理论力学_6.运动学基础

1、t )(12)(ttt 运动学运动学运动学研究的对象运动学研究的对象运动学学习目的运动学学习目的运动是相对的运动是相对的瞬时、瞬时、时间间隔时间间隔运动分类运动分类运动学的一些基本概念运动学的一些基本概念是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。 (包括:轨迹，速度，加速度等)不考虑运动的原因。 建立机械运动的描述方法 建立运动量之间的关系为后续课打基础及直接运用于工程实际。( relativity ):参考体(物);参考系;静系;动系。1)点的运动 2)刚体的运动引引 言言 5 点的运动点的运动 6 刚体的基本运动刚体的基本运动第五、六章第五、六章 运动学基础运动学基础51. .运动方

2、程，轨迹运动方程，轨迹2.2.点的速度点的速度3.3.加速度加速度( ) trOMr0limtdtdtrrvr220limtddtdtdtvvrar5-1 5-1 点的运动点的运动一、一、矢量法矢量法点的运动的矢径法二、点的速度二、点的速度ABOMM)(tr)(ttrrvv)()(trttrrMM则则trv表示动点在时间间隔表示动点在时间间隔 内运动的平内运动的平t均快慢和方向，称为点的均快慢和方向，称为点的平均速度平均速度。 当当 时，平均速度的极限矢量称为动时，平均速度的极限矢量称为动点在点在t瞬时的瞬时的速度速度。即。即0trdtrdtrvvtt00limlim即：即：点的速度等于它的矢

3、径对时间的一阶导点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数数。方向沿轨迹的切线方向。方向沿轨迹的切线方向。 如图，动点如图，动点M在时间间在时间间隔隔 内的位移为内的位移为t点的运动的矢径法三、点的加速度三、点的加速度MMvvvvaa 如图，动点如图，动点M在时间间隔在时间间隔 内速度矢量的内速度矢量的改变量为改变量为tvvv则则tva表示动点的速度在时表示动点的速度在时 t内的平均变化率，称为内的平均变化率，称为间间隔间间隔平均加速度平均加速度。 当当 时，平均加速度的极限矢量称为时，平均加速度的极限矢量称为动点在动点在t瞬时的瞬时的加速度加速度。即。即0trvdtvdtvaatt 00limli

4、m即：即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。81.1.运动方程轨迹运动方程轨迹2. .点的速度点的速度 xyzrijkddxdydzdtdtdtdtrvijkxyzvvvvijk2z2y2xvvvvcos()xvvvi，cos()yvvvj，cos()zvvvk，二、二、直角坐标法直角坐标法9 3. 加速度加速度. 222222yxzxyzdvdvdvddtdtdtdtd xd yd zaaadtdtdtvaijkijkijkzyxaaaa222cos() xaaai，注注 这里的这里的

5、 x,y,z 都是时间单位连续函数。都是时间单位连续函数。 (t)fz(t)fy(t)fx321当消去参数当消去参数 t 后后,可得到可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。形式的轨迹方程。点的运动的直角坐标法例例1ABMRO 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。tABMOxy2 解：建立如图所示的直角坐标。则2cos2sinRyRx即为小环M的运动方程。tRytRx2cos2sin即tRxvx2cos2 tRyvy2sin2 点的运动的直角坐标法例1故M点的速度大小为Rvvvyx222ABMOxy2vx

6、vyv其方向余弦为2cos),cos(vvivx2sin),cos(vvjvy如图。xtRvaxx2242sin4 ytRvayy2242cos4 故M点的加速度大小为2224Raaayx且有rj yi xj yi xa22224)(444加速度的方向如图。a点的运动的直角坐标法例2半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度为已知值u，试分析轮子边缘一点M的运动。MMRo点的运动的直角坐标法取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为)sin(sinROMACx)cos1 (cosROMOCy这

7、是旋轮线的参数方程。oRCAxyM例2点的运动的直角坐标法例2M点的速度为：jRiRj yi xv)sin()cos1 (其中 可由轮心速度求出：RdtRdxuO/ )(当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。k2oRCAxyM此时M点的加速度是否为零？为什么？15三、自然坐标法三、自然坐标法 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的动点的位置的方法叫位置的方法叫自然坐标法自然坐标法。 1.1.弧坐标弧坐标, ,自然轴系自然轴系（1）弧坐标的运动方程弧坐标的运动方程S=f (t)b = n以M点为原点，以其切线、主法线、副法线为坐标轴所建立的正

8、交坐标系 当动点M沿曲线运动时，自然轴系随动点运动，n和b大小都不变，但方向会不断变化。 （2）自然轴系自然轴系点的运动的自然法三、自然轴系三、自然轴系M)()(Ms密切面法面切线主法线副法线Mnb 如图。由三个方向的单位矢量构成的坐如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为标系称为自然轴系自然轴系。且三个单位矢量满足右。且三个单位矢量满足右手法则，即手法则，即nb自然轴系不是固定的坐标系。自然轴系不是固定的坐标系。182.点的速度点的速度0000limlim ()limlimttttSSdSdtSttSdtdSdSvdt rrrrv19切向加速度切向加速度 -表示速度大小的变化22dddvd

9、d Sd()vvdtdtdtdtdtdt vav 22dvd Sdtdtaa3.点的加速度点的加速度法向加速度法向加速度 -表示速度方向的变化0020limlim()limntttdSvvvdttStvS a)lim(0vdtdStStna20由图可知1)22sin(lim2sin2lim|lim000dSdSSSttt2sin22sin| 2|22sin, 0,0St时当 于是1|2ddnvvaaantnnaaaaa|arctg ,222nvan即点的运动的自然法四、用自然法表示点的速度四、用自然法表示点的速度 由点的速度的矢径法由点的速度的矢径法dsrddtdsdsdsdtrddtrdv由

10、于由于dsrd所以所以vtsdtdst0limdtdsvv即：即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当轨迹的切线方向，当 为正时指向与为正时指向与 相同，相同，反之，与反之，与 相反。相反。dtds点的运动的自然法 五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 由点的加速度的矢径法由点的加速度的矢径法dtdvdtdvvdtddtvda)(由于nvdtd所以nvdtdva2上式表明加速度矢量上式表明加速度矢量 是由两个分矢量组成：分矢是由两个分矢量组成：分矢量量 的

11、方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。速度，它表明速度方向随时间的变化率。adtdva nvan2点的运动的自然法五、用自然法表示点的加速度五、用自然法表示点的加速度 加速度在三个自然轴上的投影为加速度在三个自然轴上的投影为sdtsddtdva 222van0ba 全加速度位于密切面内，其大小为全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(vdtdvaaan方向

12、余弦为方向余弦为aaa),cos(aanan),cos(24四、极坐标法四、极坐标法当点作平面曲线运动时，也可以用极坐标描述其运动。 （1）运动方程（2）点的速度于是 （3）点的加速度可以证明 于是某些问题用极坐标描述点的运动很方便。可以证明五、柱坐标法五、柱坐标法)()()(321tfztfrtf柱坐标法方程柱坐标法方程271. 与与 有何不同有何不同?就直线和曲线分别说明就直线和曲线分别说明。dtvddtdv ( (直线直线. .曲线都一样曲线都一样), ), 为速度的为速度的大小变化率大小变化率, ,在曲线中应为切向加速度在曲线中应为切向加速度 。adtvdadtdvdtdva 六、点的

13、运动学问题举例六、点的运动学问题举例282.指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动? , , , 0na常数a0a常数0a0na常数va, 0常数常数naa, 00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)29 3.点作曲线运动点作曲线运动, 画出下列情况下点的加速度方向。 M1点作匀速运动 M2点作加速运动 M3点作减速运动4.判断下列运动是否可判断下列运动是否可 能出现能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动? ?(加速运动加

14、速运动) (不可能不可能) (匀速曲线运动匀速曲线运动) (不可能或改作不可能或改作 直线加速运动直线加速运动) (不可能或改作不可能或改作直线减速运动直线减速运动)(不可能不可能) (减速曲线运动减速曲线运动)305. （1）点作直线运动时）点作直线运动时,若其速度为零若其速度为零,其加速度也为零其加速度也为零 （2）点作曲线运动时）点作曲线运动时,若其速度大小不变若其速度大小不变,加速度是否一定加速度是否一定 为零为零答答: :（1 1）不一定）不一定. . 速度为零时加速度不一定为零速度为零时加速度不一定为零( (自由落体上抛到顶点时自由落体上抛到顶点时) ) （2 2）加速度不一定为零

15、，只要点作曲线运动，就有向）加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向 心加速度心加速度6.6.切向加速度和法向加速度的物理意义？切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化答：表示速度大小的变化 表示速度方向的变化表示速度方向的变化dtdva 2van317.点点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？越跑越快，还是越跑越慢？常数bdtdSvabtS 222 , , 0baabvadtdvann 由于

16、点由外向内运动由于点由外向内运动,曲率半径曲率半径 越来越小越来越小,所以加速度所以加速度越来越大越来越大。而速度。而速度 v = =常数常数, ,故点运动快慢不变。故点运动快慢不变。解：解：例例1 正弦机构中，曲柄OA=r，以=t(rad)的规律绕轴O转动，为常量。设r，l，都是已知量，试求槽杆端点M的运动方程、速度和加速度。解解：点M的运动为水平方向的直 线运动 lrlOAxsinsin点M的速度和加速度 trdtdxvcostrdtdvasin2 例例2 机构中的小环M，同时活动地套在半径为R的大圆环和摇杆OA上。摇杆OA绕O轴以等角速度 转动。当运动开始时，摇杆在水平位置。求小环M的速

17、度与加速度。解：解：大圆环相对于地面固定，小环M的运动轨迹已知。可用自然法和直角坐标法求解。1）自然法tRtRMOMMs22100dtdva222244RRRRvanRdtdsv2速度大小 切向、法向加速度大小 2224Raaan全加速度的大小 2）直角坐标法直角坐标法tRRRRx2coscostRRy2sinsintRdtdxvx2sin2tRdtdyvy2cos2Rvvvyx222取坐标系Oxy，M点的运动方程为速度大小为tvvxx2sin),cos(vv速度方向tx290),(vv与x轴夹角为与MO1垂直，指向转动方向。tRdtdvaxx2cos42tRdtdvayy2sin42M点的加

18、速度2224Raaayx全加速度大小taaxx2cos),cos(aa全加速度方向tx2180),(aa即与x轴夹角为沿MO1，指向O1点。本章作业n 5-4,5-6,5-7,5-13,5-15例例 指刚体的平行移动和定轴转动基本运动基本运动6 刚体的基本运动刚体的基本运动 由于研究对象是刚体,所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小,又由于刚体是几何形状不变体,所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定,只要根据刚体的各种运动形式,确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。1. .刚体平动的定义刚体平动的定义: : 刚体在运动中刚体在运动中, ,其上任意两点的连线始终保持方向不变。其上

19、任意两点的连线始终保持方向不变。( )( )AABBt ,trrrrAB在运动中方向和大小始在运动中方向和大小始终不变终不变 它的轨迹它的轨迹可以是直线可以是直线可以是曲线可以是曲线一、刚体的平行移动一、刚体的平行移动( (平动平动) )由由A,B 两点的运动方程式两点的运动方程式:BAABrrr考虑到， 为常矢量A Br2.刚体平动的特点刚体平动的特点: : 平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状平动刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状, ,速度速度, ,加速度加速度都一样。都一样。 即即: :平动刚体的运动可以简化为一个点的运动平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。222222:()BABAAB

20、Addddtdtdtrrarra同理()(0)BAABBAABAdddddtdtdtdtrrrvrrv 刚 体 平 动例：曲柄连杆滑块机构，试判断连杆的运动形式OABCRvPPP3-1-2 刚体的平移与定轴转动刚体的平移与定轴转动3-1 运动学基础二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动1.1.刚体定轴转动的特征及其简化刚体定轴转动的特征及其简化 特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。2.2.转角和转动方程转角和转动方程 -转角,单位弧度(rad) =f(t)-为转动方程 方向规定: 从z 轴正向看去, 逆时针为正 顺时针为负一、实例: 定轴转动3-1-2 刚体

21、的平移与定轴转动刚体的平移与定轴转动3-1 运动学基础3-1-2 刚体的平移与定轴转动刚体的平移与定轴转动3-1 运动学基础刚 体 的 定 轴 转 动 转动特征、转动方程转动特征、转动方程 在刚体运动的过程中，若刚体上或其延在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始终不动，则刚体的伸部分上有一条直线始终不动，则刚体的运动称为运动称为刚体的定轴转动刚体的定轴转动，简称，简称转动转动。该。该固定不动的直线称为固定不动的直线称为转轴转轴。(平面上为定点平面上为定点)Oz面平静面平动 如图，角如图，角 称为称为位置角位置角。 当刚体转动时，角当刚体转动时，角 是时是时间间t的单值连续函数，

22、即的单值连续函数，即)(t这就是刚体的这就是刚体的转动方程转动方程。(开门开门)刚体上任意一点的轨迹都为圆。 如果取转轴z的单位矢量为k，则转动方程可按右手法则表示成为矢量形式k 它位于转轴z上，其起点可在轴线上任取，是滑动矢量，如图所示。3.角速度角速度工程中常用单位： n = 转/分(r / min)则则n与与的关系为的关系为:)nnn(rad/s1030602)(:tf 则单位单位 rad/s若已知转动方程f(t) ddt 4. .角加速度角加速度 与与 方向一致为加速转动方向一致为加速转动, , 与与 方向相反为减速转动方向相反为减速转动 5.匀速转动和匀变速转动匀速转动和匀变速转动

23、当 = =常数常数,为匀速转动匀速转动；当 = =常数常数,为匀变速转动匀变速转动。221202200ttt常用公式常用公式与点的运动相类似与点的运动相类似。22:( )ddftdtdt角加速度单位单位:rad/s2 (代数量代数量) , , 对整个刚体而言(各点都一样)； v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。tSdtdSvt0limRtRvt0limRv( (即角量与线量的关系)三、转动刚体内各点的运动三、转动刚体内各点的运动2.点的速度点的速度v和角速度和角速度 之间的关系之间的关系1.各点的轨迹各点的轨迹圆圆,)(RRdtdRdtddtdva222)(RRRvan4222|Raa

24、aaann全22 tanRRaan3.点的加速度点的加速度an ,a 与角加速度与角加速度 的的关系关系结论结论: v方向与方向与 相同时为正相同时为正 , R ,与与 R 成正比。成正比。 各点的全加速度方向与各点转动半径夹角各点的全加速度方向与各点转动半径夹角 都一致都一致, ,且且 小于小于9090o o , , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: :各点速度分布图各点速度分布图各点加速度分布图各点加速度分布图8.2刚 体 的 定 轴 转 动例例1xyOA0vhx 物块以匀速v0 沿水平直线平动。杆OA可绕O轴转动，杆保持紧靠在物块的侧棱上，如图。已知

25、物块的高度为h，试求OA杆的转动方程、角速度和角加速度。 解：建立如图的直角坐标。则htvhxtg0故OA杆的转动方程为)(0htvarctg角速度为22020tvhhvdtd角加速度为2230230)(2tvhthvdtd( 角从零递增)例例3试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO 例例3试画出图中刚体上两点在图示位置时的速度和加速度。),(2121ABOOBOAO 例例4 搅拌机机构，其中AB = O1O2，O1A = O2B = 25cm；若O1A绕O1轴转动的转速n = 384 rpm，试分析M点的轨迹、速度和加速度。解解：构件ABM作平动，M点

26、的轨迹与点A相同，为r = O1A的圆周。M点的速度vM和加速度aM分别AOvM（m/s）425. 0/1/22rvaaMnM（m/s2）M点的速度和加速度分别为解解：鼓轮作定轴转动 （2）点M的运动分析192. 02 . 116. 0rvM42422 . 12 . 116. 0raM833. 02 . 12 . 1tan228 .39（m/s）=0.3（m/s2）,23 . 0 tt 6 . 0 （1）鼓轮的运动分析（3）重物A的运动分析)/(192. 0smvvMA)/(192. 02 . 116. 02smraaMA 例例5 半径r =160mm的卷扬机鼓轮绕轴

27、O转动，其运动规律为 （rad），其中t以秒计。求t = 2s时轮缘上一点M及重物A的速度和加速度。设缆绳不可伸长。31 . 0 t用角速度矢与其矢径的矢量积表示用角速度矢与其矢径的矢量积表示 M点的速度：点的速度：v =r 方向方向：垂直于与r组成的平面，在动点M轨迹的切线方向，正好与M点速度方向相同； 大小：大小：|r| = |r|sin= RM点的加速度点的加速度的矢量表示：的矢量表示： ()nddddtdtdt ra rrr vaaaRsinrr2sin90()vRRv 我们常见到在工程中,用一系列互相啮合的齿轮来实现变速,它们变速的基本原理是什么呢? 四、绕定轴转动刚体的传动比四、绕

28、定轴转动刚体的传动比1.1.齿轮传动齿轮传动因为是做纯滚动(即没有相对滑动)定义齿轮传动比齿轮传动比EFEFFEEFZZrriEFvv EFvv EEFFrr（1 1）内啮合内啮合DDCCDCDCrrvvvvCDCDDCCDZZrritrZ2齿数EFEFEFZZtrtrrr/ 2/ 2（2）外啮合外啮合由于转速n与有如下关系：成正比2121 602nnn从动轮主动轮即121221212, 1:zzrrnni显然当: 时, ,为升速转动； 时, ,为降速转动。1|2, 1i121|2 , 1i123.链轮系链轮系: 设有： A,B,C,D,E,F,G,H 轮系,则总传动比为：HGGFFEEDDC

29、CBBAmHGGFFEEDDCCBBAmHAHAiiiiiiii, ) 1() 1( 其中m代表外啮合的个数；负号表示最后一个轮转向与第一个轮转向相反。2.皮带轮系传动皮带轮系传动BAvv (而不是 方向不同 ) BAvv BBAArr皮带传动ABBAABrri五、五、角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示1. 角速度和角加速度的矢量表示角速度和角加速度的矢量表示|:|dtd大小k方向如图kkdtddtd 按右手定则规定按右手定则规定 ， 的方向。的方向。 2. 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示刚体内任一点的线速度和线

30、加速度的矢积表示RrrrRvsin|sinvrdtrdrdtddtrddtvda)(vraRvvaRrraon290sin|sin|ravanrarvvan一一.基本概念和基本运动规律及基本公式基本概念和基本运动规律及基本公式1. 基本概念：直线运动基本概念：直线运动,曲线运动曲线运动 (点点) ; 平动平动,定轴转动定轴转动 (刚体刚体)。2. 基本运动规律与公式基本运动规律与公式:点的运动学与刚体的基本运动点的运动学与刚体的基本运动习题课习题课dtdva 点点的的运运动动加速度aanavs匀速000匀变a =C0 a =C直线运动变速0匀速0匀变a =C曲线运动变速dtdva Cv vtt

31、fs )(atvv 02021attvs tadtvv00 tvdts0dtdva 2van 2van 2van 2va 22naaa 22naaa Cv tavv 0 tdtavv00 vts 2021tatvs tvdts0 刚体定轴转动刚体定轴转动转动方程转动方程:角速度角速度:)(tf dtd 22dtddtd 角加速度角加速度:匀速转动匀速转动:匀变速运动匀变速运动:t0t 020021tt 2202 二二. .解题步骤及注意问题解题步骤及注意问题1.1.解题步骤解题步骤: :弄清题意,明确已知条件和所求的问题。选好坐标系：直角坐标法，自然法。根据已知条件进行微分，或积分运算。用初始

32、条件定积分常数。 对常见的特殊运动，对常见的特殊运动，直接应用公式计算直接应用公式计算。注意问题：注意问题：几何关系和运动方向。求轨迹方程时要消去参数“t”。坐标系（参考系）的选择。三三. .例题例题例例1列车在列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长l=200m，当列车开始走上曲线时的速度，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开，而将要离开曲线轨道时的速度是曲线轨道时的速度是v148km/h。求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？a解解：由于是匀变速运动，则常量。由公式而由已知savv2202,m200lsm/s3403600100048 ,m/s3253600100030m/s27.020029625160021022021vvsvva列车走上曲线时，全加速度列车将要离开曲线时，全加速度222002m/s23. 0300)3/25(