第2章极限与连续

1、第2章极限与连续2. 1初等函数函数是研究经济现象的重要工具，用数学方法解决经济问题的重要方面，就是用微积分 的方法研究经济领域中出现的一些函数关系，微积分学所研究的函数主要是初等函数.2.1.1 函数定义 对于变量X和变量y ,如果对变量X在其允许取值范围内的每一个值，变量y依照某种对应法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称y是X的函数，记作y = f(x)其中X为自变量，y为因变量或函数，X的取值范围叫函数的定义域，y的取值范围叫函数的值域.例1某种型号MP3当单价为280元时，每月可销售 1000个，如果单价每降低 10元 可多销售70个，且单价不得低于200元.试将销量q表示为单价P的

2、函数，写出其定义域,y = sin X ,并求出单价为230元的月销售量.函数的几何特性包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。比如正弦函数X忘R, (1 )是奇函数，其图象关于原点对称；(2)是周期函数，其最小正周期是 2沢;(3)是(处+ 乂)上的有界函数,sin X <1 ； (4)在区间I内是单调增加的，在区2丿间-12内是单调减少的，如图所示.2丿X2.1.2初等函数1基本初等函数在中学已经学过的以下六类函数，统称为基本初等函数：(1)常量函数 y = C (C为实常数).(2)幕函数y = x。(3)指数函数xy = a科技中常用的函数xy =e(4)对数函数y = log(a为

3、实常数).(a为正常数且a工1).a X (a为正常数且a H1).是其特例，其中e是无理数， 2.718281111!当a =e时，y=iogeX称为自然对数，记为 y =1 nx .(5)三角函数正弦函数 y=sinx ;余弦函数y =cosx;正切函数y = tanx ；余切函数y = cot X ；正割函数 y = secx ；余割函数=cscx.(6)反三角函数反正弦函数 y = arcs in x;反余弦函数y = arccosx ;反正切函数y =arctanx ；反余切函数y = arccot x.2复合函数设y是u的函数y = f (u) , u是x的函数u = (x),如果

4、由x所确定的u使得y有意义，则y是x的函数，记作y = fW(x).我们称y = f 玖x)为y = f (u)与u =®(x)的复合函数，其中u称为中间变量.例 2 设函数 y = f(u)=u2 +2u+3 , u=W(x)=2x-1，求复合函数 y = f®(x).例3指出下列复合函数的复合过程: y =(x2+1)50;(2)y =ln tan(；)3.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成,并且可以用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，y=2Xsinx+cos(2x+1), y =Vx2 -1e3x,y=¥等都是初等函数.sin

5、x2.1.3分段函数如果在自变量的不同变化范围内,函数的对应法则不相同，即用两个或两个以上数学式子表示的函数，称为分段函数.例4 设函数f（X ）= «- 2X ,3,1 +X,0 CX <32.2.1极限概念1.实例2. 2极限，求f（-1）, f（0）, f（2）及函数的定义域.（1）探讨函数fU 1-1当X取正值且无限增大时的变化趋势.12丿12丿根据自变量与函数值的对应数值表或函数图象，观察并分析函数XT +处的过程中的变化趋势.表1f（X ）当X T +处时的变化趋势X12341011T +处A 丫f（X ）= - 112丿111111T 02481610242048

6、（单向）图AM观察表1及图，可见X越来越大时，f（X ）越来越接近于0；当X取正值且无限增大时,f（X ）大于0且无限接近于0 ,我们称函数f（X ）在XT +处时的极限是0 ,记为1 2（2）探讨函数f（X ）=-和g（x ）= X2当X的绝对值无限增大时的变化趋势.X表2函数在XT处时的变化趋势x1-10100-100010000T处1 f(x x1-0.10.01-0.0010.0001T 0(双向)g(x)=x2110010 0001 000 000100 000 000T0203-4观察表2及图3-4、图3-5 ,可以看出，当x无限增大(可正可负)时，函数1 f(x)=-X的值从左右

7、两侧无限接近于常数0,我们称函数f(x )当XT处时的极限是0,记为lim 1 =0 ;而当ix无限增大时,函数 g(x )= x2的值无限增大，不趋近于任何常数,此时函数没有极限，或称极限不存在.(3)探讨函数f(x) = 厶电当x无限趋近于2时的变化趋势.X 2表3函数在x = 2附近的对应数值表x1.91.951.991.9992.0012.012.052.1f f X2 -4 f (x)=X -23.93.953.993.9992.0014.014.054.1由表3及图3-6可以看出,当x从左右两侧趋近于(但 XH2 )时，f(x )无限地趋近于常数4,我们称当XT 2时f(x )的极

8、限是4，记为limJ=4 .x-2X0 )时的变化趋势，即函数XT *，参见表4)时，相XT *时f(x )的极限是A,研究函数的极限，就是讨论函数f(x )当XT处(或XT 值是否有无限接近于某个固定常数的变化趋势2.极限定义定义 设函数y = f(X )，如果当X具有某种变化趋势(记作应的函数值f(X )能够无限地趋近于某个固定的常数A,则称当记作lim f(x)=A如果自变量XT*时，函数f(X )不能无限接近任何常数，则称此时函数f(X )不存在极限(或没有极限).表4自变量X函数f(x)自变量的变化趋势记号函数值的变化趋势极限记号X的绝对值无限增大XT处函数值f(x )无限地趋近于某

9、个固定的常 数A,即fUH Alim f(x)= AXX只取正值且无限增大XT +处lim f(x)= AX只取负值且|x无限增大XT 二lim f(x)= AX从左右两侧无限接近于常 数X0但不等于X0XT X0lim f(X )= AX从X0左边无限接近于常XT X0 lim f(x)=A数Xo但不等于XoX从Xo右边无限接近于常数Xo但不等于Xo+XT Xolim f(x)= A JX)十其中lim f（x淋为f（x ）在点xo的左极限，lim f（x）称为f（x）在点x。的右极限，且 XTXo-一xo +lim f(x)=A 的充分必要条件是lim f (x )= A = lim+f

10、(x ).亠x。一JXo 十x_3X0Xo显然有,limx=x0, limC=C (C为常数).x_3xo4可以证明（证明从略），两个常用的极限是limSinxT X=1 ,limGLe.y X丿222无穷小量在某个变化过程中，极限为0的函数，其绝对值可以无限变小，我们称它为无穷小量;相反地，我们称某变化过程中绝对值无限增大的量为无穷大量.定义 极限为0的变量（或函数）称为无穷小量，简称无穷小.例如，当XT 1, x2 -1是无穷小量；当XT g 时，ex是无穷小量；当XT处时, t是无穷小量.X显然，无穷小量和无穷大量存在倒数关系，即在自变量的同一变化过程中，无穷大量的 倒数是无穷小量，非零

11、的无穷小量的倒数是无穷大量.2.2.3极限运算定理设lim f(x)=A, limg(x)=B，则(1) limf (xg(x)lim f (x )±炖 g(x )= A ± B即：函数和（差）的极限等于函数极限的和（差）(2) ymf(x) g(x) =|四 f(x) g(x)= A B即：函数积的极限等于函数极限的积.特别地，limCf（X） =Clim f（X）（C 为常数）limf(x)lim f (x)n (n 为正整数)f(X)Ae c、(3)hm =(BhO)T g(x)limg(x) b'I即：函数商的极限等于函数极限的商(分式分母的极限不为上述法则

12、可以推广到有限个函数的代数和及乘积情况.注意，法则要求参与运算的“各个函数极限均存在”，且法则(3)还必须满足“分母的极限不为0”；否则，不能直接使用法则.求 lim F 17 2x2 -x-1lim窖7x2 4sin 3x limT 2x23x -x+3 lim2Y 5x2 +12.2.4连续复利公式设本金为P，年利率为i，每年计息1次，那么由2.1.2的讨论知，按复利计算的第n年末的本利和是F = P(1 +i )n，这是以年为单位计息的复利公式.如果不按年计息，而把一年均分为 m期付息，这时每期复利率为 -,n年共计息mn m.资金周转过程是不断进行的，计算利息分次，所以第n年末的本利和

13、为F = PG +-I m丿期越细越合理.假设计息期无限缩短，即计息期数m T ,这样进行计算利息称为连续复利，由于mi VmJinz i Yn了 . ilim PM+丄 I = P lim M +丄 i' m 了 V m丿卜所以以连续复利计息时，第n年末的本利和的复利公式是=PeinF = Pein .例5某人要购买一套价值为 80万元的商品房，设贷款期限为10年，年利率是6%试 计算10年末还款的本利和.(1)按每年计息12次计算；(2)按连续复利计算.2. 3函数的连续性2.3.1函数的增量定义设变量U从它的初值U0变到终值ui ,则终值与初值之差U1 -U0叫做变量U的增量（或

14、改变量），记作Au ,即iu =5 -u0.对于函数y = f （X ），当自变量X从初值Xo变到终值x0 +Ax时，对应的函数值也由f（x0 ）变到f（x0 +也X ），即函数值增量（或改变量）是3 = f(X0 +ixf (Xo )2.3.2连续性概念定义 设函数y = f（X）在点x0及其左右近旁有定义，若lim f(X)= f (x0),3Xo则称函数y = f（X）在点x0连续.也就是说,函数y = f（X）在点Xo连续须同时满足下述三个条件:（1）函数y = f（x）在点Xo及其左右近旁有定义，即 f（xo）是一个确定的数;（2）函数y = f （X）在Xo点有极限，即极限lim

15、f （x）存在;（3）极限值等于该点的函数值，即lim f（X）= f（x0）.若以上三个条件中有一个不满足，函数y = f （X）在点x0就间断（即不连续）.例如,2 1函数y=3x -1在点x=1连续，而 x=0是函数y=的间断点.X若函数f（x）在区间（a,b）内每一点都连续，则称函数f（X）在区间（a,b）内连续.例如,y =si nx在（丄J中处）内连续.若函数f（x）在开区间（a, b）内连续，且lim f（x）= f（a）, xTa十lim f(X)= f (b)，则jb 称f（X）在闭区间a,b上连续.可以证明，初等函数在其有定义的区间内都是连续的 从 而,初等函数在其定义域内某点处的极限值等于该点处的函数值.例如,兀l