物理竞赛-质心平衡

1、力力 物体的平衡物体的平衡【扩展知识【扩展知识】1 1重力重力: : 物体的重心与质心物体的重心与质心重心重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。用集中于一点，这一点叫做物体的重心。质心：质心：物体的质量中心。物体的质量中心。设物体各部分的重力分别为设物体各部分的重力分别为G1、G2Gn，且各部分重力的作，且各部分重力的作用点在用点在oxy坐标系中的坐标分别是（坐标系中的坐标分别是（x1，y1）（）（x2，y2）（xn，yn）,物体的重心坐标物体的重心坐标xc，yc可表示为可表示为例题：匀质球例题：

2、匀质球A质量为质量为M，半径为半径为R,匀质棒匀质棒B质量为质量为m，长度为长度为L，求它的重心求它的重心法一：平衡法法一：平衡法分割成球和棒，则由力矩平衡可知：mBCMAC2LRBCAC两式联立即可得到：mMLRMBC)2(法二：公式法法二：公式法mMmLRMxc0)2()(法三：割补法：法三：割补法：即：将棒球看成对称的，和一个质量为即：将棒球看成对称的，和一个质量为-M的球的组合的球的组合MCAmMBC)2(BCBACA两式联立可得：两式联立可得：mMLRMBC)2(例题例题1：求如图所示中重为：求如图所示中重为G的均匀质板（阴影部分）的均匀质板（阴影部分）的重心的重心O的位置（面密度为

3、的位置（面密度为 ）。）。解析：解析：21)(Rom4)(222Rrom0)(1Ox2)(2ROx实际中：实际中：1、平衡法法、平衡法法 2、实验法（悬挂法）、实验法（悬挂法） 3、对称法、对称法 （高度对称性的）（高度对称性的） 4、割补法、割补法 5、公式法、公式法6)4(2)4(222RRRRRxc如图所示，求图示均匀薄板的重心，大正方形的边长为如图所示，求图示均匀薄板的重心，大正方形的边长为a,挖去的挖去的小正方形的边长是大正方形的四分之一，一个顶点在大正方形的小正方形的边长是大正方形的四分之一，一个顶点在大正方形的几何中心上，两正方形各对应边相互平行几何中心上，两正方形各对应边相互平

4、行解法一：解法一：建立建立ox坐标轴坐标轴,再挖去一个相同的正方形如图所示再挖去一个相同的正方形如图所示根据对称性根据对称性,剩余部分重心必在剩余部分重心必在ox轴上轴上.原点在原点在O点点.1 12 212n nnmrm rm rrmmm23 21459 22814120mamaramm.解法二：负质量法解法二：负质量法12025916)8222(2216ammamamxc2、巴普斯定理及其推论（提供求质心的一种技巧）、巴普斯定理及其推论（提供求质心的一种技巧） 一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿着垂直于一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿着垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立

5、体体积，则此体积等于面物平面的方向运动，在空间扫过一立体体积，则此体积等于面物体的面积乘以物体质心在运动中所经过的路程体的面积乘以物体质心在运动中所经过的路程例题：求如图所示的直角三角形的质心例题：求如图所示的直角三角形的质心231abVabs21xc2质心运动的圆周长为：即：csVax31可得：by31同理可得：即：重心位置为：即：重心位置为：)31,31(ba练习：练习：求均匀半圆盘的质心位置。求均匀半圆盘的质心位置。2321234RxR34 Rx 推论：推论：一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直一条质量均匀分布的平面曲线，其上各点沿垂直于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面

6、的于曲线平面方向运动，在空间扫过一曲面，则此曲面的面积等于质心在运动中所经路程和曲线长度的乘积面积等于质心在运动中所经路程和曲线长度的乘积例题：求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置例题：求质量均匀分布的半圆形金属线的质心位置RxR 242Rx2拓展：如果是封闭线呢？设线密度为拓展：如果是封闭线呢？设线密度为Rx2102xRm1又：Rm22Rmmxmxc2221113 3弹力弹力弹簧的串并联公式：弹簧的串并联公式：nkkkk1.11121串（各弹簧所受拉力相等）（各弹簧所受拉力相等）nkkkk.21并（各弹簧形变量相等）（各弹簧形变量相等）例题：例题：两根劲度系数分别为两根劲度系数分别为K K

7、1 1和和K K2 2的轻弹簧竖直悬挂，下端的轻弹簧竖直悬挂，下端用光滑的细线连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑用光滑的细线连接，把一光滑的轻滑轮放在细绳上，求当滑轮下挂一重为轮下挂一重为G G的物体时，滑轮下降的距离？的物体时，滑轮下降的距离？解析：解析：设两弹簧伸长量为设两弹簧伸长量为x1,x2则有：则有：2211xkxkG2211xkxkxxx221Gkkkkx21214所以：4摩擦力摩擦力最大静摩擦力：可用公式最大静摩擦力：可用公式fm=0FN来计算。来计算。FN为正压力，其中为正压力，其中0为静摩擦因数，对于相同的接触面，应有为静摩擦因数，对于相同的接触面，应有0(为动摩擦因为

8、动摩擦因数数)摩擦角：若令：摩擦角：若令：摩擦角是正压力摩擦角是正压力FN与最大静摩擦力与最大静摩擦力f m的合力与接触面法线间的的合力与接触面法线间的夹角。夹角。为摩擦角则,tan0NmFf在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即Nf0000Nftan0NfNf0tan令：时，即当：tantan无论用多大的力，物体也不会滑动。无论用多大的力，物体也不会滑动。法一：解析法法一：解析法法法2：引入摩擦角：引入摩擦角物体放在水平面上，用与水平方向成物体放在水平面上，用与水平方向成30的力拉物体时，物体的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物

9、体，物体仍匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素。 练习练习1：法一：正交分解：法一：正交分解：（分析受力（分析受力列方程列方程得结果）得结果）法二：引进桌面力法二：引进桌面力R ：对物体两个平衡状态进行受力分析，再进：对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移（注意：重力行矢量平移（注意：重力G是不变的，而桌面力是不变的，而桌面力R的方向不变、的方向不变、F的大小不变），的大小不变），m指摩擦角。指摩擦角。则：则：m = 15 = tanm = tan 15 =0.268练习练习2法一：隔

10、离法法一：隔离法由第一个物理情景容易的出：斜面与滑块的动摩擦因数为：由第一个物理情景容易的出：斜面与滑块的动摩擦因数为：tan对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成沿斜面、垂直斜面分解成Fx和和Fy ，滑块与斜面之间的两对相，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（互作用力只用两个字母表示（N表示正压力和弹力，表示正压力和弹力，f表示摩擦表示摩擦力），如图所示。力），如图所示。对滑块对滑块sinmgfFxNmgFycostanNNf综合以上三式可得：综合以上三式可得：sin2tanmgFFyx对斜

11、面体，只看水平方向平衡就行了对斜面体，只看水平方向平衡就行了 sincosNfPsincoscossin4NNmg综合以上可以得到：综合以上可以得到：cosmgFysin3mgFx则：222sin81mgFFFyxcot31tanxyFF并指向斜面内部并指向斜面内部法二：引入摩擦角和整体观念法二：引入摩擦角和整体观念先看整体在水平方向平衡先看整体在水平方向平衡pF)cos(再隔离滑块，受力如下再隔离滑块，受力如下其中：)arctan(tanarctan解以上式子即可得到结果例题：如图所示，长为例题：如图所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的

12、夹角在图上已标示，轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。求横杆的重心位置。解法一：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。 距棒的左端L/4处。 G7、固定转动轴物体的平衡、固定转动轴物体的平衡1)、力矩、力矩(是改变物体转动状态的原因是改变物体转动状态的原因 )力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且动，这时外力的作用效果不仅取决于外

13、力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离取决于外力作用线与轴的距离力臂力臂(d) 定义：力与力臂的乘积称为力矩定义：力与力臂的乘积称为力矩 FdM通常规定通常规定: :绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和 受力与否的三个判据受力与否的三个判据条条件件效效果果特特征征3 3）有固定转动轴物体的平衡）有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。力

14、矩的代数和为零。 0M 0 xM0yM 0zM 非惯性参照系 凡牛顿第一定律成立的参照系叫惯性参照系，简称惯性系。凡相对于惯性系静止或做匀速直线运动的参照系，都是惯性系。在不考虑地球自转，且在研究较短时间内物体运动的情况下，地球可看成是近似程度相当好的惯性系。凡牛顿第一定律不成立的参照系统称为非惯性系，一切相对于惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球自转时，地球就是非惯性系。在非惯性系中，物体的运动也不遵从牛顿第二定律，但在引入惯性力的概念以后，就可以利用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题。直线系统中的惯性力简称惯性力，例如在加速前进的车厢里，车里的乘客都觉得自己好象受到一个

15、使其向后倒得力，这个力就是惯性力，其大小等于物体质量m与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a的乘积，方向于a相反。用公式表示，这个惯性力F惯=-ma,不过要注意：惯性力只是一种假想力，实际上并不存在，故不可能找出它是由何物所施，因而也不可能找到它的反作用力。惯性力起源于物体惯性，是在非惯性系中物体惯性体现。转动系统中的惯性力简称惯性离心力，这个惯性力的方向总是指向远离轴心的方向。它的大小等于物体的质量m与非惯性系相对于惯性系的加速度大小a的乘积。如果在以角速度转动的参考系中，质点到转轴的距离为r,则： F惯=m2r.假若物体相对于匀速转动参照系以一定速度运动，则物体除了受惯性离心力之外，还要受到另一种惯性力的作用，这种力叫做科里奥利力，简称科氏力，这里不做进一步的讨论。 例题：长分别为l1和l2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的两个小球，如图所示，它们处于平衡状态。突然连接两绳的中间小球受水平向右的冲击（如另一球的碰撞），瞬