福建省莆田市2015届高中毕业班教学质量检查数学理试题(扫描版)

1、2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1D2A3B4A5B6C7C8A9B10D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11127.5131415三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分13分解：（）因为， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，1分则=1+(n1)1=n，2分从而Sn=n23分当n=1时，a1=S1=1，当n>1时，an=SnSn1=n2(n1)2 =2n1因为

2、也符合上式，所以an=2n16分（）由（）知，8分所以 ，10分由，解得n>1212分所以使不等式成立的最小正整数为1313分17本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想满分13分解：（）处应填入1 分3分4分因为T=，所以，即5分因为，所以，所以，从而得到的值域为7 分（）因为，又所以，得，9分由余弦定理得，即，所以11分所以的面积 13 分18本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整

3、合思想满分13分解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为、，方差分别为、， 2分， 4分因为，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加 5分（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=, P(D)=,且事件C与事件D相互独立 6分记甲按AB顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0,100,400P(=0)=P()=,P(=100)=P()=,P(=400)=P()=即的分布列为：0100400P所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望9分记甲按BA顺序获得奖品价值为，则的可能取值为0,300,400P(=0)=P()

4、=,P(=300)=P()=,P(=400)=P()=，即的分布列为：0300400P所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望12分因为，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高13分19本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想满分13分()证明：正方形ABCD中，CDBA，正方形ABEF中，EFBA2分EFCD，四边形EFDC为平行四边形，CE/DF3分又DF平面ADF，CE平面ADF，CE/平面ADF 5分 ()解：BE=BC=2，CE=，BCE为直角三角形，B

5、EBC，6分又BEBA，BCBA=B，BC、BA平面ABCD，BE平面ABCD 7分以B为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为由，得可取， 9分又，于是sin=，即11分结合，解得，即BK的取值范围为（0， 13分20本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想满分14分解：（）由题意得解得a=2，b=1，3分所以椭圆方程为

6、3分（）（i）解法一：由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2）由得(1+4k2)x24kx3=0，所以，又5分所以SPMN=|PD|·|x1x2|=6分7分令t=，则t，所以SPMN=，8分令h(t)=，t，+),则>0，所以h(t)在)单调递增，则t=，即k=0时，h(t)的最小值，为h(）=，所以PMN面积的最大值为9分解法二：由已知，直线MN的斜率存在，设直线MN方程为y=kx，M（x1，y1），N（x2，y2）由得(1+4k2)x24kx3=0，所以5分所以|MN|点P（0，1）到直线MN的距离d=6分所以SPMN=|MN

7、|·d=7分以下同解法一（ii）假设存在PMN是以O为中心的等边三角形（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上又O为PMN的中心，所以，可知从而|MN|=，|PM|=，|MN|PM|，与PMN为等边三角形矛盾（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|PM|，与PMN为等边三角形矛盾10分（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=，又O为的中心，则，可知设M（x1，y1），N（x2，y2），则，又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得kMN=，11分从而kMN=12分所以kOP·kMN=&

8、#183;（）= 1，所以OP与MN不垂直，与等边PMN矛盾13分综上所述，不存在PMN是以O为中心的等边三角形14分21本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分解：（）由已知得解得 2分此时，（x>0）令，得，f(x)，的变化情况如下表：x(0，1)1（1，+）+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+） 4分（）（x>0）（1）当a0时，恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+）上单调递增，不合题意，舍去5分（

9、2）当a<0时，令，得，f(x)，的变化情况如下表：x(0，)（，+）+0f(x)单调递增极大值单调递减所以函数f(x)的增区间为（0，），减区间为（，+） 7分要使函数f(x)在区间(m，+)上不单调，须且只须>m，即 所以对任意给定的正数m，只须取满足的实数a，就能使得函数f(x)在区间(m，+)上不单调 8分（）存在实数x0（x1，x2），使直线AB的斜率等于 9分证明如下：令g(x)=lnxx+1（x>0），则，易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)0，从而得lnxx1 （*） 10分由，得 11分令，则p(x)，q(x)在区间x1，x2上单调递增且，结合（