2019年普通高等学校招生全国统一考试(1)

1、年普通高等学校招生全国统一考试3一、选择题：本大题共 12小题,每小题数学（理科）5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合0,1,2,3, 4，集合 Bx|x 2n, n A，则 AI B ()A. 0.0,2,4.2, 4D . 0, 22若复数A. 23i/ (a 1 2iBR , i是虚数单位）是纯虚数，则z的值为（）.2i3.在某次联考数学测试中,学生成绩服从正态分布（100, 2（0），若 在（80,120）内的概率为0.8 ,则落在（0,80）内的概率为A. 0.05B.0.1C.0.15 D.0.24.命题P :R , x2,命题q :R ,

2、 sin2cos21.5，则下列命题中，真命题是A.p q(q)5.已知数列an的前n项和为Sn ,且满足an2an 1an ,35433，则 S7()A. 71214.216 .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序,输出的结果是（A.3B.11C.38D.1237.直线l : xmy2与圆M : x2则m的值为（)A.1或6B.1或7C.1或7D.1或-22xy2 2y&已知曲线y3l nx开始T11的一条切线的斜率为一，则切点的横坐标为（2x49.已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是（)A.，则m若 m/, m/ ，则 /c.若/m/，贝y m/2x10.已知双曲线ra1(

3、a0,b0）的一个焦点到一条渐近线的距离为逅c （c为双曲线的半焦距3长），则该双曲线的离心率为3452D . 34511.若a, b, c均为单位向量，a bxayb(x, yR），则 xy的最大值是（）.4212函数f（x）是定义在R上的偶函数,且满足f(x 2) f (x).当 x0,1时，f（x） 2x .若在区间2,3上方程ax 2af （x） 0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）2 22 42A. (2,2) B . (-,4)C . (-,2)D . (1,2)5 33 53二、填空题：本大题共2 43,54小题,每小题5分,满分20分.13.设(1 x)(12x)

4、5 a。a1xa2X26a6X ，则 a214.已知函数ysin( x)(0,0）的图象如图,2则15.已知偶函数f(x)在0,）上单调递减，f(2) 0,若 f(x 1)0 ,则x的取值范围是.16.曲线 f (x)x 3上任-x-点P处的切线与直线x 0和直纟三、解答题：17.（本小题满分12分）在等比数列an中，a? 2, a5 16（1）求等比数列an的通项公式;x所围成的三角形面积为（2）若等差数列bn中，D a5,b8 a2，求等差数列bn的前n项的和Sn，并求&的最大值.区间75,80)80,85)85,90)90,95)95,100人数50a350300b(2) 现在要

5、用分层抽样的方法从这(3) 在(2)中抽取的40名学生中, 求X的分布列与数学期望.频率19.(本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA 底面ABCD , M是棱PD的中点，且PAAB AC 2, BC 2迈.18.(本小题满分12分)某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 85分及其以上为优秀.(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b的值；1000人中抽取40人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； 要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ,求证：CD丄平面PAC ;(2)如果N是棱

6、AB上一点，且直线 CN与平面MAB所成角的正弦值为 西，求空 的值20.(本题满分12分)已知抛物线 寸 2px(p 0)的准线与x轴交于点M( 1,0).(1 )求抛物线的方程，并写出焦点坐标;(2)是否存在过焦点的直线 AB (直线与抛物线交于点 A，B)，使得三角形MAB的面积等于4运？若存在，请求出直线 AB的方程；若不存在，请说明理由21.(本小题满分12分)已知函数f(x)ax 1 ( a为常数J ,曲线y f (x)在与y轴的交点A处的切线斜率为1 .(1)求a的值及函数f (x)的单调区间;(2)证明：当x 0 时，ex(3)证明：当n N 时，1ls(3e)请考生在22、2

7、3题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点O为极点，x轴42正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2cos(7).(1) 判断直线I与曲线C的位置关系；(2) 设M为曲线C上任意一点，求x y的取值范围.23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知f(x) |x 2| .(1)解不等式xf (x) 30 ；(2)对于任意的x ( 3,3)，不等式f(x) mx恒成立，求m的取值范围.数学（理科）答案、选择题：本大题共 12

8、小题,每小题5分，满分60分.题号123456789101112答案BCBDCBBADBDA1【解析】Bx|x2n,n A0,2,468，二 Al B 0, 2,4.2.解析】za 3i2i(a 3i)(12i)(1 2i)(12i)a 63 2a. z是纯虚数,3.【解析】P(04.解析】6 , z 3i. i1 q假，80)P(80120 0.1 .5.解析】-as命题p真，命题an 22an 1an 1 an 1 an ,4 a3，a3a57(a1a7)7(a3_2an ,数列as)则命题q真，故选D.an为等差数列.14 .6.解析】第一次输出的值为 1223，第二次输出的值为 322

9、11 .7.解析】2圆方程可化为（X 1）(y1)22,72，解得m 1或m-x x，令圆心到直线的距离等于半径，& 解析】y-，解得x 3 .2，解得m 1或m10.解析】双曲线的渐近线方程为bxay 0,双曲线一个焦点到渐近线的距离为fe，beb211.【解析】a, b, c均为单位向量,c2 (xa yb)2, 1 x2 y2 xy,2- (x y) 1 3xy3(亍)2， (x y)24 ,12.【解析】画出yf(x)与直线yax直线y ax 2a恒过定点(2,0),由图可知 P( 2,0), A(1,2), B(3,2).22-a -.53二、填空题： 本大题共4小题，每小题

10、5分,满分20分.kPBakPA,13.30【解析】(1 2x)5的通项 Tr 1 C5(2x)r2rC5xr ,a222C； 121c530.14.【解析】3 sin (212412?， T7Sin(石)15. ( 1,3)【解析】偶函数f(x)在0, f (x)f(x)上单调递减,f(2)0,1) 0 , 2 x16. 612，解得【解析】f (x) x 3x设P(X0,y0)，则切线方程为yy。(12)( X x0),X00,得yX0y。(13，解得T)(x x0) x02X02X0x02x06.三、解答题:17.【解析】(1)在等比数列an中，设公比为-a22, a516,ai峯2，解

11、得aiq 16q-数列an的通项公式是an2n 1(2)在等差数列bn中，设公差为d . bia5,b832,b| =a516虬 a? =2b 16 b+7d=2b=16 d= 2Sn binn(n 1)d2n2 17n(n17 2289T) V121当n 8或9时，Sn最大值为72 .18.【解析】(1)依题意，a 0.04 5 b 0.02 5 1000 100.(2) 设其中成绩为优秀的学生人数为x 350 300 100 站曰 ,解得：x401000优秀的学生人数为 30名.(3) 依题意，X的取值为0 , 1 ,1000200 ,2,x，则30,P(X 0) CC0C40352, P

12、(X1)C10C30c40513,P(X 2)X012P3529521352 X的分布列为295232,3 21332 .3E(X) 0 152 X的数学期望为19.【解析】(1)证明： ABAC 2 , BC2/2 ,AC2 BC2, AB AC ./ AB / PA 平面 ABCD , CD 底面 ABCD , / AC I PA A , CD 丄平面 PAC .CD , AC CD .PA CD .(2)以A为原点建立空间直角坐标系，如图,则 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C(0,2,0) , D( 2,2,0) , P(0,0,2)./ M 是棱 PD 的中点， M( 1

13、,1,1).UULUUUU AM ( 1,1,1), AB (2,0,0).设平面MAB的一个法向量为n(X, y,z),uuLurAM0/曰 Xyzuuu ，得AB02x01，二 n (0,1, 1). N是在棱AB上一点,设 N(x,0,0) , NC ( x,2,0)D设直线CN与平面MAB所成角为则 sincos n, NCULur n NC uuur |n| |BA|解得X 1，AN即 AN 1 , NB 1 ,竺1NB20.【解析】(1)由已知可得 卫2 p 2 .抛物线的方程为 y24x，焦点坐标F(1,0).(2)设直线AB的方程为X ty1,由 X2ty 1，得 y2 4ty

14、 40 .y 4x设 A(X1,y1), B(X2,y2)，则 y1 + y2 = 4t ,屮 Gy - 4 .S MAB S AMO S BMO12|MF|(|y1y2)J(y1 y2)2J(y1 y2)2 4y1y2)上单调递增.4jt2 14逅，解得21.【解析】(1)由f(x)ex ax 1，得 f(X)ex a又 f (0)1a1, a 2.- f (x)X e2x1Xf (X) e 2.由 f(X)ex20,解得X In 2.0或x y0 .y函数f(x)在区间(，1 n 2)上单调递减，在(In2,故直线AB的方程为：X(2)证明:由(1)知 f ( x) minf(I n2)e

15、n22ln 2In 4. f(x)In 4，即 ex 2x11 In 4,ex 2xIn 40.令 g(x)2x 1，则 g (x)2x0. g(x)在(0,)上单调递增,- g(x) exx2 1g(0)0，即x21.(2)首先证明:当x 0时，恒有ex证明如下：令h(x) e1x3，则 h(x) ex3x2.由知，当x h(x) 0 ,h(x)在(0,)上单调递增, h(x) h(0)10 , ex13- xIn( X )，即32 _ L1 ，x In33ln x.依次取x2132In 3In 33In3In22132代入上式，则3In以上各式相加,(1121332-)n_1 nIn 3 3In(nnIn 3 3In n 1 ,3In1 nIn 3 n ,22.【解析】(1)直线I的普通方程为x曲线C的直角坐标系下的方程为(x72 2T)(y?)J2J20的距离为d圆心(J,)到直线x y 4j22 2直线I与曲线C的位置关系为相离.2(2设 5cos迈i