高考热点递推数列问题分类解析

1、高考热点递推数列问题分类解析近年来的高考数学试题中，常以递推数列或与其相关的问题作为能力型试题，这些问题综合性强、思维力度大，能力要求高，是同学们感到棘手的一类疑难问题。本文从思路、方法到一般结论与模型，进行深入浅出的分类解析。1、线性递推问题此类问题的一般模型是已知(或可求得)线性递推关系：an+1=can+d，a1=b(其中b，c，d均为常数，且c0，1)求通项an。常用下述方法求解：1.1 递推法即以an+1=can+d作为递推公式直接进行递推，并归纳得到通项an。an=can-1+d=c(can-2+d)+d=c2an-2+(1+c)d=c2(can-3+d)+(1+c)d=c3an-

2、3+(1+c+c2)d=cn-1a1+(1+c+c2+cn-2)d=cn-1b+d=an=1.2 解方程组法由an+2-an+1=c(an+1-an)得：数列an+1-an是首项为a2-a1=(c-1)b+d，公比为c的等比数列，an+1-an=(c-1)b+dcn-1=bcn+(d-b)cn-1，解方程组消去an+1即得到通项公式。1.3 参数法对an+1=can+d两端同时加上参数t得：an+1+t=can+d+t=c(an+)，令t=，得t=，数列an+t是首项为a1+t=b+，公比为c的等比数列，an+t=(b+)cn-1，将t=代入并移项即得到通项公式。1.4 求和法对an+1=ca

3、n+d两端除以cn+1得：，即，+()+=()+=，an=cn=。1.5 归纳法即先由不完全归纳法得到猜想通项公式，再应用数学归纳法进行证明。例1(2000年北京春季高考题)已知函数f(x)=-2x+2，x，1，设f(x)的反函数为y=g(x)，a1=1，a2=g(a1)，an=g(an-1)，求数列an的通项公式，并求an。解析：由g(x)=-x+1、a1=1得：a2=g(a1)=， an=g(an-1)=-an-1+1，an+2-an+1=(-)(an+1-an)，an+1-an=(a2-a1)(-)n-1=(-)n，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=

4、(-)n-1+(-)n-2+(-)+1=1-(-)n，an=。说明：上述五种方法，实际上是给出了将线性递推数列，转化为可求通项的数列的五种转化的办法，这些转化的思想方法，也常用于解决非线性递推问题，应熟练掌握。1.6 当an+2=pan+1+qan时通项的求法(其中p、q为常数且pq0)引入参数1、2使an+2-1an+1=2(an+1-1an),即an+2=(1+2)an+1-12an,与原式比较系数得：1+2p,12=-q,即1、2是方程2=p+q的根，方程称为特征方程，解之可得1、2及等比数列an+1-1an，n+1-1an=(a2-1a1)，利用求和法可求通项。例2(2002年春季高考

5、题)已知点的序列An(xn，0)，nN，其中x1=0，x2=a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An-2An-1的中点，。(I)写出xn与xn-1、xn-2之间的关系式(n3)；(II)设an=xn+1-xn，求数列an的通项公式；(III)求xn。解析：(I)当n3时，xn=；(II)解2=+，得1=1，2=-，an+1=-an，a1=a，an=a(-)n-1(nN)；(III)xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+a1，xn=a。2、非线性递推问题下面列举几种非线性递推问题常见类型及其解法。2.1

6、关于an+1=can+f(n)型数列通项的求法此类问题常用上面介绍的前5种方法求解。例3(1999年高考试题)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线，当nyn+1(n=0，1，2，)时，该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b1)，设数列xn由f(xn)=n(n=1，2，)定义。求xn的表达式。解析：记x0=0，依题意有f(xn)-f(xn-1)=bn-1(xn-xn-1)=n-(n-1)=1，xn-xn-1=()n-1xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(x1-x0)+x0=()n-1+()n-2+()+1=。2.2 关于=f(n)型数列通项的求法由=f(n)得：an=

7、·a1=f(n-1)f(n-2)f(1)a1，即an=f(n-1)f(n-2)f(1)a1。例4(2000年高考试题)设an是正项数列，且(n+1)a-na+an+1an=0(n=1、2、3)，则它的通项公式是_。解析：由已知等式得=，a1=1，an=··1=。2.3 关于an+1an=f(n)型数列通项的求法(其中an0)由已知an+1an=f(n)及an=得：当n为偶数时，an=；当n为奇数时an=。2.4 关于an+1=型数列通项的求法此类问题常用参数法化等比数列求解。例5设数列an满足a1=2，an+1=，求an。解析：对等式两端同加参数t得：n+1+t=

8、+t=(2t+5)，令t=，解之可得t=-1，2，代入an+1+t=(2t+5)，得an+1-1=3，an+1+2=9，相除得=·，即是首项为=公比为的等比数列，=·31-n，解得an=。3、递推不等式问题利用递推证明不等式，常用归纳法、不等式性质、基本不等式等；对于线性递推不等式可以将线性递推(等式)的上述方法移植加以运用解决问题。例6(2002年高考试题)设数列an满足an+1=a-nan+1，n=1，2，3，当a13时，证明对所有的n1，有(I)ann+2；(II)。解析：(I)当n=1时，a13=1+2，不等式成立，设n=k时不等式成立，即akk+2，当n=k+1时

9、，ak+1=ak(ak-k)+1(k+2)2+1k+3，即n=k+1时不等式成立，ann+2；II)由(I)ann+2得，an+1=an(an-n)+12an+1，即an+12an+1，an+1+12(an+1)，···，对k2有··。+=·(2-)。例7(2002年北京高考试题)数列xn由下列条件确定：x1=a0，xn+1=(xn+)，nN。(I)证明：对n2，总有xn；(II)证明：对n2，总有xnxn+1。证明：(I)对n2，由x1=a0，易推得xn0，xn=(xn-1+)，即xn；(II)对n2，由(I)得ax，xn+1=(x

10、n+)(xn+)=xn，即xnxn+1。4、递推应用问题解决递推应用问题的一般步骤是：先依据题意建立递推关系，再利用递推关系求出相关数列的通项，最后运用通项及其性质解决待求问题。例8(2002年高考试题)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么，每年新增汽车数量不应超过多少辆？解析：设每年新增汽车x万辆，第n年末汽车保有量为an万辆，依题意a1=30，an+1=0.94an+x，由an+2=0.94an+1+x，得an+2-an+1=0.94(an+1-an)，an+1-a

11、n=(a2-a1)·0.94n-1=(x-1.8)·0.94n-1，an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=(x-1.8)·(0.94n-1+0.94n-2+1)+30=30+(x-1.8)，当x1.8时，数列an递增，由an=，解60，得x3.6；当x1.8时，数列an不增，an+1ana1=3060，综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。5、归纳递推问题解决此类问题的思想方法是由特殊到一般，即先通过不完全归纳，发现递推规律(提出猜想)，再运用归纳法进行一般证明。例9(2002年天津高考试题)已知an是由非负整数组成的数列，满足a

12、1=0，a2=3，an+1an=(an-1+2)(an-2+2)，n=3，4，5，。(I)求a3；(II)证明an=an-2+2，n=3，4，5，；(III)求an的通项公式及其前n项和Sn。解：(I)an是非负整数组成的数列，在已知等式中分别取n=3、4、5可得：a4a3=10a5a4=5(a3+2)a6a5=(a4+2)(a3+2)由知a3只能取1、2、5、10，由知a3取1、5时a5不是整数，由知a3取10时a6不是整数，a3=2；(II)当n=3时，a3=2=a1+2，设n=k时，ak=ak-2+2，即=1，而当n=k+1时， ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2)·

13、=1=1，即ak+1=ak-1+2，an=an-2+2。(III)由an-an-2=2，a1=0，a2=3及等差数列通项公式知：a2k-1=0+(k-1)2=2(k-1)，a2k=3+(k-1)2=2k+1，k=1、2、3，即an=n+(-1)n，Sn=6、利用递推求极限即在已知(或可求出)递推式时，求相关数列的极限(极限存在)，一般方法是：先设出极限值，再对等式两端求极限，最后解方程求得极限值。例10(2002年北京高考试题)数列xn由下列条件确定：x1=a0，xn+1=(xn+)，nN。若数列xn的极限存在，且大于零，求xn的值。解析：设xn=A，由x1=a0及已知递推关系易知xn0，A0，对xn+1=(xn+)两边取极限得A=(A+)即A2=a，A=，xn=A=。7、利用函数方程递推即利用已知函数方程或其等价形式作为递推关系，建立新的递推式，利用之求得数列的通项公式，并解决相关问题。例11(2002年北京高考试题)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，且对于任意a、bR都满足f(a·b)=af(b)+bf(a)。若f(2)=2，un=(nN)，求数列un的前n项和Sn。解：由f(a·b)=af(b)+bf(a)得：f(1)=0，令g(x)=，则有g(ab)=g(a)+g(b)，g(an)=ng(a)，即f(an)=nan-1f(