分式方程的增根与无解

1、分式方程的增根与无解甲：如此说来，从方程 变形为方程，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那 么，如何知道从整式方程 解出的未知数的值是或不是原方程 的解呢?甲：增根是什么?乙：很简单，两个字：检验。可以把方程 解出的未知数的值一一代入去分母时方程乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于 0,如果公分母为0,则说明这个值是增了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如根，否则就是原方程的解。例1、解方程:。甲：那么，这个题中x = 0就是增根了，可原方程的解又是什么呢?为了去分母，方程两边乘以 gQ，得収= J乙：原方程无

2、解。甲：啊？！为什么会无解呢?乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值甲：原方程的解是X-CI。相等，如上题中，不论x取何值，都不能使方程两边的值相等，因此原方程无解,乙 可是当 so时，原方程两边的值相等吗?又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当宫-D时，原方程有的项的分母为0，甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢?没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看:乙：求解过程完全正确，没有任何的

3、差错。甲：那为什么会出现这种情况呢?乙：因为原来方程 中未知数x的取值范围是且筈#2|,而去分母化为整式方程去分母后化为，解得蛊3或疋=-1|,此时，I翌=-1|是增根，但原方程并不后，未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程解出的未知数的值就有可 能不是方程的解。是无解，而是有一个解解，但原方程也没有增根。，而方程天，去分母后化为0 x =，原方程虽然无乙增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，禾用这种关系（1）若方程无解，则原方程也无解，方程化为W-mR可以解决分式方程的有关问题，你看:时，方程无解，此时血=1|。13k+ r例3、已知关于x的方程K-1 K十2?

4、+H-2有增根，求k的值。（2）若方程有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程的解为时原方程无解,筈-3代入方程，得孑，故首先把原方程去分母，化为 仅卜虬综合（1）、（ 2），当血或m-3|时，原方程无解。妙用分式方程的增根解题因为原方程的最简公分母是（金-1液十2）|,所以方程的增根可能是x = l|x = -2|若增根为x = l|,代入方程，得k-3|；在解分式方程的过程中，我们还可以利用增根来求分式方程中的待定字母的值.请若增根为x =代入方程，得0-6, 一-巧。看下面几例.故当k-25或k-6时，原方程会有增根。例1若关于x的方程竺x 1析解：去分母并整理

5、，得ax1 0有增根，则a的值为1，因为原方程有增根，增根只能是 x 1，将甲：虽然无解的分式方程不一定有增根，有增根的分式方程不一定无解，但我还觉得无解与增根之间似乎有种微妙的关系，这是怎么一回事?1代入去分母后的整式方程，得例2若关于x的方程mx 3 x 3析解：去分母并整理，得x m 42无解，则m的值是0.乙：你说的没错，增根与无解都是分式方程的 常客”它们虽然还没有达到形影不离 的程度，但两者还是常常相伴而行的，在有些分式方程问题中，讨论无解的情形时应解之，得x 4 m.因为原方程无解，所以x 4 m为方程的增根.又由于原方程的增根为x 3.所以m 3， m 1.考虑增根，例如:=m

6、例4、已知关于x的方程K-了 无解，求m的值。例3.已知方程十+ 2= 土有增根，则k =析解：把原方程化成整式方程，得2先把原方程化为1 2(4 x2)k(x 2).因为原方程有增根，所以增根只能是 x 2或x 2.D .以上都不对2 1将 x 2 代入 1 2(4 x ) k(x 2)，得 k -4将x 2代入1 2(4 x2) k(x 2)，无解.故应填例1:若方程亠 2 有增根，则m的值为 ()x 3 x 3A . 3B . 3C .析解：把分式方程两边同乘以公分母x 3,得整式方程x 2 (x 3) =m .若原练一练:方程有增根，必须使公分母 X3等于0,即x=3,代入整式方程得3

7、=6 m，解得1.如果分式方程丄x 1(B)X kx21(A) 12.如果方程答案：1.C;2.1；、增根的原因无解，则m的值为(x 10(C) 1(D) 2m=3 .故应选B.点评：方程有增根，一定是公分母等于把分式方程化成的整式方程；令公分母为0,的未知数的值.解这类题的一般步骤求出x的值；再把x的值代入整式方2有增根x 1，则k =程，求出字母系数的值.2.已知方程无解，确定字母系数值 例2：若方程x 33 x分式方程的增根及其应用分析：把分式方程化为整式方程,解分式方程时，有时会产生增根，这是因为我们把分式方程转化为整式方程过程1无解,则m的值为 ()D. 1 或-5若整式方程无解，则

8、分式方程一定无解；若整式方程有解，但要使分式方程无解，则该解必为使公分母为0时对应的未知数的值,此时相应的字母系数值使分式方程无解.1,此时方程无解；若m+1工0,则x=中，无形中取掉了原分式方程中分母不为零的限制条件，从而扩大了未知数的取值范 围，于是就产生了如下两种情况：(1)如果整式方程的根都在分式方程未知数的取值解：去分母，得(3 2x) (2+mx)=3 x,整理，得(m+1) x= 2.若 m+1=0,则 m=是增根.因为丄=3，所以m=-.所m 1m 15范围内，那么整式方程的根就是分式方程的根；(2)如果整式方程的有些根不在分式 方程未知数的取值范围内，那么这种根就不是分式方程

9、的根，是分式方程的增根.因 以m的值为一1或-，故应选D.5点评：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况.既要考虑整式方此，解分式方程时，验根是必不可少的步骤.程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到.、利用增根解题不可否认，增根的出现给我们的解题带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，常见的类型有如下几种:1.已知方程有增根，确定字母系数值3.已知方程无增根，确定字母系数值例3:若解关于x的方程丄寻x 1 x 1C

10、.不为 2的数r不会产生增根，则k的值为()D .无法确定析解：去分母，把分式方程化为整式方程，x(x+1) k=x(x 1)，解关于k的方程,得k=2x.由题意,分式方程无增根，则公分母X2 1工0,即x工 1,则k工 2故应选点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实），如方程k2x 1 +1= (x 1)(x 2)有点评：方程无增根，就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0,利用这一点可以确定字母系数值或取值范围.妙用分式方程的增根求参数值解分式方程时，常通过适当变形化去分母，转化为整式方程来解，若整式方程的 根使分式方程中的至少一个分母为零，则是增根，应舍去，由此定义可

11、知：增根有两 个性质：（1）增根是去分母后所得整式方程的根；（2）增根是使原分式方程分母为零 的未知数的值，灵活运用这两个性质，可简捷地确定分式方程中的参数（字母）值， 请看下面例示：一、分式方程有增根，求参数值x值为原方程的增根,、X2 4x a例1 a为何值时，关于x的方程 厂3 =0有增根?分析：先将原分式方程转化为整式方程，然后运用增根的两个性质将增根代入整式 方程可求a的值解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得x2-4x+a=0 （探）因为分式方程有增根，增根为 x=3,把x=3代入（探）得，9-12+a=0 a=32 8增根，可求得k=- 3，但分式方程这时有一实根x=E 0

12、二、分式方程是无实数解，求参数值X 2 m例3若关于X的方程x 5 = x 5 +2无实数根，求m的值。 分析：因原方程无实数根，将原方程去分母得到整式方程解出的 又x=5是原方程的增根，故可求出 m的值解：去分母，得 x-2=m+2x-10 , x=-m+8因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5所以m=3点评：这类型题可通过列增根等于增根的方程求出参数值。分式方程的非常规解法抓特点选方法有些分式方程利用一般方法解非常麻烦， 若能根据题目的特点，采用一些特殊的方 法，就可避免不必要的麻烦，巧妙地求得方程的解，获得意外的惊喜，现结合几道习题予

13、以说明.2X 4x a所以a=3时，二=0有增根。点评：运用增根的性质将所求问题转化为求值问题，简捷地确定出分式方程中 的参数（字母）值例2 m为何值时，关于x1 m 2m 2的方程x 1 + x 2 = x2 3x 2有增根。、分组化简法解方程：0x2x3x4x5例1.分析:本题的最小公分母为（X 2）（x 3）（x 4）（ x 5），若采用一般解法，就会出现分析：原分式方程有增根， 式方程可求出m的值。解：原方程两边同乘以（x-1）（1+m） x=3m+4（:）因为分式方程有增根，据性质（3m=- 2 ；把x=2代入（探）得3应是使分母为0的x值。将这样的x值代入去分母的整（X-2）去分母

14、整理，得2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（探），解得m=-2所以m二2或-2时，原分式方程有增根高次项数,计算相当繁琐，而且也极易出错，我们注意到x 2 x 3 （x 2）（x 3），在此基础上再通过比较上面两式即可将本题求解.x 4 x 5 （x 4）（ x 5）解:原方程化为：G3）1 1()0 ,上式可变为：x 4 x 50 .即(X 2)(x 3) (X 4)(x 5)(X 2)( X 3) (x 4)( x 5)（X 2）（x 3） （X 4）（x 5），解这个整式方程得：X 3.5，当x 3.5时，该分式方程中各分式的分母的值均不为 0,所以X3.5为原方程的解.、拆项变

15、形法例2 .解方程一丄=丿-X 3x 2 X 2 X X分析：本题求解时应首先将题目中的第4X2 2x1, 3, 4个分式的分母因式分解，再将这与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考 题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。1.已知分式方程有增根，求字母系数的值 解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。 利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（字母系数的值。例1.（2000年潜江市）2）可以求出分式方程有增根时的几个分式分解成两

16、个分式差的形式，目的是通过整理将其化繁为简,使方程变得简捷使关于x的方程a2 2x 4易解.2产生增根的2 Xa的值是（）解：原方程变形为：（丄 ）X 2 X 14 ，二 3（x 1）X 12)X3化简后整理得：3X4X，解得：X 3，当X3时，分式方程中A. 2B.解：去分母并整理,a22x402 得:的各分式的分母均不为0,故X三、利用特殊分式方程X3是原方程的解.1Xa 求解.a1-的解为X1a数时，则此时便可套用上面的方程的解法求解.例3.解方程：空g 2丄X 1 3x 2分析：因本题中 空与 J , 2与1分别互为倒数，符合方程XX 1 3x2故可将该方程转化为这种方程的形式求解.分

17、式方程X 1 aXa, X211,若一个方程等号两边的项分别互为倒 a丄的特点,a解：原方程变形为3XX 1X 13xX 113x-，此时原方程变形为:yC. 2D.与a无关因为原方程的增根为x=2,把x=2代入1，得a2=4所以a 2故应选C 0例2.（1997年山东省）若解分式方程空XA. 1 或2C. 1 或 2解：去分母并整理，得：X2 2x 2 m 0m 12 XXB.D.又原方程的增根是x=0或Xm=2 或 m=1故应选C。3xX 12或空X 11，解得:X12, x2-.经5例3. （2001年重庆市） 若关于X的方程竺X 1检验得:X12，X21丄都是原方程的解.5原方程的解为

18、X12,X2解：原方程可化为：a丄产生增根，则m的值是（）X1或21或一21，把x=0或x= 1分别代入1式，得:10有增根，则a的值为1x20117又原方程的增根是x 1，把x 1代入1，得:a 1故应填“ 1 ”。当m为何值时，关于x的方程-x无实根?x 1解：原方程可化为:例4. ( 2001年鄂州市)关于x的方程亠2x 3人会产生增根，求k的值。要原方程无实根，有下面两种情况:(1)方程1无实数根，由12m 0，得 m解：原方程可化为：x2x3 k又原方程的增根为x=3,k=3把x=3代入1，得:例5.当k为何值时,1解关于x的方程：一x x 1k 1 xL只有增根心。解：原方程可化为

19、:(2)方程1的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根， x=0或x=1，把x=0或x=1分别代入1得m=2。综上所述：当m Z或当m=2时，所给方程无实数解。4 例8.(2003年南昌市)已知关于x的方程-一二 m有实数根，求m的取值范围。x x 1解：原方程化为：mx2 x 10k 1 x2把x=1代入1，得所以当k=3时，解已知方程只有增根 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：(1) 将所给方程化为整式方程；(2) 由所给方程确定增根(使分母为零的未知数的值或题目给出)(3) 将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2.已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围 例

20、6. ( 2002年荆门市)k=3x=1。当k的值为(填出一个值即可)时，方程J只有一个实数根。x x解：原方程可化为：x2 2x k 0要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：(1)当方程1有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由 4 4k 0 得k= 1。当k= 1时，方程1的根为X1 X21，符合题意。(2)方程1有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由4 4k 0,得k 1。又原方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入1 得k=0，或k=3，均符合题意。综上所述：可填“一1、0、3”中的任何一个即可。例7. ( 2002年孝感市)4 ；而原方程的增根为要

21、原方程有实数根，只要方程 1有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即 可。(1) 当m=0时，有x=1，显然x=1是原方程的增根，所以 m=0应舍去。1(2) 当 m 0时，由1 4m 0,得 m 。4又原方程的增根为x=0或x=1，当x=0时，方程1不成立；当x 1, m 0。综上所述：当m且m 0时，所给方程有实数根。4评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基 本思路是：(1) 将所给方程化为整式方程；(2) 根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围, 注意排除使原方程有增根的字母系数的值。3.已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围例

22、9.当a取何值时，解关于x的方程： Jx 22x ax无增根?x 2 x 1解：原方程可化为:22x ax 30又原方程的增根为x=2或x 1，把x=2或x1分别代入1得:同时满足两个条件：（1）是由分式方程转化成整式方程的的根。（2）使最简公分母为又由 a2240知，a可以取任何实数。零。在解分式方程时，由于可能出现增根，因此我们在解分式方程时要验根，这是增根的基本用途。在近几年中考中出现了一类关于分式方程增根灵活运用的题。下面我-且a 1时，解所给方程无增根。2评注：解答此类问题的基本思路是：（1）将已知方程化为整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系 数的取值范围；（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。4.已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围例9.已知关于x的方程所以，当a们来看两种类型的应用:（一）由增根求参数的值这类题的解题思路为:将原方程化为整式方程（两边同乘以最简公分母）确定增根（题目已知或使分母为零的未知数的值）x解：原方程可化为：2x 2所以x 1 a2由题意，得：1 a2所以a1的根大于0,求a的取值范围。将增根