抛物线专题复习讲义及练习

1、抛物线专题复习讲义及练习知识梳理1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（p .0）:标准方程y2 =2 px2y =-2px2X =2py2X =_2py图形lVyxyp xy1 xrAV,匸O*71K焦占八、八、F（#，0）F（-号，0）F（0申f（o，£准线x22y2范围x：0, y WrxM0, yRx R,y MOxUR, y Mb对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率e = 12.抛物线的焦半径、焦点弦 y2=2px（pH0）的焦半径 pf = x+卫；x2 =2py（p 式0）的焦半径 pf| = y+E ； 2 2 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.2

2、 AB 为抛物线 y2=2px 的焦点弦，贝y XAXB 二，yAyB = - p2， | AB | = XA XB p4 重难点突破重点：掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研 究抛物线的几何性质难点：与焦点有关的计算与论证重难点：围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1. 要有用定义的意识问题11:抛物线y=4 x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）17157A.B.C.D. 016168点拨：抛物线的标准方程为x21y，准线方程为y1,由定义知，点M到准线的距离416为1,所以点M的纵坐标是162. 求标准方程要注意焦

3、点位置和开口方向问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有 2种，故满足条件的抛物线有 2条3. 研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3:证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A'、B '分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为 M则AB =AF BF =AA'BB'，点M到准线的距离为1 1（AA' BB'） AB，.以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切2 2热点考点题型探析考点

4、1抛物线的定义题型 利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，- 1）的距离与点P到抛物线焦 点距离之和的最小值为 【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P到准线的距离解析过点P作准线的垂线l交准线于点R,由抛物线的定义知， PQ - PF = PQ - PR, 当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ PR取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离， 因准线方程为x=-1,故最小值为3【名师指引】 灵活利用抛物线的定义， 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关

5、【新题导练】1. 已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，点P（xn yj,巳&2,曲,区，丫3）在抛物线上，且|RF|、|P2F|、|RF |成等差数列，则有（）A %X2= X3b . y % 二 y3C %X3=2x2d. 力y3= 2y?解析C 由抛物线定义，2（ x2卫）=（禺卫厂（x3卫），即：x-i x = 2x2 .2 2 22. 已知点A（3,4）, F是抛物线y2=8x的焦点,M是抛物线上的动点，当MA+|MF最小时，M点坐标是（）A. （0, 0） B. （3, 2、. 6） C. （2, 4） D. （3, -2、6）解析设M到准线的距离为 MK ,则

6、|MA|+MF |=|MA|+|MK ,当MA+|MK最小时,M点坐标是(2, 4)，选C考点2抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线x2y4=0上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论解析(1)设所求的抛物线的方程为y2 - -2px或x2=2py(p 0),过点(-3,2) 4 - -2p(-3)或9=2p 22十9p 或p =3 4抛物线方程为y - - 4x或x =9y,3219前者的准线方程是x ,后者的准线方程为y = -38(2) 令 x = 0 得 y =

7、-2，令 y = 0 得 x = 4 ,抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时，卫=4,2 p=8，此时抛物线方程 y2=16x；焦点为(0,-2)时卫=22 p = 4，此时抛物线方程 x2 - -8y.所求抛物线方程为 y2 =16x或x2二-8y ,对应的准线方程分别是 x = -4, y =2.【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】、2x223. 若抛物线y =2px的焦点与双曲线y =1的右焦点重合，则p的值3解析R=“31= p=424. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距

8、离等于 6； 抛物线的通径的长为 5;由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2, 1)能使这抛物线方程为 y2=10x的条件是.(要求填写合适条件的序号)解析用排除法，由抛物线方程 y2=iox可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且| AM.17,| AF |=3，求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的射影，则| AA'|= 3，由勾股定理知| MA'卜2 2，点A的横坐标为（2.2,3-#），代入方程x2=2py得P =2或4,抛物线的方程x2 = 4y或x2=8y考点3抛物线的几何

9、性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证2例3 设A B为抛物线y =2px上的点，且.AOB二90 （O为原点）,则直线AB必过的定 点坐标为.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置y = kx2 P 2 P解析设直线 OA方程为y =kx,由。解出A点坐标为（马,空）2=2pxk k2k(x 2pk )1 -k21y = _ 一 x2k 解出B点坐标为(2pk ,-2pk)，直线AB方程为y + 2pk = y2 =2pxy =0得x = 2p，直线AB必过的定点（2 p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2） B点坐标可由A1点坐标用换k而得。k【新

10、题导练】6. 若直线ax - y 1 = 0经过抛物线y2 = 4x的焦点，则实数a =解析-17. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点 A、B,若A B在抛物线准线上的射影为A1, B1,贝V A1FB1 二（）A. 45 B.60 C. 90 D. 120解析C基础巩固训练1. 过抛物线y2 =4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2a 2a 4（ R），则这样的直线（）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条C.1 条或2条 D. 不存在解析C | AB |=xA，xB - p=a2 2ah5 = (an1)2n4_4，而通径的长为 4.2. 在平面直角坐标系 x

11、Oy中，若抛物线x2 =4y上的点P到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为()A. 3B. 4C. 5D. 6解析B 利用抛物线的定义，点P到准线y = -1的距离为5,故点P的纵坐标为4.92丿5，且a . b,则抛物线y2=(ba)x3. 两个正数a、b的等差中项是9，一个等比中项是2的焦点坐标为()iD .(一4，°)1 1 1A. U B . (0，4)C . (一2，0)解析D. a =5,b =4,b - a = -14.如果R , P2，F8是抛物线y2=4x上的点，它们的横坐标依次为 为,X2，,x8, F是抛物线的焦点，若 X1,X2,，Xn(N )成等差数列且

12、M *2 ，xg=45，则|P5F|=().A. 5B. 6C.7D. 9解析B根据抛物线的定义，可知RF=X + P =Xj +1( 1=1 ,2, n),2；X1,X2,，Xn( nN )成等差数列且X1X2X9=45,xs=5, I P5F1=625、抛物线y =4x的焦点为F,准线为I ,1与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60°的 直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A, AB! I，垂足为B则四边形ABEF的面积等于()A. 3,3 B . 4.3c. 6.3 D . 8 3解析C.过A作x轴的垂线交x轴于点H,设A(m, n)，则AF =AB 二 m 1, FH =

13、 OH -OF 二 m -1 , . m 1 = 2(m-1) m = 3, n = 2 3四边形 ABEF的面积=1 2(3 1)2、3 二 6 326、设O是坐标原点，F是抛物线y2 =4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与X轴正向 的夹角为60，则OA为.解析.21 .过A作AD _ x轴于D,令FD = m，则FA = 2m即2 m = 2m，解得m = 2 .A(3,2.3) OA32 (2、3)2 二.21综合提高训练7. 在抛物线y =4x2上求一点，使该点到直线y=4x_5的距离为最短，求该点的坐标解析解法1:设抛物线上的点 P(x,4x2)，点P到直线的距离d二2|4x -

14、4x 51、171 2 ax-?)4|I?肩 _ 1711当且仅当x时取等号，故所求的点为(一,1)22解法2:当平行于直线 y =4x 一5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y =4x b，代入抛物线方程得 4x2 - 4x - b = 0，11由厶=1616b=0得b=1,x，故所求的点为(一，2229.设抛物线y =2px ( p 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于 A B两点点C在抛物线的准线上，且 BC/ X轴证明直线 AC经过原点O证明：因为抛物线y2 =2px ( p 0)的焦点为F卫,0 ，所以经过点F的直线AB的方程 12丿可设为x =my卫，代

15、人抛物线方程得 y2 - 2pmy - p2 = 0 .2若记A x,% , B x2, y2 ，贝U y1, y2是该方程的两个根，所以 丫2 - - p2 因为BC/ X轴，且点C在准线x = -卫上，所以点C的坐标为 卫，y2 ,2I 2丿故直线co的斜率为k = y 2p=地_p * n2即k也是直线0A的斜率，所以直线 AC经过原点O2 2=2px (p>0)的准线I上，抛物Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.10. 椭圆 笃 笃=1上有一点M( -4 , 9 )在抛物线y2 a2 b25线的焦点也是椭圆焦点(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过 N作准线I的垂线，垂足

16、为y22 2解：(1 ) - y 1上的点M在抛物线a2b2(p>0)的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点 c=-4 , p=89/ M (-4 ,9 )在椭圆上516 81 2a 25ba2 二 b2 c2由解得：a=5、b=32 2椭圆为y 1259由p=8得抛物线为y2 =16x设椭圆焦点为F(4, 0), 由椭圆定义得|NQ|=|NF| |MN|+|NQ| > |MN|+|NF|=|MF|29241( -4)2 ( -0)2，即为所求的最小值55参考例题:1、已知抛物线 C的一个焦点为F(2，0)，对应于这个焦点的准线方程为x=-2(1)写出抛物线C的方程;(2)过F点的直

17、线与曲线C交于A B两点，0点为坐标原点，求 AOE重心G的轨迹方程;(4分)解: (1 )抛物线方程为：y2=2x.当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-；)，代入y2=2x，.2得：k2x2-( k2+2)x+-0.4k2 +22设 A(X1,y1),B(X2,y2),贝UX1+X2=,y1+y2=k( X1+X2-1)= -k2k_0 X1 X2 _k2 2x厂33k2设厶AOB勺重心为G( X, y)贝90 y, y22,y =33k(6分)消去k得y2= 3x _2为所求,(8 分)当直线垂直于x轴时，A （丄，1），B （丄，-1 ），2 2 AOB勺重心G（ 1，0 ）也满足

18、上述方程.3综合得，所求的轨迹方程为y2兮捂,(9分)1.2.抛物线专题练习、选择题（本大题共 10小题，每小题5分，共50 分）如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A. (1,0 )B. (2, 0 )C. (3, 0 )D. (- 1,0 )圆心在抛物线 y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A. x2+ y 2-x-2 y - 1=042 2B. x + y +x-2 y +1=02 2C. x + y -x-2 y +1=02 2 1D. x + y - x-2 y +=043.抛物线y = x2上一点到直线2x - y - 4 = 0

19、的距离最短的点的坐标是4.1 1A. （1，1） B.（丄，丄）2 4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶c P 9、C . （一，） D. （2，4）2 42m时，水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为5.6.A.6 m B. 2 ,6m C. 4.5m D. 9m平面内过点 A （-2 , 0）,且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是2 2 2A.y = 2x B . y = 4x C. y = 8xD.y 2=- 16x抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5, m到焦点距离是6,则抛物线的方程是7.八2ca.y =-2 x2 2B. y =-4x C . y=2xD. y 2=-4

20、x 或 y 2=-36x过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(xi,y 1) , B(X2, y 2)两点，如果 x计 X2=6,那么|AB|=A. 8B. 10C. 6 D . 4&把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a二（2, -3）平移，所得的曲线的方程是（）-4(x 2)A. (y-3)2 - -4(x-2) B. (y-3)2c. (y 3)2 二4(x 一2) D. (y 3)2 二4(x 2)9. 过点M(2, 4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有()A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条210. 过抛物线y=ax(a>0)的焦点F

21、作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分1 1别是p、q，则丄丄等于()p q14A. 2aB.C. 4a D .2aa二、填空题11. 抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4 .、3 ,则焦点到AB的距离为 12. 抛物线y =2 x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 .13. P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点 Q, 点 Q的坐标是 .2 214 .抛物线的焦点为椭圆 x y 1的左焦点，顶点在椭圆 中心，则抛物线方程94为.选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50 分)题号12345678910

22、答案ADABCBACCC二. 填空题(本大题共 4小题，每小题6分，共24分)k11. 212. x =13. (1, 0)14. y2 = -4 5x4三、解答题15. 已知动圆 M与直线y =2相切，且与定圆 C: x2 (y 3)1外切，求动圆圆心 M的轨 迹方程.解析:设动圆圆心为 M( x, y),半径为r，则由题意可得 M到C (0, -3 )的距离与到直 线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0, -3 )为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2 = -12y .16. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 M ( 3, m)到焦点

23、的距离等于5,求抛物线的方程和 m的值.（12分）解析:设抛物线方程为x2py（p>0），则焦点F （-和），由题意可得2 小m =6pt，解之得严=2丁6或p =4m = -2 6p =4故所求的抛物线方程为 X2 - _8y，m的值为_ 2 62 117动直线y = a，与抛物线y X相交于A点，动点B的坐标是（0,3a），求线段AB中2点M的轨迹的方程.（12分）解析:设M的坐标为（x, y）, A （ 2a2, a），又B（0,3a）得丿y = 2a2消去a,得轨迹方程为x二止，即y2 = 4x419.如图，直线l 1和l 2相交于点丨1丄12 ,点N I1.以A、B为端点的曲线段 C上的任一 点到丨2的距离与到点 N的距离相等.若 AMN为锐角三角形，|AM|= 1 , |AN|=3 ,且 |BN|=6 .建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.（14分）解析:如图建立坐标系，以 11为x轴，MN的垂直平分线为 y轴，点O为坐标原点.由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以丨2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为y2 =2px(p 0), (xA乞x乞xg , y 0),其中Xa,Xb分别为A、B的横坐标，P =MN所以，M (-卩,0)