求轨迹方程的常用方法

1、求轨迹方程的常用方法1.物线）方程。2.求轨迹方程的一般方法：定义法：如果动点 P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛 的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹直译法：如果动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P所满足的几何上的等量关系，再用点P的P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点坐标（X, y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.量t ,y= g4.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 以此量作为参变数，分别建立P点坐标X, y与该参数t（t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F

2、 （X, y）= 0。代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点，则可以设出P运动的某个几何的函数关系x= f （t）,P'的运动引发的，而该点的P （X, y），用（x, y）表示P的轨迹方程。运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程）出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点5:交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常 通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例1:已知

3、ABC的顶点A, B的坐标分别为（-4 , 0）, （4, 0）, C为动点，且满足5sin B sin A sin C,求点 C 的轨迹。4【变式】：已知圆（蛊+ 4尸+护=2了的圆心为M,圆只一4严+尸=1的圆心为 M, 动圆与 这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段两个端点 A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a AM=b 求AB中点M的轨迹方程【变式】：动点P( x,y )到两定点A(- 3, 0 )和B( 3, 0)的距离的比等于 2(即LfA! 2 ),|PB|求动点P的轨迹方程三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在

4、于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P (2, 4 )作两条互相垂直的直线 l 1, I2，若l 1 求线段AB的中点M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例4.点B是椭圆2ay2b21上的动点，A2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【变式】如图所示，已知AP&90。，求矩形 APBQ勺顶点Q的轨迹方程、P(4 , 0)是圆x2+y2=36内的一点，A B是圆上两动点，且满足/y1'11B” QV.R:A"I.-'.1, 01'1 P1= ='*x五、用交轨法求轨迹方程X2v2例5.已

5、知椭圆 冷 1 (a>b>o)的两个顶点为 A( a,0) , A2(a,0),与y轴平行的直a b线交椭圆于 P、P2，求AiPi与A2P2交点M的轨迹方程.六、用点差法求轨迹方程2例6.已知椭圆y21 121 1求过点P 1，丄 且被P平分的弦所在直线的方程;2 2求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;过A 2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;练习1.在 ABC中，B, C坐标分别为(-3 , 0), (3, 0),且三角形周长为16，则点A的轨迹方 程是.2.两条直线x my 10与mx y 10的交点的轨迹方程是3.已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点0作

6、圆的弦0A,则弦的中点 M的轨迹方程是2 24.当参数m随意变化时，则抛物线y X 2m 1 x m 1的顶点的轨迹方程为5:点M到点F( 4, 0)的距离比它到直线x 50的距离小1，则点M的轨迹方程为6：求与两定点0 01, 0、A 3, 0距离的比为1: 2的点的轨迹方程为7.抛物线y4x的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于A B两点，动点C在抛物线上,求 ABC重心P的轨迹方程。8.已知动点P到定点F ( 1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。9.过原点作直线I和抛物线 程。x2 4x 6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方答案（-4 , 0） , （

7、 4 , 0） , C为动点，且满足高二（上）求轨迹方程的常用方法 例1 ：已知 ABC的顶点 A, B的坐标分别为5sin B sin A sin C,求点 C 的轨迹。410,即 I AC I |BC| 10，满足椭5.【解析1由si nB si nAsi nc,可知b4圆的定义。令椭圆方程为2X2a2、1，则b'5,c4 b'3，则轨迹方程为X2252y- 1( X95），图形为椭圆（不含左，右顶点）【点评】(1)(2)(3)(4)熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。圆：到定点的距离等于定长椭圆：至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点

8、距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 到定点与定直线距离相等。11 : 1:已知圆（乳十4十八25的圆心为M,圆P的轨迹方程。【变式动圆与这两个圆外切，求动圆圆心X-4尸4护=l的圆心为M, 解：设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得：I i. I, I i I I。2c=4, a=2, b=12。;.PMi|-5=|FM3 |-b|PMJ-|PM2l=4。动圆圆心P的轨迹是以M、M2为焦点的双曲线的右支,故所求轨迹方程为2: 一动圆与圆O1外切，而与圆C: X22 -y 6x80内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A:抛物线B:圆C :椭圆D:双曲线一支【解答】令动圆半径为R,则有I M

9、O I R|MC I R1 ,贝y |MO|-|MC|=21,满足双曲线定义。故选Db二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2： 一条线段AB的长等于2 a,两个端点和y轴上滑动，求 AB中点P的轨迹方程解 设M点的坐标为（X, y）由平几的中线定理：在直角三角11形 AOB中, OM=1aB 丄 2a a,22AFA和B分别在x轴I 22222<x y a,x y aM点的轨迹是以 O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了 omJab这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列2几种情况：1) 代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显

10、给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2) 列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。3) 运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。4) 借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何2(即LfAJ 2 ),|PB|中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】：动点P(x,y )到两定点A( 3, 0)和B( 3, 0)

11、的距离的比等于 求动点P的轨迹方程J(x 3)2 y【解答】|PA=J(x 3)2 y2,| PB|代入 |±Ai 2得*(x 3)2 y2l PB |J(x 3)2 y2化简得(x 5) 2+y2=16，轨迹是以( 三：用参数法求曲线轨迹方程2 (X 3)25，0)为圆心,y24(x 3)24为半径的圆.4y2此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。7I 2交y轴于B点,P 2 4)例3.过点P (2, 4)作两条互相垂直的直线 I 1,12,若I 1交x轴于A点， 求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1 :从运动的角度观察发

12、现，点 M的运动是由直线I 1引 发的，可设出I1的斜率k作为参数，建立动点 M坐标(x, y)满 足的参数方程。解法1 :设M(x, y),设直线I 1的方程为y 4= k (x 2), (k MO)1由l1I2,贝直线匚的方程为y 4 丄(X 2)k4li与X轴交点A的坐标为(2 ,0),k2 I2与y轴交点B的坐标为(0,4 -),k M为AB的中点,42 -k224-k22k (k为参数)消去 k,得 x + 2y 5 = 0。另外，当k = 0时，AB中点为M( 1 , 2),满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M( 1, 2),也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x

13、 + 2y 5 = 0。分析2:解法1中在利用k1k2= 1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能 否避开讨论呢只需利用 PAB为直角三角形的几何特性：1|MP| 2|aB|解法 2:设 M( x, y),连结 MP 则 A (2x, 0) , B (0 , 2y),|1丄|2 , PAB为直角三角形1由直角三角形的性质,|MP| jab I1 (2x)2(2y)2此即M的轨迹方程。由已知11丄12 ,联想到两直线垂直的充要条件： M点坐标表示 A、B两点坐标。事实上，由J(x 2)2 (y 4)2化简，得 x + 2y 5 = 0 , 分析 3:设 M (x , y), 可列出轨迹

14、方程，关键是如何用 易找出它们的坐标之间的联系。解法 3 :设 M (x , y) , / M为 AB 中点，二 A (2x , 0) , B ( 0 , 2y)。又Ikik2= 1,即M为AB的中点，1 , |2过点 P (2 , 4),且 |1 丄|2PB= 1 ,kpB2 0 PA丄 PB,从而 kPA - k 亦40而 kPA,2 2x44 2y2 2x 2注意到I 1丄x轴时，1,化简，得x12丄y轴，此时A2y 50(2, 0), B (0, 4)x+ 2y 5= 0中点M( 1, 2),经检验，它也满足方程 综上可知，点 M的轨迹方程为X+ 2y 5= 0。【点评】1)解法1用了

15、参数法，消参时应注意取值范围。解法 2 , 3为直译法,11, |MP| -I AB|这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角 度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆0: x2 +y2= 4外一点A(4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。运用了 kPA - kPB=1+k2) X2 8k2X +16k2 4=0(*),由点M为BC的中点,所以x=Xr_竺空;21 k2(1)，又OML BC,所以k=yX由方程(

16、1) (2)消去k得(x 2) 2+ y所以点M的轨迹方程为(X 2) 2+ 2为半径的圆在圆 O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程1=4,又由方程(*)的0得k2?w ,所以X< 1.3y =4(0< X< 1)所以M的轨迹是以(2，0)为圆心,2 2例4.点B是椭圆2每a b1上的动点，A2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 有规律的，显然 M的运动是由 动点M的轨迹方程。【解析】设动点则由M为线段A B、M 其中A为定点，而 B、M为动点，且点 B的运动是 B的运动而引发的，可见 MB为相关点，故采用相关点法求M的坐标为 AB中

17、点，可得(X，y)，而设B点坐标为(X0, yo)X0 2a2y。02Xoyo即点B坐标可表为(2x 2a2y2x2a， 2y)解法一：“几何法”设点M的坐标为(x,y ),因为点M是弦BC的中点，所以 OML BC,所以 |OM |+ I MA |= | OA |，?即(X +y)+(x4 ) +y =16化简得：(X 2) 2+ y 2 =4 由方程 与方程X2 +y 2= 4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为(X 2) 2+ y 2 =4(0< x< 1)。所以M的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆在圆 O内的部分。解法二：“参数法”设点M的坐标为(x,y )

18、，B (X1,y 1) ,C (X2,y 2)直线AB的方程为y=k(x 4), 由直线与圆的方程得(12点B(X0,y0)在椭圆务a2Xo2a212a)2a2(2y)2b21,整理，得动点M的轨迹方程为坐、2 . 2a) 4y2.2ab【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】足/ APB：90°,如图所示，已知 P(4 , 0)是圆X2+y2=36内的一点，A B是圆上两动点，且满 求矩形APBQ勺顶点Q的轨迹方程,BVII1oPA；=d=x所求的轨迹上运动.【解析】： 设AB的中点为 R坐标为(x,y)，则在Rt ABP 中，|An=| PR 又因为R

19、是弦AB的中点，依垂径定理 < 在Rt OAF中, | AR 2=| AO2 | OR2=36 (x2+y2)又|AR=| PR= J(x 4)2 y2所以有(X 4) 2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y2 4x 10=0因此点R在一个圆上，而当 R在此圆上运动时，Q点即在五、设Qx,y), R：X1,y1)，因为R是PQ的中点，所以X1=Z2代入方程(V4)2整理得：用交轨法求轨迹方程x2+y2 4x10=0,得学4宁10=0x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.,yi2X2a六、用点差法求轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分

20、别为M xi,yi ， N X2, y2 ，线段MN的中点X，y，则2X12X2X1yi2y2 2,2yf 2,2x,2y,X2y2一得XiX2X1X22 y1y2 yiy2(1 )将 X将代入椭圆方程X2 2y2题意知X1X2 ,式两端以XiX2 ,有XiX2 2 yiy2y2北X1 X2将代入得X 2y jX1X20 .得jX1 X21丄,故所求直线方程为:22x4y 3 0 .2 得 6y236 40符合题意,2x 4y 30为所求.(2)将里一y22代入得所求轨迹方程为:x 4y 0 .(椭圆内部分)X1X2(3)将迫一y2X1X2乂代入得所求轨迹方程为：x2x 22y2 2x 2y

21、0.(椭圆内部分)练习【正确解答】ABC为三角形,故A, B, C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).( 5,0)，2即轨迹方程为d红 1(x25165)2.两条直线 x my 1mx0的交点的轨迹方程【解答】：直接消去参数 m即得(交轨法)：3:已知圆的方程为 是2 2(x-1) +y =1,过原点作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程【解答】：令点的坐标为(x, y),则A的坐标为(2 x,2y)，代入圆的方程里面得：(x 2)2£(x 0)44:当参数m随意变化时，则抛物线x22m 1 x m21的顶点的轨迹方程为【分析】：把所求轨迹上的动点坐标分别用已有的参数m来表示，

22、然后消去参数m便可得到动点的轨迹方程。【解答】:抛物线方程可化为它的顶点坐标为x消去参数m得：y故所求动点的轨迹方程为4x4y5:点M到点F (4, 0)的距离比它到直线x 50的距离小1,则点M的轨迹方程为【分析】：点M到点F( 4, 0)的距离比它到直线 x 50的距离小1，意味着点M到点F( 4，0)的距离与它到直线 x 4 0的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M的轨迹方 程。【解答】：依题意，点 M到点F (4, 0)的距离与它到直线 x4的距离相等。则点 M的轨迹是以F （4, 0）为焦点、X4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y2 16X。36：求与两定点O Oi，0、A3, 0距离的比为1: 2的点的轨迹方程为【分析】：设动点为P,由题意空丄，则依照点|pA 2P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设P X,y是所求轨迹上一点，依题意得|PO|1Jpa 2由两点间距离公式得:Jx2 寸 1x 32