又有准周期信号和瞬变非周期信号。准周期信号准周期信号是由

6、两种以是由两种以上的周期信号合成的，上的周期信号合成的，但其组成分量间无法找但其组成分量间无法找到公共周期，因而无法到公共周期，因而无法按一定时间间隔周而复按一定时间间隔周而复始地重复出现。始地重复出现。date: 1/14/2022page: 7 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 )sin()(000textxt弹簧振子+阻尼 衰减到零瞬变非周期信号是一些或在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。date: 1/14/2022page: 8 dalian university of technolog

7、y第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 非确定性信号（随机信号） 不能用明确的数学关系来描述，只能用概率、数理统计的方法来描述，如干扰噪声。复合信号：确定性信号+随机信号 测试技术任务之一就是从噪声信号（随机信号）的背景下，提取我们感兴趣的信号（确定性信号）。2.2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号 若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则成为连续信号，否则是离散信号。date: 1/14/2022page: 9 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信号。 若离散

8、信号的幅值也是离散的，则称为数字信号。date: 1/14/2022page: 10 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述4思考题思考题 判断下列每个信号是否是周期的，如果是确定其最判断下列每个信号是否是周期的，如果是确定其最小周期。小周期。( )( )2 cos(3/ 4)af tt2( )( )sin(/ 6)bf tt( )( )cos(2) ( )cf ttu t00()( )sinsin2df ttt232cos212sin date: 1/14/2022page: 11 dalian university of

9、 technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 3.3.能量信号和功率信号能量信号和功率信号 不考虑量纲，把信号x(t)的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当满足：dttx)(2 认为信号的能量是有限的，称为能量有限信号，简称能量信号。如：矩形脉冲信号、衰减指数函数等。功率：2( )xt2( )xt dt能量：date: 1/14/2022page: 12 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 若信号在区间（-，）的能量是无限的dttx)(221)(1212ttdttxtt但它在有限区间（

10、t1，t2）的平均功率是有限的称这种信号为功率有限信号，或功率信号图1-1是功率有限信号，图1-2是能量有限信号。注意：信号的功率和能量，未必有真实的相应量纲date: 1/14/2022page: 13 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述4二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述 信号的时域描述反映信号幅值随时间变化的关系，不能明显揭示信号的频率组成关系。 为研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，即以频率为独立变量来表示信号。时域方波信号date

11、: 1/14/2022page: 14 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 000411( )sinsin3sin5.35ax tttt002t002 ,1,4ta 周期方波的傅立叶级数展开date: 1/14/2022page: 15 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 141( )sinnax ttn01,3,5,.nndate: 1/14/2022page: 16 dalian university of technology第一节第一节 信

12、号的分类与描述信号的分类与描述 在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的“频谱”，以频率为横坐标，分别以幅值和或相位为纵坐标，便得到信号的幅频谱或相频谱。date: 1/14/2022page: 17 dalian university of technologydate: 1/14/2022page: 18 dalian university of technology相对平移t0/4产生 n/2相角相同date: 1/14/2022page: 19 dalian university of technology第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 信号时域

13、描述直观地反映了信号瞬时值随时间的变化情况。频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角的大小。评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据，需要采用时域描述。在找振源时，需要掌握振动信号频率分量，需要采用频域描述。两种描述方法能相互转换，包含同样的信息量。date: 1/14/2022page: 20 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱一、傅立叶级数的三角函数展开式一、傅立叶级数的三角函数展开式 在有限区间上，满足狄里赫利条件的周期函数都可以展在有限区间上，满足狄里赫利条件的周期函数都可以展开成傅立叶级数，傅立

14、叶级数的三角函数展开形式如下开成傅立叶级数，傅立叶级数的三角函数展开形式如下:注意：注意：周期函数进行傅立叶级数展开，应满足狄里赫利条周期函数进行傅立叶级数展开，应满足狄里赫利条件，即只有第一类间断点，有限个极值点件，即只有第一类间断点，有限个极值点 。n 三角函数形式：三角函数形式： 0020022( )sinttnbx tntdtt正弦分量的幅值0t 周期0002t圆频率，1,2,3.n 1000)sincos()(nnntnbtnaatxdate: 1/14/2022page: 21 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与

15、离散频谱 n 三角函数形式：三角函数形式： 将式中同频率项合并，可改写成 周期信号由一个或几个、乃至无多个不同频率的谐波叠加而成。由于n是整数序列，因而谱线是离散的。通常把 称为基频把 称为n次谐波。nan00/2tdate: 1/14/2022page: 22 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 例1-1 对如图周期性三角波进行频谱分析date: 1/14/2022page: 23 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 s1:常值分量：22

16、2)(120002200000adtttaatdttxtattts2:余弦分量的幅值：00022000000222222242( )coscos41,3,5,.4sin202,4,6,.tttnaax tntdtatntdttttanannnns3:正弦分量的幅值：0sin)(2220000ttntdtntxtbdate: 1/14/2022page: 24 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 s4:周期性三角波的傅立叶级数：,.)5 , 3 , 1(cos142.5cos513cos31cos42)(0120202

17、022ntnnaatttaatxndate: 1/14/2022page: 25 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 与图1-5比较，三角波信号的频谱比方波信号的频谱衰减得快。 说明：1.三角波主要由低频成分，方波高频成分； 2.通过时域波形的变化剧烈程度大概可以判断的频谱成分。常值分量、基波和奇次谐波的频率分量date: 1/14/2022page: 26 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱二、傅立叶级数的复指数展开式二、傅立叶级数的复指

18、数展开式n 傅立叶级数的复指数函数展开式：傅立叶级数的复指数函数展开式： tjtjtjtjtjeejteettjte21sin21cossincos欧拉公式：date: 1/14/2022page: 27 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 date: 1/14/2022page: 28 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱傅里叶级数的复指数形式：傅里叶级数的复指数形式：0002021( )2tjntnntnajbcx t ed ttnrni

19、nninrncctgarcccc22其中：njnnrninccjcc edate: 1/14/2022page: 29 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱幅频谱实频谱图虚频谱图相频谱1）复指数函数形式频谱为双边谱，三角函数形式频谱为单边谱；2）两种频谱各谐波副值上有确定关系；3）双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。实频谱图总是偶对称的，虚频谱图总是奇对称的。date: 1/14/2022page: 30 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频

20、谱 2nnac 00ca10()0nnnnnnbctgandate: 1/14/2022page: 31 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱12例只有实频谱图 只有虚频谱图 与纵轴偶对称 与纵轴奇对称 date: 1/14/2022page: 32 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 周期信号频谱的特点：离散性：周期信号的频谱是离散的；谐波性：每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，间隔 n o，基波频率是诸分量频率的公约数；收敛性：各频率分量

21、的谱线高度表示该谐波的幅值或相位 角，n o，an0 由收敛性可知，信号的中高次谐波分量很小，所以其由收敛性可知，信号的中高次谐波分量很小，所以其对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范对信号波形的影响很小，有时可以忽略。在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度。信号的频高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。用测试装置时要充分注意。 信

22、号的频带指信号包含频率成份的范围。信号的频带指信号包含频率成份的范围。date: 1/14/2022page: 33 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 三、周期信号的强度表述三、周期信号的强度表述 峰值 峰-峰值 xp-p 在测试仪器的线性区域 |x(t)|xmaxp周期信号的均值 000)(1txdttxt信号的常值分量 date: 1/14/2022page: 34 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 绝对均值 000|)(|1txd

23、ttxt全波整流后的均值 有效值，均方根值 02001( )trmsxx tdtt均方值，平均功率 0020)(1tadttxtp信号平均能量 date: 1/14/2022page: 35 dalian university of technology第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱绝对均值 有效值均值 峰值 date: 1/14/2022page: 36 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 非周期信号非周期信号：有明确数学关系，无周期。非周期信号包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。)

24、sin()(000textxtdate: 1/14/2022page: 37 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 矩形脉冲信号 指数衰减信号衰减震荡信号 单一脉冲date: 1/14/2022page: 38 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 一、傅立叶变换 ntjntttjntttjnnntjnnedtetxttxdtetxtcectx00000000220220)(1)()(1)( )x t周期信号0022tt

25、，傅里叶级数o0,ndt00/2t非周期信号的频谱是连非周期信号的频谱是连续的，可将其理解为由续的，可将其理解为由无限多个、频率无限接无限多个、频率无限接近的频率成分所组成近的频率成分所组成。date: 1/14/2022page: 39 dalian university of technology 第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱dedtetxedtetxdtxtjtjtjtj)(21)(2)(dextxdtetxxtjtj)()()(21)( x()为x(t)的傅立叶变换， x(t)为x()的傅立叶逆变换傅立叶积分傅立叶变换存在的条件：1）满足狄里赫利条件；

26、2）在无限区间上绝对可积。date: 1/14/2022page: 40 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 互为傅立叶变换对 )()(xtxftiftdfefxtxdtetxfxfftjftj22)()()()(2由于fourier transform避免了傅里叶变换中 的常数因子 1/2()2()xfxj()()() efxfxf()xf一般是实变量的复函数非周期信号的频谱：|x(f)|f 连续幅值谱密度图 (f)f 连续相位谱密度图date: 1/14/2022page: 41 dalian uni

27、versity of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 例1-3 求矩形窗函数w(t)的频谱 12( )02ttw ttt窗宽为t。 若在时域中截取信号的一段，则相当于原信号与矩形窗函数之乘积。date: 1/14/2022page: 42 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 矩形窗函数w(t)的频谱： tjtjtjtjtjeejteettjte21sin21cossincos由于 ftjftjeejft21)sin()(sinsin)(ftctftftt

28、fwdate: 1/14/2022page: 43 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 定义：抽样函数 是偶函数，以2为周期，随着增加而做衰减震荡，信号分析中常用。sinsincdate: 1/14/2022page: 44 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 w(f)函数只有实部，没有虚部。幅值频谱为 其相位频谱视sinc(ft)的符号而定，当为正值时，相角为零，为负值时，相角为)(sin)(ftctfw主瓣，宽度

29、2/t 旁瓣旁瓣t越大，频带越小date: 1/14/2022page: 45 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 非周期信号频谱的特点：非周期信号的频谱是连续的，(-,+) d0；非周期信号可以分解为一系列不同频率正弦信号之和；各正弦分量的幅值趋向无穷小量。注意：非周期信号的幅值谱与周期信号的幅值谱有差异，|cn|的量纲与信号的幅值量纲一致；而|x(f)|的量纲与信号的幅值不一样，是单位频带上的幅值，是频谱密度函数 。date: 1/14/2022page: 46 dalian university o

30、f technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 二、傅立叶变换的主要性质（一）奇偶虚实性（一）奇偶虚实性 一般x(f)是实变量f的复变函数 2()( )re()()jftxfx t edtxfjimxf式中： 一个非周期信号的时域描述和频域描述依靠傅立叶变换来确定彼此一一对应的关系。date: 1/14/2022page: 47 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 如果x(t)为实函数，则x(f)一般为具有实部和虚部的复函数，且实部为偶函数，虚部为奇函数如果x(t)

31、为实偶函数，则imx(f)=0,x(f)将是实偶函数，即x(f)=rex(f)=x(-f)如果x(t)为实奇函数，则rex(f)=0,x(f)将是虚奇函数，即x(f)=-jimx(f)=-x(-f)如果x(t)为虚函数，则上述结论的虚实位置也互相交换 date: 1/14/2022page: 48 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （二）对称性（二）对称性 )()()()(fxtxfxtx则若222:( )( )()( )( )()( )jftjftjftx tx f edfttxtx f edftfx

32、 txfx t edt证明以替换将 与 互换，即得的傅立叶变换利用这个性质可以利用已知的傅立叶变换对得出相应的变换对 date: 1/14/2022page: 49 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 date: 1/14/2022page: 50 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （三）时间尺度改变特性（三）时间尺度改变特性 )0()(1)()()(kkfxkktxfxtx则若证明 当时间尺度压缩（k1）时，频谱

33、的频带加宽，幅值压低；当时间尺度扩展时（k1）时，频谱变窄，幅值增高。2( )211( )( )( )( )fjktjftkfx kt edtx kt ed ktxkkkdate: 1/14/2022page: 51 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 时间尺度压缩时间尺度扩展date: 1/14/2022page: 52 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 例如： 把记录磁带慢录快放，即时间尺度压缩，这虽然可以提高

34、信号处理的效率，但所得到的信号（放演信号）频带加宽。倘若后续处理设备（放大器、滤波器等）的通频带不够宽，就会导致失真。 反之，快录慢放，即时间尺度扩展，则放演信号的带宽边窄，对后续处理设备的通频带要求可以降低，但信号处理的效率就随之降低。date: 1/14/2022page: 53 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （四）时移和频移特性（四）时移和频移特性 00020020( )( )()( )( )()jftjf tx tx ftx ttx f efx t ex ff若时域中信号沿时间轴平移一常值

35、时则在频域中信号沿频率轴平移一常值 时则date: 1/14/2022page: 54 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 000000002()002()20022()002()()()()()()()( )jf t ttjf t tjftjftjf t tjftx ttx tt ed ttx tt eed ttex tt ed ttex f 求的傅里叶变换，将信号在时域中平移，则其幅值频谱不变，而相频谱中相角的改变量和频率成正比： 02 ft22( )( )( )( )jftjftx fx t edt

36、x tx f edf由date: 1/14/2022page: 55 dalian university of technology相对平移t0/4产生 n/2相角不变date: 1/14/2022page: 56 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （五）卷积特性（五）卷积特性 的卷积定义为： 12( )()xx td)()(21txtx记作： )()()()()()()()()()()()(212121212211fxfxtxtxfxfxtxtxfxtxfxtx则若12( )( )x tx t两个函数

37、和date: 1/14/2022page: 57 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 date: 1/14/2022page: 58 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （六）微分和积分特性（六）微分和积分特性 date: 1/14/2022page: 59 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 date: 1/14/2022pa

38、ge: 60 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 三、几种典型信号的频谱 （一）矩形窗函数的频谱（一）矩形窗函数的频谱 一个时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。若在时域中截取一段记录长度，相当于原信号和矩形窗函数之乘积，因而所得频谱是原信号频域函数和sinc函数的卷积，它将是连续的、频率无限延伸的频谱。 从频谱图(1-12)中可以看到，在f=01/t之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣。两侧其它谱峰的峰值较低，称为旁瓣。主瓣宽度为2/t，与时域窗宽度t成反比。可见时域窗宽t愈大，即截取信号时长愈大

39、，主瓣宽度愈小。 date: 1/14/2022page: 61 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 f=01/t之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣两侧其它谱峰的峰值较低，称为旁瓣 主瓣宽度为2/t，与时域窗宽度t成反比date: 1/14/2022page: 62 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （二）函数及其频谱 1.函数（单位脉冲函数）的定义 在时间内激发一个矩形脉冲s(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉

40、冲等)，其面积为1。当0时，s(t)的极限就称为函数，记作（t）。date: 1/14/2022page: 63 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （二）函数及其频谱 1.函数（单位脉冲函数）的定义从函数值极限角度看：000)(ttt从面积的角度看： 0( )lim( )1t dts t dt面积即为函数的强度 date: 1/14/2022page: 64 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 2.函数的采样性质

41、如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在t=0处为f(0)(t),其余各点（t0）之乘积均为零，即是一个强度为f(0)的函数。从函数值看，该乘积趋于无限大，从面积（强度）看为f(0)。( ) ( )( ) (0)(0)( )(0)t f t dtt fdtft dtf 对于有延时t0的函数（t-t0）,它与连续函数f(t)的乘积只在t=t0时刻不为零，而等于强度为f(t0)的函数。0000() ()() ( )( )t t f t dtt t f t dtf tdate: 1/14/2022page: 65 dalian university of technology第三节第三节

42、瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 采样性质表明，任何函数f(t)和(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的函数，而该乘积在无限区间的积分是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。 这个性质对连续信号的离散采样是十分重要的。 3.3.函数与其它函数的卷积函数与其它函数的卷积 一个矩形函数一个矩形函数x(t)x(t)与与函数函数(t)(t)的卷积为的卷积为: : )()()()()()()(txdtxdtxttx采样性质date: 1/14/2022page: 66 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信

43、号与连续频谱 同理,当函数为（tt0）时 )()()()()()()(0000ttxdttxdttxtttx 可见，函数x(t)与函数卷积的结果就是在发生函数的坐标位置上（以此作为坐标原点）简单地将x(t)重新构图。 任何函数和函数(t) 卷积是一种最简单的卷积积分。 采样性质date: 1/14/2022page: 67 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 date: 1/14/2022page: 68 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱

44、瞬变非周期信号与连续频谱 4.(t)4.(t)的频谱的频谱 202( )( )1( )1jftjftft edtetedf傅立叶变换逆变换对称性 在时域的函数具有无限宽广的频谱，在所有的频段上都是等强度的（均匀谱）。date: 1/14/2022page: 69 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 02jf te复指数函数时域频域（t）单位瞬时脉冲1均匀频谱密度函数1幅值为1的直流分量（f）在f=0处有脉冲谱线（t-t0）函数的时移t0 各频率成分分别相移2ft0角（f-f0）（f）频移到f002 ftj

45、e根据傅立叶变换的对称性和时移/频移特性，可得到下列变换对:date: 1/14/2022page: 70 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （三）正、余弦函数的（三）正、余弦函数的频谱密度函数频谱密度函数 )(212cos)(212sin0000220220tfjtfjtfjtfjeetfeejtf 可认为正、余弦函数是把频域中的两个函数向不同方向频移后之差或和的傅立叶逆变换 0000001sin2()()21cos2 ()()2f tjfffff tffffdate: 1/14/2022page:

46、71 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 （四）等间隔周期单位脉冲序列的频谱（四）等间隔周期单位脉冲序列的频谱 22222222( ,)()0, 1, 2,.( ,)11/,( ,)1( )11( ,)ssssssssdefsssnjnf tsktjkf ttssksstjkf ttssjnf tsscomb t ttnttncomb t tc eftccomb t t edttt edtttcomb t tet为周期，其中：所以：傅里叶级数的复指傅里叶级数的复指数函数形式数函数形式date: 1/14/

47、2022page: 72 dalian university of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 )(2stkfjkffes11( ,)()()sskkssskcomb f ffkffttt 时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若时域周期为序列。若时域周期为t ts s，则频域脉冲序列的周期为，则频域脉冲序列的周期为1/t1/ts s，时域脉冲强度为，时域脉冲强度为1 1，频域中强度为，频域中强度为1/t1/ts sdate: 1/14/2022page: 73 dalian universit

48、y of technology第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 date: 1/14/2022page: 74 dalian university of technology第四节第四节 随机信号随机信号 一、概述 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。 对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi(t)。 样本函数在有限时间上的部分，称为样本记录。 在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作x(t) 即x(t)=

49、x1(t), x2(t), xi(t),date: 1/14/2022page: 75 dalian university of technology第四节第四节 随机信号随机信号 date: 1/14/2022page: 76 dalian university of technology第四节第四节 随机信号随机信号 随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值和均方根值等）是按集合平均来计算的。 集合平均不是沿某个样本的时间轴进行的，而是将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值取平均。 时间平均按单个样本的时间历程进行平均计算。平稳随机过程平稳随机过程/ /非平稳随机过程非平稳随机过程 平

50、稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。date: 1/14/2022page: 77 dalian university of technology第四节第四节 随机信号随机信号 各态历经各态历经 在平稳随机过程中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，叫各态历经（遍历性）随机过程。 实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，实际的测试工作常把随机信号按各态历经过程来处理，进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象进而以有限长度样本记录的观察分析来推断、估计被测对象的整个随机过程。这样任一个样本都可把整体的各种可

51、能出的整个随机过程。这样任一个样本都可把整体的各种可能出现的情况显示出来。现的情况显示出来。 对各态历经的随机过程，我们可以在对各态历经的随机过程，我们可以在任一时刻取任意一任一时刻取任意一个样本个样本进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般进行分析，这就使得信号的分析处理简化了。在一般工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有工程上遇到的随机信号很多具有或近似具有各态历经性质各态历经性质。如：通信系统中的信号和噪声，硬脆材料动态磨削力信号。如：通信系统中的信号和噪声，硬脆材料动态磨削力信号。date: 1/14/2022page: 78 dalian university of techn

52、ology第四节第四节 随机信号随机信号 二、随机信号的主要特征参数对于各态历经信号： 观测时间样本函数，ttxdttxtttx)()(10lim 均值表示信号的常值分量 txtxdttxt022)(1lim方差描述随机信号的波动分量 方差的平方根叫标准偏差x ttxdttxt022)(1lim均方值描述随机信号的强度 均方值的正平方根成为均方根值xrms （一）均值、方差和均方值（一）均值、方差和均方值 date: 1/14/2022page: 79 dalian university of technology第四节第四节 随机信号随机信号 均值、方差、均方值的相互关系是 222xxx 对于集合平均，则t1时刻的均值和均方值 11,112,1111lim( )1lim( )mx timimx timix tmx tmmit样本记录总数， 样本记录序号， 观察时刻当均值 时， 22xxdate: 1/14/202