一元一次不等式组的知识点和经典习题讲解

1、一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。如：， 。要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域

2、都覆盖的部分。(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：不等式fft髀集口诀3X*aH工Ab同大眼大JL rCAn ab同小取小Jy1 ab人小、小人中间我JI-11-u方小小.大大找本翎知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做 解不等式组。解一元一次不等式组的一般步骤为:（1） 分别解不等式组中的每一个不等式；（2） 将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；（3） 根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集（ 若没有公共部分，说明这个不等式组无解）.要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画

3、，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义

4、对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍， 这是初学者易错的地方。注意积累利用一元一次不等式或不等式组解决实际问题的经验。经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。思路点拨：先求出不等式的解集，然后在数轴上表示不等式的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。解析：解不等式，得x>-;解不等式，得 XVI。所以不等式组的解集为一W XV 1在数轴上表示不等式的解集如图。总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。举一反三：【变式 1 】解不等式组：原不等式组的解集为：【变式2】解不等

5、式组：求公共解集得：.【变式3】解不等式组：.不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：1VW 5解法 1 ：原不等式可化为下面的不等式组即原不等式的解集为一1v X w 8解法 2 ： 1 v w 5,3v2x1W15, -2<2x< 16, 1 v xw 8。所以原不等式白解集为1vxW85】求不等式组的整数解。所以不等式组的解集为Wx<4o所以它的整数解为3,4。类型二：含参数的一元一次不等式组2、若不等式组无解，求a 的取值围.解析：思路点拨：由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果 x 比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x

6、 不存在 .依题意：2a-5 > 3a-2 ,解得a < -3总结升华：特别地，当2a-5 与 3a-2 相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.举一反三：【变式1 】若不等式组无解，则的取值围是什么？解析：要使不等式组无解，故必须，从而得.【变式2】若关于的不等式组的解集为，则的取值围是什么？解析：由 +1 可解出，而由可解出，而不等式组的解集为，故，即 .总结升华：上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值围，故要求较高. 解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组解集

7、的确定，这就要求熟悉 “同小取小”的解集确定方法， 当然也可借助数轴求解。【变式3】不等式组的解集为xv 2,试求k的取值围.解析：，由得xv 2,由得xv k,不等式组的解集为xv 2,2 wk.即k>2.【变式4】已知关于的不等式组的整数解共有5 个，求的取值围。解析：.不等式组的解为：不等式组的解为：由于原不等式组有解，解集为在此解集包含5 个整数，则这5 个整数依次是m必须满足【变式5】若不等式组的解集为一ivxvl,则(a + b) 2008=解析：由知x>a+2,由知xv,- a + 2 = 1, =1, a= - 3, b = 2, . a+b=1, (a+ b) 2

8、008 =( 1 ) 2008= 1。类型三：建立不等式或不等式组解决实际问题3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9 个组，若每组比预定的人数多1 人，则学生总数超过200 人； 若每组比预定的人数少1 人， 则学生总数不到190 人， 求预定每组学生的人数。思路点拨： 运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不等关系是：9个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过 200人；9个小组中每组比预定的人数少1 人，学生总数不到190 人。解析：设预定每组学生有 x人，根据题意，得解这个不等式组，得，所以不等式组的解集是，其中符合题意的整数解只有一个x = 22o

9、答：预定每组学生的人数为 22人。总结升华： 列不等式(组 )解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。举一反三：【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用 A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50 千克，下表是试验的相关数据：饮料每千克含量甲乙A (单位：千克)0. 50. 2B (单位：千克)0. 30. 4(1)假设甲种饮料需配制 x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。(2)设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种

10、饮料的成本总额为y元，请用含有x的式子来表示y。并根据(1)的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时， 甲、乙两种饮料的成本总额最小？解析：(1) 0.5x+0.2(50 -x)< 19 0.3x+0.4(50-x)< 17.2 由得x<30,由得x>28 .-28<x<30(2) y=4x+3(50-x),即 y=x+150 因为x越小，则y越小， 所以当x=28时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。【变式2】某园林的门票每 10元，一次使用。考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人

11、年票从购买日起，可供持票人使用一年)。年票分 A B、C三类：A类年票每120元，持 票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每40元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次 3元。(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。(2)求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。思路点拨：“合算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次数最多，显然 是通过计算进行代数式比较和建立不等式(组)关系。解：(1)不可能选A类年票，

12、若选B类年票，则为10次；若选C类年票，则为13次； 若不购买年票，则为 8次 所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择贝买C类年票的方法进入园林 的次数最多，为13次。(2)设至少超过x次时，购买A类年票才比较合算，则 60+2x > 120 解得 x >3040+3x>120 解得 x >26 10x>120 解得 x > 12 x>30所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票才比较合算。【变式3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间? 解析：

13、设宿舍共有x间。解得：5 <x< 7x为整数. . x = 6学生人数 4X 6+20= 44（人）答：学生44人，宿舍6间。【变式4】某学校计划组织 385名师生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆 320元，60座客车的租金为每辆 460元，（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。解析：（1） 385+42=9.2 单独租用42座客车需10辆，租金为320X10=3200（%） 385+60=6.4 单独租用 60座客车需 7辆，租金为 460X 7= 3220（元） （2）设租用42座客车x辆，则60座客车需（8x）辆解得：因x取整数x= 4, 5当 x = 4 时，租金为 320X4+460X （8