高三数列专题

1、 高三数学复习专题三高三数学复习专题三 -数列数列一、考纲要求一、考纲要求 （1）数列的概念和简单表示法）数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），项公式），了解数列是自变量为正整数的一类函数。了解数列是自变量为正整数的一类函数。（2）等差数列、等比数列）等差数列、等比数列 理解等差数列、等比数列的概念。理解等差数列、等比数列的概念。 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。项和公式。能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，能在具体的问题情境中识别数列

2、的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。并能用有关知识解决相应的问题。 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。2010年全国考试大纲、山东省考试说明对数列的内容和要年全国考试大纲、山东省考试说明对数列的内容和要求是一致的，且文理相同求是一致的，且文理相同。二、考查形式二、考查形式 2008年理科：一个选择题、一个解答题题，17分；文科：一个解答题， 12分. 2009年理科：一个解答题，12分；文科：一个填空题、一个解答题，16分. 2010年理科：一个选择题、一个解答题，17分；文科：一个选择题、一个解答题，17分.0

3、8年理年理7：在某地的奥运火炬传递活动中，有编号在某地的奥运火炬传递活动中，有编号 1，2，3，18的的18名火炬手若从中任选名火炬手若从中任选3人，人，则选出的火炬手的编号能组成以则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列为公差的等差数列的概率为的概率为1111 5068306408w本题主要考查了等差数列定义，及排列组合概率，是本题主要考查了等差数列定义，及排列组合概率，是个小综合题个小综合题. w易错易错：通过列举法（穷举）找到满足要求的方法数：通过列举法（穷举）找到满足要求的方法数三、山东高考数列试题（三年）分析三、山东高考数列试题（三年）分析08年理年理19，文，文20：将数列将

4、数列an中的所有项按每一行比上一行多一中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,构成的数列为构成的数列为bn, b1=a1=1. sn为数列为数列bn的前的前n项和，且满足项和，且满足 1（n2）. (1)证明数列证明数列 成等差数列，并求数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；的通项公式； (2)上表中上表中,若从第三行起若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成每一行中的数按从左到右的顺序均构成 等比数列等比数列,且公比为同一个正数且

5、公比为同一个正数.当当 时时,求上表中第求上表中第k(k3) 行所有项的和行所有项的和.22nnnnssbbns191481a 08年解答题考查了等差等比数列的定义、通项公式、年解答题考查了等差等比数列的定义、通项公式、前前n项和公式以及已知项和公式以及已知f(sn,bn)=0求通项求通项bn的基本方的基本方法法. 在题目给出上改革了传统数列呈现形式在题目给出上改革了传统数列呈现形式,充分考查了充分考查了考生采集和处理信息的能力考生采集和处理信息的能力,体现了新课标的理念体现了新课标的理念. 易错易错：（1）第）第1问，用问，用sn-sn-1代换代换bn ，及知及知sn求求bn时，忽视时，忽视

6、条件条件n2 ；（2）第）第2问，由于不能从数表中获取充分的信息，无问，由于不能从数表中获取充分的信息，无法确定法确定a81的位置，导致求解不正确的位置，导致求解不正确09年文年文13 6253, 6, 7aaaaan则中，在等差数列w本题考查等差数列的通项公式以及基本计算本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.0909年理年理2020：等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n， 已知已知对任意的对任意的nnnn* * ，点（，点（n,sn,sn n）均在函数）均在函数y= +ry= +r（b0b0且且b1b1，b b,r,r均为常数）的图像上均为常数）的图像上. .

7、（1 1）求）求r r的值；的值； （2 2）当）当b=2b=2时，时， 证明：对任意的证明：对任意的nnnn* *， 不等式不等式 成立成立. *)(1(log22nnabnn记11112211nbbbbbbnnxb0909年文年文2020：等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n， 已知对任意的已知对任意的nnnn* * ，点（，点（n,sn,sn n）均在函）均在函数数y= +ry= +r（b0b0且且b1b1，b b,r,r均为常数）均为常数）的图像上的图像上. .（1 1）求）求r r的值；的值； （2 2）当）当b=2b=2时时， .*),(41nnnnt

8、nbnnanb项和的前求数列记xb0909年题文理都考查了等比数列的定义、通项公式年题文理都考查了等比数列的定义、通项公式以及已知以及已知s sn n求求a an n的基本方法。理科又考查了运用数的基本方法。理科又考查了运用数学归纳法证明与自然数有关的命题，以及放缩法学归纳法证明与自然数有关的命题，以及放缩法证明不等式等证明不等式等. .文科则考查了运用错位相减法求数文科则考查了运用错位相减法求数列的前项和的方法列的前项和的方法. .理科题目涉及数列与函数、数学归纳法、不等式理科题目涉及数列与函数、数学归纳法、不等式等，试题的综合性明显增强等，试题的综合性明显增强. .易错易错：（1 1）由）

9、由snsn求求anan，忽略了忽略了n2n2 的条件；的条件；（2 2）理科第）理科第2 2问证明不等式的方法选择不同，导致解问证明不等式的方法选择不同，导致解题难易程度不同，尤其放缩法技巧较高，导致失题难易程度不同，尤其放缩法技巧较高，导致失分；利用数学归纳法证明由分；利用数学归纳法证明由k k到到k+1k+1时，失去目标，时，失去目标，导致不能正确解答导致不能正确解答10年理年理9：设是等比数列，则是数列是递增数列的(a) 充分而不必要条件 (b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件 na321aaa naw本题主要考查了等比数列及充分必要条件的基础知识。本题主要考

10、查了等比数列及充分必要条件的基础知识。w易错易错（1）由条件对和的分析不到位）由条件对和的分析不到位（2）充分必要条件的把握不准确）充分必要条件的把握不准确1aq10年文年文7：(a) 充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件 是递增数列”的是“数列列，则“是首项大于零的等比数设nnaaaa21w本题主要考查了等比数列及充分必要条件的基础知本题主要考查了等比数列及充分必要条件的基础知识。识。w易错：易错：（1）由条件对的分析不准确）由条件对的分析不准确（2）不能很好地判断充分必要条件）不能很好地判断充分必要条件q10年理年理18，文18： ,26, 7

11、753aaaan满足：等差数列 .),(11) 2(*2nnnntnbnnab项和的前求数列令 nnsna项和为的前nnsa及求)1(w本题考查等差数列的通项公式与前本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、项和公式的应用、裂项法求数列前裂项法求数列前n项和，熟练掌握数列的基础知识是项和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键。解答好本类题目的关键。w易错易错：不能很好地化简的通项公式，找不到对：不能很好地化简的通项公式，找不到对应的求的方法。应的求的方法。ntnb 题型大多数是一道选择或填空题，一道解答题题型大多数是一道选择或填空题，一道解答题 ，难，难度中档为主。度中档为主。

12、内容主要涉及等差等比数列定义、通项公式、前内容主要涉及等差等比数列定义、通项公式、前n项和公式；由递推关系求通项公式；数列求和（重项和公式；由递推关系求通项公式；数列求和（重点错位相减法）等。点错位相减法）等。 数列考题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳数列考题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出. 数数学思想主要有分类讨论、等价转化等。学思想主要有分类讨论、等价转化等。 关注数列的给出形式，数列与概率、排列组合、函关注数列的给出形式，数列与概率、排列组合、函数、数学归纳法和不等式等知识的综合。数、数学归纳法和不

13、等式等知识的综合。 题目稳中求变，时常有新颖的试题入卷。题目稳中求变，时常有新颖的试题入卷。四、对山东高考数列试题整体看法四、对山东高考数列试题整体看法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，对能力要求较高的难题。大多数是一道选择

14、或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出一道解答题。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识、函数和不等式的知识综合起来。综合题，把数列知识、函数和不等式的知识综合起来。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。应用问题有时也要用到数列的知识。五、数列专题复习建议五、数列专题复习建议五、数列专题复习建议五、数列专题复习建议对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通对基础知识要落实到位，

15、主要是等差（比）数列的定义、通项、前项、前n项和项和.注意等差（比）数列性质的灵活运用注意等差（比）数列性质的灵活运用.掌握一些由递推关系求通项的解法和几类典型数列求和方法掌握一些由递推关系求通项的解法和几类典型数列求和方法.注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想及分类讨论思想.数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合是对基础和能力的双重检验要工具，三者的综合是对基础和能力的双重检验.所以要重视所以要重视数列与不等式的综合数列与不等式

16、的综合.数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决加以解决。具体可分三个专题进行：具体可分三个专题进行： 专题一：等差等比数列专题一：等差等比数列 专题二：数列通项与求和专题二：数列通项与求和 专题三：数列综合专题三：数列综合专题一、等差等比数列专题一、等差等比数列 强化等差、等比数列的定义、通项公式、前强化等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、中项等。项和公式、中项等。 巩固巩固 (1)递推法，即分析前后两项间的

17、关系，得到递推法，即分析前后两项间的关系，得到等差等比数列；等差等比数列； (2)基本量法，即用基本量法，即用a1、d（或（或q）表示已知和）表示已知和未知量，从而用方程观点解题。未知量，从而用方程观点解题。 (3)巧用性质，巧用性质，等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，要有意识去应用的工具，要有意识去应用. 在应用性质时要注意性在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形质的前提条件，有时需要进行适当变形 处理好性质与基本量的关系。处理

18、好性质与基本量的关系。 一方面一方面“巧用性质、巧用性质、减少运算量减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要；在等差、等比数列的计算中非常重要；另一方面应用另一方面应用“基本量法基本量法” 树立树立“目标意识目标意识”，“需要什么，就求什么需要什么，就求什么”，充分合理地运用条件，充分合理地运用条件，往往能取得与往往能取得与“巧用性质巧用性质”解题相同的效果解题相同的效果 专题一参考习题专题一参考习题1.（09宁夏海南理宁夏海南理7）等比数列）等比数列an的前的前n项和为项和为sn，且，且4a1，2a2，a3成等差数列成等差数列.若若a1=1，则，则s4 = a. 7 b. 8 c. 15

19、 d.16 命题立意：考察等比数列通项公式、前命题立意：考察等比数列通项公式、前n项和公式及等差中项等项和公式及等差中项等.2. （09安徽理安徽理5）已知）已知an为等差数列，为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99. 以以sn表示表示an的前的前n项和，则使得项和，则使得sn达到最大值的达到最大值的n是是 a. 21 b. 20 c. 19 d.18 命题立意：考察等差数列的定义、通项公式、数列单调性或等差命题立意：考察等差数列的定义、通项公式、数列单调性或等差数列前数列前n项和公式、二次函数最值项和公式、二次函数最值.3.（09全国全国理理14） 设等差数列设等差数列

20、an的前的前n项和为项和为sn ,若若s9=38,则则a2 +a4+a9 = . 命题立意：考察等差数列的通项公式、前命题立意：考察等差数列的通项公式、前n项和公式和整体求解项和公式和整体求解思想或用中项性质求解思想或用中项性质求解 。4. （09北京理北京理14）已知数列）已知数列an满足：满足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nn+,则则a2009 =_, a2014 =_. 命题立意：考查数列周期性、灵活处理问题能力；属于创新题型命题立意：考查数列周期性、灵活处理问题能力；属于创新题型. .,101610.(59311成等比数列且的等差数列，是公差不为）已知数列陕西文aaa

21、aan.22)1 (nansnan项和的前）求数列的通项；（求数列命题立意：考察等差命题立意：考察等差(比比)数列通项公式、前数列通项公式、前n项和公式项和公式6.（09江苏江苏17） 设设an是公差不为零的等差数列，是公差不为零的等差数列， sn为其前为其前n项和，满足项和，满足a22+a32=a42+a52 ，s7 = 7. （1）求数列）求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和sn ； （2）试求所有的正整数）试求所有的正整数m,使得使得amam+1/am+2为数列为数列sn中的中的项. 命题立意：考查等差数列的通项、前命题立意：考查等差数列的通项、前n项和，分析转化解决问题项和

22、，分析转化解决问题的能力的能力. 数列通项公式的求解与数列求和是解答题所涉及的数列通项公式的求解与数列求和是解答题所涉及的主要内容，一直是全国各地高考的重点和热点主要内容，一直是全国各地高考的重点和热点 通项公式求解常见题型主要涉及到：通项公式求解常见题型主要涉及到： 1.由递推公式求通项：累加、累积法由递推公式求通项：累加、累积法 2. 利用利用 求通项求通项 3. 构造新数列法构造新数列法 4. 归纳猜想法归纳猜想法 数列求和常用方法：分组求和、错位相减法、裂项数列求和常用方法：分组求和、错位相减法、裂项相消法相消法专题二、数列通项与求和专题二、数列通项与求和11,1,2nnns nass

23、n专题二参考习题专题二参考习题 111.222( 2 1)(2)123.nnnnaaaana(07全国理 ）已知数列中， ， ， 求的通项公式命题立意：构造等比数列求通项。命题立意：构造等比数列求通项。 111.212(2)2 ()0.nnnnnaaaann3(07天津理 ）:在数列中， 其中 .na求数列的通项公式命题立意：归纳命题立意：归纳-猜想猜想-证明求通项。证明求通项。命题立意：由命题立意：由sn与与an的关系求通项，一题多解。的关系求通项，一题多解。 *112.0712 ().nnnnnnansaas naan( 福 建 文 21） ： 数 列的 前项 和 为 ，求 数 列的 通

24、项 11114.202(1).2b(2).nnnnnnnnnaaaananan(09全国1理）在数列中，(1)设b =,求数列的通项公式;求数列的前n项和s命题立意：考察由递推公式构造、累加求通项公式，分组、错位相命题立意：考察由递推公式构造、累加求通项公式，分组、错位相 减求和，等比数列前减求和，等比数列前n项和公式；将条件变形是关键项和公式；将条件变形是关键。 1115.21s42.2b(2).nnnnnnnnaaaaaan(09全国 理19）设数列的前n项和s .已知，(1)设b =,证明数列是等比数列;求数列的通项公式命题立意：考察由命题立意：考察由sn与与an关系求出关于关系求出关于

25、an的递推关系，构造等差数的递推关系，构造等差数列，涉及等差等比数列通项公式。列，涉及等差等比数列通项公式。6.(10年四川理年四川理21)已知数列已知数列 命题立意：考察数列的基础知识和化归、分类综合等数学思想，以及推理论命题立意：考察数列的基础知识和化归、分类综合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力证、分析与解决问题的能力53) 1 (aa ，求 都有、且对任意满足：*, 2, 021nnmaaan211212)(22nmaaanmnm .*),()2(1212是等差数列证明：设nnnnbnnaab .*), 0()()3(11nnnnnnsncnnqqaac项和的前求数列设专题三、数列综合专题三、数列综合 有关数列与函数、不等式、概率等的综合有关数列与函数、不等式、概率等的综合问题既是考查的重点，也是考查的难点。问题既是考查的重点，也是考查的难点。 探索性问题在数列中考查较多，试题没有探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明然后给以证明.探索性问题对分析问题解决探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求问题的能力有较高的要求.专题三