二次根式复习讲义

1、知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时， 才有意义.【典型例题】例1下列各式1）,其中是二次根式的是 （填序号）.举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、ja B、0 C、Ja 1DD - a2 12、在、中是二次根式的个数有 个【例2】若式子有意义，则 x的取值范围是 .举一反三：1、使代数式有意义的 x的取值范围是（）A、x>3B x>3C x>4D、x>3 且 x42、使代数式x2 2x 1有意义的x的取值范围是3、如果代数式 mmJ有意义,mn那么，直角坐标系中点 P（mi n

2、）的位置在（）A、第一象限B、第二象限 C第三象限 D第四象限【例3 若y=+2009,则x+y=解题思路：式子（a>0）, y=2009,则 x+y=2014举一反三:1、若，则 xy的值为（）A. - 1 B . 1 C.2 D . 32、若x、y都是实数，且y=石x3 &2x 4 ,求xy的值3、当a取什么值时，代数式 42a 1 1取值最小，并求出这个最小值。1已知a是J5整数部分，b是 J5的小数部分，求 a 一的值。b 2若 於的整数部分是a,小数部分是b,则 并a b若"的整数部分为x,小数部分为2 x y,求1 y的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点

3、】1 .非负性：Va(a 0)是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2 . (da)2 a(a 0). 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以 把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a (Va)2(a 0)3 . Va2 |a| a(a 0) 注意：(1)字母不一定是正数.a(a 0)(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是 负的，应把负号留在根号外.4 .公式 g |a| a(a 0)与函)2 a(a 0)的区别与联系 a(a 0)(1) da了表示求一个数的平方的

4、算术根，a的范围是一切实数.(2) «'a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数.(3) 寻和(Va)2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若则举一反三：1、若 vm 3 （n 1）2。，则 m n 的值为。2、已知x,y为实数，且43 y 2 20,则x y的值为（）A 3B. - 3C. 1D. - 13、已知直角三角形两边 x、y的长满足| x2-4 | +，y2 5y 6=0,则第三边长为4、若a b 1与Ja 2b 4互为相反数,则2005a b【例5】化简：的结果为（公式（声）2 a（a 0）的运用）A、42a B 、0C 、2a4 D 、4举一

5、反三:1在实数范围内分解因式2x 3=42；m 4m 4 二x4 9 , x2 2 亚x 2 3已知直角三角形的两直角边分别为拒和石，则斜边长为 WIE（公式好b a（a（a0）0）的应用）【例6】已知x 2,则化简Jx2 4x 4的结果是A x 2 B、x2 C x 2 D 2 x 举一反三：1、根式,（ 3）2的值是（）A. -3 B . 3 或-3 C . 3 D . 92、已知a<0,那么1 2a可化简为（）A.a B . a C .3a D . 3a3、若 2pap3,则 J2 a 2 Ja 3 2 等于（）A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 14、若a

6、-3<0,则化简Va2 6a 94a的结果是()(A) -1(B) 1(C) 2a-7(D) 72a 25、化简 J4x4x 1J2x 3 得()(A)2(B) 4x 4(C) 2(D) 4x 426、当avl且aw 0时，化简 a aJ4 (a -)2 J4 (a -)27、已知a 0,化简求值：a a v aa- b +的结【例7】如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简果等于()A . 2b B .2b C . 2a D . 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a_1 0 1 2a 1 J(a 2)2 .【例8】化简1 x Jx2 8x 16的结果

7、是2x-5 ,则x的取值范围是( )(A) x 为任意实数(B) 1<x<4(C) x>1(D) x< 1举一反三：若代数式7(2 a)2 J(a 4)2的值是常数2 ,则a的取值范围是()A. a> 4 b. a< 2 c. 2< a< 4 d. a 2或 a 4【例9】如果a Va2 2a 1 1 ,那么a的取值范围是()A. a=0 B. a=1 C. a=0 或 a=1 D. a < 1举一反三：1、如果a Ja2 6a 9 3成立，那么实数 a的取值范围是()A .a 0 B .a 3; C .a 3; D .a 32、若J(x

8、3)2 x 3 0,则x的取值范围是()(A) x 3(B) x 3(C) x 3(D) x 3【例10】化简二次根式a Ja屋的结果是(A)a 2 (B)a 2 (C), a 2 (D). a 21、把二次根式a. J 化简，正确的结果是（）aA. , aB. , aC. , aD. , a2、把根号外的因式移到根号内：当 b >0时，b JX =； （a 1/，x1. 1 aO知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式:（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）几个二次根式化成最简二次

9、根式后，如果被开方数相同,根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】这几个二次根式就叫做同类二次【例11】在根式1）,最简二次根式是（）A . 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3)D . 1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三:.45a, .30, 2 1 , .40b2-54,. 17(a22b2)中的最简次根式2、o卜列根式中，不是 最简二次根式的是（B.C.D.3、卜列根式不是最简二次根式的是（）A. a2 1B. 2x 12L C.4D. . 0.1y4、卜列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为什么3a2b3ab(2)' 2(4)a b(ab)(6)

10、8xy5、把下列各式化为最简二次根式:x2 y.12（2），45a2b X【例12】下列根式中能与 J3是合并的是（）A. 8 B. . 27. 5 D. 12 2举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、同 188 B 、 73和 J1 C 、 VOb和Tab2 D 、 7T7和 VT72、在二次根式： M ; V23 ;2-；J27中，能与v'3合并的二次根式:3是 O3、如果最简二次根式J3a 8与J17 2a能够合并为一个二次根式,则a=.知识点四：二次根式计算一一分母有理化【知识要点】1 .分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2 .有理化因式：两

11、个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用荷ja a来确定，如：ja与ja ja_b1与jab, ja b与 Ja b等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a Jb与a Vb , Va Jb与 & Jb ,a、x b、, y与a x b、. y分别互为有理化因式。3 .分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式， 使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化【例14】把下列各式

12、分母有理化(1) _2 .8x3y(2) L= a b(3) x8b55 a2b2【例15】把下列各式分母有理化:(1).2 1举一反三：1、已知 x 2_|, y2 .32-1,求下列各式的值:2 ,3(1)33 3；2 213y (2) x2 3xy y2 y2、把下列各式分母有理化:(1)a b、a ；b a 2 “a 2an. .a-2(3)a2 b2小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类:与； 与;与；与.知识点五：二次根式计算一一二次根式的乘除【知识要点】1 .积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。Vab = Va - Vb (a> 0, b

13、>0)2 .二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。4a 而=b . (a>0, b>0)3 .商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=(a>0, b>0)4 .二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=(a>0, b>0)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.【典型例题】【例16】化简(1)、9 16 (2)J681，.5 2.15,9x2

14、y2 ( x 0, y 0)【例17】计算(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8)【例18】化简:(1)(2)(a Qb 0)(x 0, y 0) (4)(x 0,y 0)【例19】计算：(1) (2) (3)(4)x 、x【例20】能使等式、x 2 Jx2成立的的x的取值范围是(A、x 2 B、x0 C、0x2 D、无解知识点六：二次根式计算一一二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数 相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时

15、，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.【典型例题】【例 20 】计算(1 )V32 '而 2V0?5 3j ；( 2 )2.2710口 2J205J4 37245 ；, 5 34 > 5 7,321 .63 1 x27 233 ,28 3 .482 1477【例21(1)4xy422x y3 x y4y(2).a.b(3) 1 327a33aa J108a4(4) a4b(5) ,81a3 5a . a知识点七：二次根式计算一一二次根式的混合计算与求值 【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简

16、便运算中也许可以约分，不要盲目有理化;2、看（2五+48 -3748 )【典型习题】. 2 .5,33. . .1、 vab ( a b) 3 b23、产(-4打气内 4.J2、(72) . 3 7 . 62 .3、(3 2,5)2 (4 ,5)(4 .5)5、(2V3 3j2 <6)(273 3显展)6110 f117、(2<6 5) (2V6 5)8、1mV9m (10mm 2m21)(m 0)【例21】1.已知：，求的值.2 .已知，求的值。3 .已知：，求的值.4 .求的4.5 .已知、是实数，且，求的值.知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当a 0,b 0时，如果a b ,则ja 邪;如果a b,2、平方法当a 0,b 0