大一高数复习资料

1、高等数学第一章函数与极限 第一节函数 函数基础（高中函数部分相关知识）（）邻域（去心邻域）（） 第二节数列的极限数列极限的证明（）K题型 1已知数列Xn ,证明 lim xn aXK证明2 N语言1 .由xn a 化简得n g ,二 N g2 .即对0, N g ，当n N时，始终有不等式xn a 成立， lim xn a X第三节函数的极限 x%时函数极限的证明（）K题型 已知函数fx,证明 lim f x Ax xoK证明2 语言1 .由f x A化简得0 x xo g , g2 .即对 0 , g ，当 0 x xo时，始终有不等式f x A 成立，lim f x A x xo x时函数

2、极限的证明（）K题型 已知函数fx,证明 lim f x A xK证明U X语言1 .由f x A 化简得x g , . X g2 .即对0, X g ，当x| X时,始终有不等式f x A 成立， lim f x A x第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）函数f x无穷小 lim f x 0函数f x无穷大 lim f x无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若f x为无穷大，则f 1 x为 无穷小；反之，若f x为无穷小，且 f x 0 ,则f 1 x为无穷大K题型 2计算：

3、lim f x g x （或 x x0x ）1. f x < M函数 f x 在 x x0 的任一去心邻域U知 内是有界的；（< f x < M , .函数 f x 在x D 上有界；）2. lim g x 0即函数g x是x x0时的 x x0无穷小；（lim g x 0即函数g x是x 时的 x无穷小；）3. 由定理可知lim f x g x 0 x x0（lim f x g x 0）x第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、q x商式的极限运算设：pxr a°xb°xnnm 1a1xn 1Dxna

4、m bnmqx则有limpxa0nmxqxbO0nmf x（特别地，当lim 0 （不定型） x x0 g x 0时，通常分子分母约去公因式即约去可 去间断点便可求解出极限值，也可以用 罗比达法则求解）2求值limx 3解：因为所从而可得其中x3为函数f xx 3x2 9的可去问1 x第二个重要极限：lim 1 e x x(一 般 地，g xlim g xlim f x lim f x ，其中lim f x 0 )x 12求值：lim竺fx 2x 1K求解示例第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较）等价无穷小（）1.U sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U） e 1断点

5、倘若运用罗比达法则求解 二节）：（详见第三章第解：limx 300 x 3 lim9L x 32x 911lim x 32x 6连续函数穿越定理 求解）（）（定理五）若函数f续 函 数（复合函数的极限x是定义域上的连那 么 ，limx x0lim xx xo求值:lim : 3x 3 x 9求x 3 x2 9x 3x2 9示例1立 66第六节极限存在准则及两个重要极限夹迫准则（P53） （）第一个重要极限:sin x (lim 1x 0 xx 0,一2.sin xlim 1x 0 xsin x x tanx(特别地，limsn3 x x0 x x01)单调有界收敛准则（P57） （）1 22,

6、 -U2 1 cosU 2（乘除可替，加减不行）K题型 求值：lm也 x 0K求解示例第八节函数的连续性函数连续的定义（）x xln 1 x2 Zx 3x间断点的分类（P67） （）第一类间断点（左右极第二类间断点限存在）跳越间断点（不等）可去间断点（相等）无穷间断点（极限为（特别地，可去问断点能在分式中约去 相应公因式）2xK题型R设函数f x e , x 0应a x x 0该怎样选择数a ,使得f x成为在R上的 连续函数K求解示例f 0e20 e1 e1 , , f 0 a 0 af 0 a2 . 由连续函数定义lim f x lim f x f 0 ex 0x 0a e第九节 闭区间上

7、连续函数的性质零点定理（）K题型 证明：方程f x g x C至 少有一个根介于a与b之间K证明 21.（建立辅助函数）函数x f x g x C在闭区间 a,b上连续；2. = a b 0 （端点异号）1 .线性组合（定理一）：（u v） u v特别地，当1时，有（u v） u v2 .函数积的求导法则（定理二）：（uv） u v uv3 .函数商的求导法则（定理三）：3. .由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使得 0 ,即 f g C 0 （01）4. 这等式说明方程f x g x C在开 区间a,b内至少有一个根u u v uv第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）K

8、题型2求函数f 1 x的导数第二章导数与微分第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义(P83) ()2已知函数f xex 1ax bx 0在x 0处可导，求a ,x 0K求解示例2LC0)1 .f0e1f0abe01 e0 1be0 1 2K求解示例1由题可得f x为直接函数，其 在定于域D上单调、可导，且f x 0；,f 11 f x f x复合函数的求导法则（）K题型 1设 y ln earcsinm JTa2 ,求yK求解示例第四节高阶导数 f n x f n 1 x（ 或2 . 由函数可f 0 f 0 a 1导定义f 0 f 0 f 0 b 2 a 1,b 2K题型 求y f x在

9、xa处的切线与nn 1dld- ) ()dxndx n 1K题型 2求函数y ln 1 x的n阶导数K求解示例R y 1x1,1 x12y 1 x11 x ,法线方程（或：过y f x图像上点a, f a处的切线与法线方程）K求解示例21 . y f x , y lx a f a2 .切线方程：y f a fax 法线方程：y f a ，x f a第二节函数的和（差）、积与商的求导 法则函数和（差）、积与商的求导法则（第五节 隐函数及参数方程型函数的导 数隐函数的求导（等式两边对 x求导） （）K题型 2试求：方程y x ey所给定的 曲线C ： y y x在点1 e,1的切线方程 与法线方程

10、K求解示例1由y x ey两边对x求导即y x ey化简得y 1 ey y11 e1切线方程:法线方程:1 e1y 1 x 1 e1 ey 11 e x 1 e参数方程型函数的求导 xt2K题型1设参数方程t ,求dgytdxdy2K求解示例/1.曳2. d-y -x- dx t dx t法章第一一第第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分基本初等函数微分公式与微分运算（）中值定理与导数的应用节中值定理引理（费马引理）（）罗尔定理（）K题型 2现假设函数f x在0,上连续，在0, 上可导，试证明：0,使得f cos f sin 0成立K证明 21 .（建立辅助函数）令 x

11、f x sinx显然函数x在闭区间 0, 上连续，在开区间0,上可导；2 .又:0 f 0 sin0 0即 003 . .由罗尔定理知0,，使得f cos f sin0 成立拉格朗日中值定理（）K题型 2证明不等式：当 x 1时，ex e xK证明 21 .（建立辅助函数）令函数f x ex,则 对x 1 ,显然函数f x在闭区间1,x上连续，在开区间 1,x上可导,并且f xex ；2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex e1 x 1 e成立，又e e1,x 1,1e e x 1 e ex e,化简得ex ex,即证得：当x 1时，xe e xK题型 2证明不等式：当 x 0时，l

12、n 1 x xK证明 21 .（建立辅助函数）令函数f x ln 1 x ,则对x 0 ,函数f x在闭区间0,x上连续，在开区间0,上可导，并且f x2 .由拉格朗日中值定理可得，0,xIn 1 x In 1化简得ln1 x11x1成立,In 1 x 1 x x,即证得：当x 1时，ex e x第二节罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基 本步骤（）1 . 等价无穷小的替换（以简化运算）2 .判断极限不定型的所属类型及是否 满足运用罗比达法则的三个前提条 件A .属于两大基本不定型（-） 0且满足条 件， 则进行运算：f x f x lim limx a g x x a g x（再进行1

13、、2步骤，反复直到结果得出）B . 不属于两大基本不定型（转化 为基本不定型）（1）0 型（转乘为除，构造分式）K题型 2求值：lim x ln x x 0K求解示例2（一般地，lim x ln x 0,其中, R） x 0（通分构造分式，观察分母）求值:lxm000limL x 0x sin xlim 1x 0sin x0cosx 0 lim1 cosx2x L2x00型（对数求极限法）H 求值:lim xx x 0解：设y xx,两边取对数得：ln yln xxxln xln x斤x对对数取x0时的极限：lim ln yx 0lim rx 01x1型!inix0，从而有呵5 yln yli

14、m ex 0lim ln yex 0（对数求极限法）12 求值：lim cosx sin x x x 0K求解示例20型（对数求极限法）tanx1K题型 2求值：lim - x 0 xK求解示例2运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替 换）取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式 形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数 提前）第三节泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 连续函数单调性（单调区间）（）K题型1试确定函数f x 2x3 9x2 12x 3 的 单调区间1 .;函数f可导f x2 .令 f x sinx -2 x1 01,

15、x223 .（三行表）x在其定义域R上连续，且26x2 18x 126x1x20 ,解得：极大值极小值limx 0K求解示例4 . 函数f x的单调递增区间为,1 , 2,;单调递减区间为1,2K题型证明：当x 0时，ex x 1K证明21 .（构建辅助函数）设 x ex x 1 , e0（1x 0）2 .x ex 1 0, （ x 0）.x 003 .既证：当x 0时，ex x 1K题型 R证明：当x 0时，ln 1 x xK证明 21 .（构建辅助函数）设 x ln 1 x x ,（x 0）-1, i2 .x 1 0 , （ x 0）1 x. x 003,既证：当x 0时，ln 1 x x

16、连续函数凹凸性（）K题型1试讨论函数y 1 3x2 x3的单调性、极值、凹凸性及拐点K证明2- 2y 3x 6x 3x x 21 .y 6x 66 x 1y 3x x 202 .令解得：y 6x10ox U xm,都适合不等式/x1 0,x2 2x 13 .（四行表）4 .函数y 1 3x2 x3单调递增区间为(0,1) , (1,2)单调递增区间为(,0) , (2,)；f x f xm ,我们则称函数f x在点xm, f xm处有极小值f xm ;令 xmxm1, xm2, xm3，,xmn则函数f x在闭区间 a,b上的最 小值m满足：min f a ,xm1，xm2，xm3,，An，f

17、 b函数y 1 3x2 x3的极小值在 x 0时取到，为f 01,极大值在x 2时取到，为f 25;函数y 1 3x2 x3在区间 (,0) , (0,1)上凹，在区间 (1,2), (2,)上凸；函数y 1 3x2 x3的拐点坐标为1,3第五节函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系() 设函数f x的定义域为 D ,如果xm的某个邻域U xMD ,使得对oxUxM，都适合不等式我们则称函数f x在点xM,f xM 处有极大值f xM ;令 xMxM 1, xM 2 , xM 3,xMn则函数f x在闭区间 a,b上的最 大值M满足：M max f a ,xm1，xm2,xm3,，x

18、Mn, fK题型 2求函数f x 3x x3在1,3 上的最值K求解示例1 . 函数f x在其定义域1,3上连续,且可导2f x3x2 32 .令 f x3x1x10,极小值极大值解得：x11,x2 13.(三行表)4,又; f 12, f 12, f 318x max第六节 第七节 第八节f 12, f xmin函数图形的描绘曲率(不作要求)f 318(不作要求)方程的近似解(不作要求)第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念()原函数的概念：假设在定义区间 的导函数为F时，有dF xf x dx成立, 的一个原函数上，可导函数 ,即当自变量x f x 或则称F x为设

19、函数f x的定义域为 D ,如果 xm的某个邻域U xmD ,使得对原函数存在定理：()如果函数f x在定义区间I上连于是t arcsin -,则原式可化为acost ; ab. V?a2 :令 x asect （0 t 一），2a于是t arccos ,则原式可化为 atant ； x一一 ，1，一、K题型 2求 一一:dx （一次根式） ,2x 1K求解示例1 1斛：dx1真- tdt dt t C . 2x 12x 1 x2t 2 tdx tdtK题型 2求Ja* 2 x2dx （三角换元）K求解示例第三节分部积分法分部积分法（）设函数u f x , v g x具有连续续，则在I上必存在

20、可导函数 F x使 得F x f x ,也就是说：连续函数 一定存在原函数（可导必连续） 不定积分的概念（）在定义区间I上，函数f x的带 有任意常数项C的原函数称为f x在 定义区间I上的不定积分，即表示为：f x dx F x C（ 称为积分号，f x称为被积函数，f x dx称为积分表达式，x则称为积 分变量）基本积分表（）不定积分的线性性质（分项积分公式）（）第二节换元积分法第一类换元法（凑微分）（）（dy f x dx的逆向应用）导数，则其分部积分公式可表示为:udv uv vduK求解示例21斛：-2dxa x吊、分部积分法函数排序次序：“反、对、 三、指”1-2dxxa1,2x二

21、 dx11arct aan运用分部积分法计算不定积分的基 条步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（v dx dv）使用分部积分公式：udv uv vdu第二类换元法（去根式）（） （dy f x dx的正向应用）对于一次根式（a 0,b R）：Tax b :令 t 7ax b ,于是 t2x 于是t arctan -,则原式可化为asect ;a对于根号下平方差的形式（a 0）:a. Oa / :令 x asint （ 一 t 一），22 b展开尾项 vdu v u dx ,判断a .若v udx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表 示使用基本积分表、换元法与

22、有 理函数积分可以轻易求解出结 果）；b .若v udx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分， 则重复、，直至出现容易求 解的不定积分；若重复过程中出 现循环，则联立方程求解，但是 最后要注意添上常数CK题型求ex x2dxK求解示例K题型 求 ex sin xdxK求解示例2. x1 x .八 e sin xdx e sin x cosx C2第四节 有理函数的不定积分有理函数()设：mm 1P xp xa0xa1x amQ xq xb0xn bxn 1 bn P x ,对于有理函数，当P x的次数小 Q x Px 一，于Q x的次数时，有理函数匚是真Q x分式；当P x的次数大于

23、Q x的次数 P x 一 .时，有理函数是假分式Q x有理函数（真分式）不定积分的求解 思路（） P x . 一 .将有理函数 的分母Q x分拆Q x成两个没有公因式的多项式的乘积： 其中一个多项式可以表示为一次因式x a ；而另一个多项式可以表 示为二次质因式x2(p2 4q 0 );ipx q ，即：Q x Q1 x Q2 x2K题型2求上dx （构造法）x 1K求解示例第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）（f x称为被积函数，f x dx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为 积分下限，b称为积分上限，a,b称为 积分区问）定积分的性质（） bb f x dx f u du aaa f x dx 0abb kf x dx k f x dx aa（线性性质）（积分区间的可加性）若函数f x在积分区间 a,b上满b足 fx 0,贝4 f x dx 0；a（推论一）若函数f x、函数g x在积分区间a,b 上满足 f x g x , 则 bbf