电磁场镜像法

1、§ 1-8镜像法一、镜像法定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的 问题很容易地得到解决。该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场 域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代 导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的 求解过程大为简化。应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。在所求电场区域内：不能引入镜像电

2、荷； 不能改变它的边界条件； 不能改变电介质的分布情况； 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界 条件；其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。镜像法的求解范围ur应用于电场 E和电位1.2.3.的求解；也可应用于计算静电力LTF ；确定感应电荷的分布等。二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1.设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h远处有一点电荷q，周围介质的介电常数ur为，求解其中的电场E。ur解：在电介质 中的场E，除点电荷q所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（未知），因此无法直接求解。用镜像法

3、求解该问题。对于区域，除q所在点外，都有以无限远处为参考点在边界上有:即边界条件未变。由唯一性定理有对于大场E不存在推广到线电荷的情况,例 1-15. P54求空气中一个点电荷解：用镜像法求解对于无限长线电荷也适合上述方法求解。q在地面上引起的感应电荷分布情况。2urP点：Eur uu E Euur EorurE -40rcos0rq2or2.2/2x h qh2.2 z320 x h感应电荷密度D2nD1nD2n（大地）D 0Eqh2 x2h2 %点电荷dsqhx2 h2 322 x dx q例 1-16P55解：用镜像法,如图所示,边界条件01232.解:镜像法应用于求解两种不同介质中置于

4、点电荷或电荷时的电场问题。 应用镜像法求解区域1如图b，2如图c1中电位为1，2中电位为 2满足条件：在1中除q所在点外，有2 10，在在两种媒质分界面上应有E1t E2t，D2n D1n由DnE2tD2n cos4 1r2q 2 sin4 r241q42 r12122212qq21rcoscos2rsinq 2 sin4 r2IHIq与q两个镜像电荷来代替边界的极化电荷HHIq q q若q为的线电荷则有:3.点电荷对金属面的镜像问题 点电荷与接地金属球的问题qi与q2的电场中，求电位为零的等位面。qiq240ri40r2令p 0 则有余弦定理2 ri22R2R2d2b22 Rd cos2Rb

5、 cosR222d2 2Rd cosR2 b2 2Rbcos2 qiR2b22 -,2 .2q2 R d2R q|d qjb cos 0Q等位面为球面（等位线为圆），所以电位与无关，即与cos 无关,必有q12 R2 b2q； R2 d22 2q2d q1 b 0R2q2bdfbR心dq1解：除q点外,用一个负电荷条件r R,0未变,q4rqq4 r'q这说明只要满足上式，必有一个半径为R的球面是零电位的等位面。讨论点电荷与接地金属球问题0 ,没撤除金属球，整个空间充满，在离球心为b处，b %，-R取代。对于rff R （金属球外）的电场可用q和q'两点来计算。边界 d 对于金

6、属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用心b处）和qRq，在球心）d若求带电q0，则应是4部分电荷作用。Rq，距球d镜像法，在球外区域计算电场，应是三部分电荷共同作用:§ 1-9部分电容Co一、电容1.定义：由两个导体组成电容器，即由两个导体组成的独立系统电容QC 单位法拉。U由它的电极的几何形状、尺寸相互位置及导体间的介质有关，与带电情况无关。其实际表明的是两导体间介质的性质。公式q cu与E是相互对应的。2.几种常用电容器电容的计算孤立导体的电容c y ,实质上是该导体与无限远处另一导体的电容U无限长同轴导体圆柱面电容C 2, a、b分别为内外圆柱导

7、体的半径。In%同心球面导体间的电容Cb a孤立导体球的电容c 40a二线传输线每单位长度电容y 0b h aIn -b3.hf f ab Jh2 a20Ina部分电容实际工作中，常遇到三个或更多导体组成的系统。在多个导体中一个导体在其他导体的 影响下，与另一导体构成的电容只能引入部分电容的概念的描述。定义：在由三个及三个以上带电导体组成的系统，任意两个导体之间的电压不仅要受到 它的自身电荷还要受到其余导体上电荷的影响，这时系统中导体间的电压与导体电荷关系一般不能仅用一个电容来表示，要用部分电容来描述。静止独立系统：一个系统，其中电场的分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相对位Lr置及电介质分

8、布有关， 而和系统外的带电体无关， 并且所有电通量密度 D全部从系统内带电体发出，也全部终止于系统内的带电体上。例对于n 1个导体构成静电独立系统，令导体从0n顺序编号，则qoqiL qn 0若系统中电介质是线性的，设 为：0号导体为参考导体，则其余导体与0号导体之间的电压UioM1iqii2q2LikqkLinqnUkOkiqik2q2LkkqkLkn qnMUnoniqin2q2LnkqkLin qni电位系数ii自有电位系数的性质：f 0iif iji jjiiij大小、尺寸、相互位置及电介质有关。互有电位系数只与导体的几何形状、静电感应系数ii自有感应系数ij互有感应系数，也只与导体形

9、状、尺寸等有关。的性质:iif 0iji jp0ii fijqiiU i012U20L1kU k0LinUn0MqkkiUi0k2U 20LkkU k0LknU n0MqnniU 10n2U20LnkU k0LnnU n0qkkiU 10k2U 20LkkU k0LknUn0ki uk0U10k2 Uk0U 2()LkkU k0 U k0Lkn U k0U n0kik2kiU<1k2Uk2 Lkik2LkkLkn U k0LknU kn令Ckiki， Ck2k2，L，Cknkn ，"Ck0kik2Lkk LknL kk Lkn U k0Ck0自有部分电容，即各导体与0号导体之间

10、的电容Gj互有部分电容，相应两导体之间的部分电容。都是正的,Ckn Cnkkn共有c：1Pn212!晋个部分电容例 1-18. P65. 解：用镜像法qi与 qi ； q2与q2构成两队电轴，由电轴法求空间P点电位。设电轴与几何轴重合,则:C12U10U 20C21亠n%20IR1-lnD0IdAq1121qi121222亠nD2 0I d j2h2-0lBUC1011R2q CU12C20 22 21§ 1-10静电能量与力我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。一、定义 引入：从所学的机械能， 因此在研究带电体系统的力学关系时，通过能量来分析是有利的。对于一种

11、电荷分布，存在着与之相关联的力系统， 也就有与之相关联的能量储存在系统 中，一个带电体系统的能量比照力学系统来分，可分为位能和动能两部分。在静电场中，由于V 0，所以这一系统的能量完全以位能形式存在。1.静电能量：由于电荷的相互作用而引起的位能称为静电能量，其计算为任意电荷分布下 的静电能量可以根据在实现这种分布的过程中，由于反抗电荷之间的库仑作用力所需要作的功来计算。二、静电能量的计算静电场的能量定域在静电场中。它是在建立电场过程中由外源作功转化而来的。1. 电荷作任意分布时的静电能量We这个功就转换为电场是线性的。电荷之间有相互作用力，移动电荷时，电场力要作功，说明电场内储存有能量。 或者

12、说要形成一个带电体系，形成一个电场，外力要对电荷作功， 的能量，储存在电场中，即静电能量是分布在静电场之中的。 推导：设电荷的体密度为，面密度为，假设系统中的介质dq置于该点时，需要作功为 dA dqdq因此全部静电能量可通过积分可得,dq由于介质是线性德尔，所以要达到最后的分布需要作的功是一定的，与如何实现这一 分布的过程无关。因此，我们可以选择这样一种充电模式，即在任何时刻使所以带电体的电荷密度都按 令此比例比值为同一比例增长,m.且0 m 1，这样任意时刻，电荷密度增量为dm是最终的体电荷密度dm是最终的面电荷密度总静电能量为:Wevdqdv10dmdv10dmdsQ '与dq是

13、线性的，所以1We0dmv m dv10dmdsdvis ds 若系统中只有带电导体的情况0 ，其静电能量可表示成1we -e 2 sS为所以导体表面,ds由于每一导体表面都是等位面，因此对于第K号导体，有1 ds 1 k2 sk2 kdsskkqkWe1 n2kkqk1LTLT ug静电能量的分布问题。D，D n0111LT1LTwe -dvdsDdvDe 2 v2 s2 v2 sdsUUn0V是对导体以外整个场域进行的，面积分是对所有导体表面LLs进行的。n是导体表面法线方向的单位向量。向量分析中的恒等式:LTDLTD1We 212121212 LT LU1'2 s1LTDdvLT

14、 LLD n10dsD n；dsFFF令FLTLTD ,ELT LT1LT峠D EdvD n dsv2s1LT LT1LT LLLLcD EdvD n ds0rnv2s1LT L1LT LT1LTD n0dsD Edv -D2v 2S1LrUTLTLTn0ds0 nLTD102 sS位于无限远处LT UUD n0dsLrDVur Edv在无限远处，ur1D随一而变，TS随r2而变。故s面上，整个积分将随-而变,r所以-2LrDurrni0dsWeIT ur'VD EdVVWedVWe1D2LTLTDE静电能量体密度We ,各向同性线性媒质中,urEWeD22点电荷系统的静电能量场源为连

15、续分布电荷的静电能量,WekqkLr LTVD EdV而对于点电荷系统,上式不相等。WeurDVurEdvuu uuult令E, ,E2 ,L , En为任意点P上的分别由qi,q2,L ,qn所引起的场强，合成场强ur urE巳uuE2 LLUTEn从而有:E2ure22 E1E2 E1E3 LEmEnE12 E； LE； dV 才V2 E1E2E1E3 LEn lEn dVWe 2第一项表明各电荷体系单独存在时各自的静电能量，称为自有能（或故有能）；第二项代表两个电荷体系间的相互作用能，称为互有能。当保持每个带电体系的电荷分布不变而改变它们之间的相对位置时，各带电体系的固有能不变，变化的都

16、是相互作用能，即相互作用能与电荷体系之间的相对位置有关。互有能相当于把每个带电体从现有位置移到无限远离状态时，电场力所作的功。即点 电荷与外场的相互作用能称为互有能。若激发外电场的电荷以及带电体，在本身的形状、大小都不变的条件下，带电体在外 电场中运动也只是相互作用能发生了变化而固有能不变。例 1-19、例 1-20P 71-72三、静电力的计算虚位移法来计算静电力、库仑定律计算力1.概念 广义几何坐标：确定系统中各导体形状、尺寸与位置的一组独立几何量。如距离、 面积、体积、角度等。 广义力：企图改变某一广义坐标的力。它对应于该广义坐标广义力与广义坐标约束关系：广义力乘以由它引起的广义坐标的改

17、变应等于功。dW dg We fdgdwkdqk表示与各带电体相连接的电源提供的能量。2. 虚位移动做功对于（n+1）导体组成的系统。0号作为参考导体，除 P外其余导体不动，且 P号导体 也只有一个坐标 g发生变化，该系统所发生的功能过程为:dg We 静电能量的增量fdg 电场力所做的功dg We若各导体电位不变k kk k -kdqk静电能量的增量等于外源所提供能量的一半。dwkdqk电源做功1电场力做功为fdg 2kdqkfdg dg We 若各带电体的电荷维持不变k变即P号导体移动时，所有带电体不知外源相连,dqk 0。即dw 0fdg dge qk kWegqk电场力要做功只有靠减少

18、系统内静电能量实现。 所求得的是当时电荷和电位情况下WegWeqk即外源被隔绝，事实上带电体并没有移动，电场力分布也没有改变, 的力。两种情况所得结果应该相等。例平行板电容器Weqk2q2cq2 c2c2 gWegu2 c-gC增大的趋势。在电场力作用下，有使电容例 1-21、 1-223.法拉第对电场力的观点法拉第认为在电场中的每一段电位移管，沿其轴线方向要受到纵张力，而在垂直于轴线Ide2方向，则要受到侧压力，纵张力与侧压力的量值相等，都是，因此电位移管本身好像被拉紧了的橡皮筋，沿轴线方向，它有收缩的倾向, 张的趋势。证明：两种媒质分界面上，电场作用于单位面积上的力为而在垂直于轴线方向，它有扩2D12n1 2巳21 2不论电场方向如何, 一边。此力总是垂直于该元面积，且总是介电常数较大的介质指向较小的总复习、电轴法两导线几何轴间距2h，导线半径为a,等效电轴与原点距离b,场中任意点的电位。P1-33, c、d点电位计算a h b In 2 0a b h Tn 0 bUdc-ln0a h 2 bahlnb a h b二、镜像法1.两种不同介质2无限大平面镜像电荷2qq置于1 2-2 2q q1 2HI极化电荷等效为q ,则qHlqHIq1 2置于2.点电荷与接地球面的镜像电荷qi放置于球（半径为 R）之外R q2-qidR2 bd四、部分电容自有部分电容C