导数专题(三)零点问题教师版.docx

1、导数专题（三）一一零点问题（2013昌平二模理）（18）（本小 分13分）（零点）已知函数 f(x) 1X2 a In x( a 0).20,得 xa.V（0,），令 f '（X）(I)若a 2,求f(x)在(1,f (1)的切方程;（H）求f （ X）在区1,e±的最小；（III）若f（X）在区（1,e）上恰有两个零点，求a的取范（18）（本小分13分）解:(1) a 2, f ( X)X2 2ln X, f *( X) X2,2Xf'(1)1,f 2f(x)在(1,f(1)的切方程2x 2 y30.(H)由 f '(X)Xa-X?9.3分XX由a 0及定域

2、若7a 1,即0 a1,在(1,e) ±, f*( X) 0 ,f(x)在1,e ± 增,因此，f （ X）在区1,e的最小0 , f （ X）减；在（a 百上，f'（ X）增，因此f（X）在区1 ,e上的最小f(7a ) -a(l In a).2(1). 一2e,即 1 a e?,在(1,Va ) ±, f'( x)f（X）在1 ,e上减,若Va e,即a因此，f （ X）在区1,e上的最小上，当0 a 1时，fmin （ X）斗；当12丄 e? a 2e?时,fmin(X)1022a e?时，fmin(x) - a(1 Ina)2.9分由（）可

3、知当II0a皆时，要使f（X）在区（1,e）上恰有两个零点,或a "时，f（x）在（he）上是 增或减函数，不可能存在两个零点a 1X(,a1)a 1(a 1,f(x)0f(x)f ( X)和 f（X）的化情况如下:所以，a的取范In a) 0,1022a 0,e_ ,此时，e a -te? 1/ 22（2014西城期末理）(e,_218.(本小分13分）（零点）.13 分已知函数f（x）（X a）e其中e是自然数的底数,（I）求函数f（X）的区；(u)当 ag(x) f(x a)X2的零点个数，并明理由.18.（本小分13分)（I）解:因 f（X）（X所以f（X）(X a1)eX.

4、令 f（X）0,得X当X化，故f （ X）的减区（,a 1）；增区(a 1,（H）解：函数g（ X）有且有一个零点.理由如下:由 g（X）f ( X a) x? 0 ,得方程 xeX a x?,此方程的一个数解.所以X 0是函数g( X)的一个零点9分当X 0 ,方程可化eX a函数 F ( X) eX a X , F ( X) ex a 1即F ( X)的增区(a,当X化，F ( X)和F ( X)的化情况如下:X(,a)a(a,)F(x)0F(x);减区 (,a).11分所以F ( X)的最小F ( X)min所以 F (x)min F (a)1 a所以于任意 X R , F(X)0,因此

5、方程eX a X无数解.所以当X 0 ,函数g(x)不存在零点.13分上，函数 g(X)有且有一个零点.(2015上学期期末丰台理)18.(本小共13分)(像交点、已知函数f ( X) X eX(I)求函数 f(X)的极小；(H)如果直y kx1与函数f(X)的象无交点，求18.解：(1)函数的定域R.因 f(X)X e X所以f(X)eXeX(H)函数 f ( X)当 X 0 f（X）所以要使ykx1与f（X）无交点，等价于f（X） kx 1恒成立.令 g(x) X1),即 g( X)(1g117kx1与f（X）无交点;X(,0)0(0,)f(x)0+f(x)极小/0所以当X函数有极小f （

6、 X）极小值=f （0） 0 .1丄.eX0, y kO e。ei k©Ik 1,所以g (_J_)0 ,此不足k 1kxf（X）无交点.(1k)eX1当k1 ,令g（x）eX0 ' Xln(1 k)当X(,ln(1k),g（X）0, g（X）在（,ln(1 k)上减;当X(ln(1k),),g(x)0, g (X)在(ln(1 k),）上增;当Xln(1k ) , g (x)ming(ln(1 k) (1k)(1 ln(1k).由得(1k)(1ln(1 k) 01 ek 1即ykx 1与f （ X）无交点.1与f（X）无交点.上所述当 k (1e,1 , ykx13分（20

7、16城上学期期末理）（19）（本小共14分）（零点，化）eX已知函数 f(x) a( X In X).X（I）当a 1时，试求f（x）在（1,f （1）处的切线方程;(H)当a 0时，试求f(x)的单调区间；(皿)若f(X)在 (0,1)内有极值，试求a的取值范围.1 一解：(I)当a 1 时，f/(x)eX ( X 1)X2(1)0. f (1) e 1 .方程为y所以所以丄)X-eipc_1)ax)( X 1)0时，对于X (0,) , eX ax 0恒成立,f'(X)0 X 1 ；f' (X)0单调增区间为(1,),单调减区间为(eX0 X 10.(m)若f(x)在(0,

8、1)内有极值，则f'令 f(X)ax)(x 1)0X2(X)在 XXe ax(0,1).(0,1)内有解. eX a 一 .XeX设 g( X)XX (0,1)所以g ( X) 护(X 1),当XX所以g(X)单调递减 又因为g e,又当X即g (X)在X (0,1)上的域(0,1)时,(X)0恒成立,所以当a e时，f (X)H(x) 所以H(X) 因 H(0)0 时，g(X) (e,),(eX ax)(X1)0有解.eX ax, H (X) eX a 0 X 在X (0,1)单调递减.10, H(1) e a 0,(0,1),eX ax 在 X (0,1)有唯一解 xo .X(0,

9、 Xo)Xo(Xo ,1)H(x)0f'(x)0f(x)极小Z所以当a所以H(X)所以有：e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一当a e时，当X (0时，f'(x)0恒成立，f(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为（e,14分13分）（化、零点）（2015海淀一模理）（18）（本小 分已知函数 f （ X） a In X _ （a 0）.（I）求函数 f （ X）的X区；(H)若xffx)0b, c（其中b c ）,求a的取范，并明b, c (0,1).(18)(共 13 分)解：(l) f'(x)1 ax(i)当 a0 , f'(x)X2（X 0）.0

10、 ,函数 f（X）的减区是(0,(ii)当 a 0 ,令t '(X) 0 ,得 X.当 X 化，f '（X）,af（X）的化情况如下表X(0, JAJnL -)flf'(x)0f(x)极小/所以f （ X）的减区是（0,4-），增区是 （丄，）aaf ( X)在区(0,（U）由（I ）知:）内是减函数，所以，函数f （ X）至多存在一个零点，不符合zee- jE' x f(x) 0b, c,必f( _) 0a-在(0, a，即 a In- aa6分）内是减函数，在（_ ,）内是增函数，所以a所以要使令 g（x）,f( H-aln( 24-ae) , g '

11、;(X)aX 2ln x(x2a Ina a?a (a 2ln a).(X e). X，g '（X）0,所以，g（ X）在e,）上是增函数.所以当a e , g( a)a 2ln a g(e)0 .所以所以I2) f (a1 1f(X)在(所以1 , f ( _) 0, f (1) 1 aJ_,2)内存在一个零点，不妨 a。 af ( X)在(0,J )内是减函数，在a X f(x) 0 be.上所述，a的取范是(e, + ).V 1 )，C J ,1),a? a 所以b, c (0,1).(2015海淀上学期期末)(19)(本小 分已知函数 f ( X) a cos X X sin

12、X ,0,)内是增函数,a(I)判断函数f ( X)的奇偶性，并明你的；(H)求集合A(皿)当1 a(19)(共 13 分)解：(1)函数f(所以(H)当 a所以集合A0，令0.所以集合Ab,在C ,1)内存在一个零点，不妨a11分13分)(零点、三角函数)TT TT X I f ( X) 0中元素的个数;13分2 ,函数 f(x)有多少个极点？(只需写出)f(X)是偶函数，明如下:TT TT一T2 2TT TTX I 一2X) a cos( X)f ( X)是偶函数.X sin(a cos XX) a cos X X sin X f (x)X sin X 0 X TT TT,4恒成立,2 2 X I f ( X) 0中元素的个数0.TT TTf ( X) X sin X 0 ,由 X2 2 X I f ( X) 0中元素的个数(X) asinx sin xxcosx (1 a)sin x xcosx o,x(o,),-2所以所以TT函数f（X）是0,上的增