一元二次方程的概念2

1、元二次方程的概念2第2页(共13页).解答题（共18小题）1 .已知方程（m - 2） X皿2+ (m- 3) x+1=0.（1）当m为何值时，它是一元二次方程?（2）当m为何值时，它是一元一次方程?2. 试说明关于x的方程（a2-8a+20） x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是元二次方程.3. 关于x的方程（m+1） xlm-1l+mx- 1=0是一元二次方程，求 m的值.4. 关于x的方程（k+1） xl1l+kx+1=0是一元二次方程，求k的值.5. 关于x的一元二次方程（m+1） x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0，求m的值.6. 把下列方程化为一元二次方程的一般形式

2、，并指出它的二次项系数、一次项 系数和常数项(1) 2x2=1 - 3x(2) 5x (x- 2) =4* 3x.7. 元二次方程a （x+1） 2+b （x+1） +c=0化为一般式后为3x2+2x - 1=0,试求 a2+b2 - C2的值的算术平方根.&教材或资料会出现这样的题目：把方程 寺X2- x=2化为一元二次方程的一般形 式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.（1）下列式子中，有哪几个是方程 专X2-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)吉X2 - x- 2=0;-*x2+x+2=0;x2 - 2x=4;-x2+

3、2x+4=0;岛x2- 3x -4届0.（2）方程专X2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系 数，常数项之间具有什么关系？9 .已知关于 x 的方程（m2- 1） x2 -（m+1） x+m=0.(1) 当m为何值时，此方程是一元一次方程？(2) 当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项(用含 m的代数式表示)10.已知m是方程X2-X- 2=0的一个实数根，求代数式(m2- m) (m -2 +1)m11. (1)已知实数a是一元二次方程X2- 2016x+1=0的根，求代数式a2- 2015a 2丄1-需、的值.

4、201G(2)先化简，再求值：x=的值.y=_，y ，求邑岸的值.2-32+V3 y I(3) 已知辰44与|a-2b+1|互为相反数，求(a- b) 2013的值.12 .已知x=- 1是关于X的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.13 .观察下列一组方程：X2 - x=0;X2 - 3x+2=0;X2- 5x+6=0;x2- 7x+12=0;它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程”.(1)若x2+kx+56=0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； (2)请写出第n个方程和它的根.14.若m是一元二次方程方程xla

5、l-1 - X-2=0的一个实数根.(1)求a的值;(2)不解方程，求代数式(m2-m) ? (m-2+1)的值.15.若方程(m- 2)16 .将方程(3 -2x)数、常数项分别用时$-( m+3) x+5=0是一元二次方程，求 m的值.(X+5) =- 6X+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系 a (a0)、b、c表示，请求式子，日十“). 的值.17. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式， 然后写出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1) (xP) (xW2) =0;(2)专(X-3)2令(X+4) 2.18. 观察下列一元二次方程： x2+2x- 3=0;X2-7x+6=0;3

6、x2-2x- 1=0;5x2+3x- 8=0.1）上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征；2）请你写出符合此特征的一个一元二次方程第 3页（共 13页）第5页（共13页）元二次方程的概念2参考答案与试题解析.解答题（共18小题）1 .已知方程（m - 2） x血E+ (m - 3) x+1=0.（1）当m为何值时，它是一元二次方程?（2）当m为何值时，它是一元一次方程?【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题;（2）根据一次方程的定义可解答本题.2【解答】解：（1）v方程（m-2） X rn + （m - 3） x+1=0为一元二次方程,解得：m=J,所以当m为或-西时，方

7、程方程（m- 2） X九3 （m- 3） x+1=0为一元二次方程;(2)v 方程(m- 2) x+ （m- 3） x+1=0为一元一次方程,.f ni-2- 0 十 2 A &或 m2=1l.nr3 壬 0解得，m=2或m= 1,故当m为2或 1时，方程方程（m- 2） x+ （m - 3） x+1=0为一元一次方程.【点评】本题考查了一元一次方程的定义、 一元二次方程的定义，能理解一元次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元次方程的各种情况要考虑全面.2.试说明关于x的方程（a2-8a+20） x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是元二次方程.【分析】只要证明

8、二次项系数不为零即可.【解答】解： a2-8a+20= (a-4) 2+4又（ a-4） 20,二 a - 8a+20M 0,关于x的方程（a2-8a+20） x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程.【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，证得二次项系数不为零是解题的关键.3.关于x的方程（m+1） xlm-1l+mx- 1=0是一元二次方程，求 m的值.【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0,据此即可求解.【解答】解：根据题意得，|m- 1| =2,且m+lM0,解得：m=3, 答：m的值为3.【点评】本题主

9、要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aM 0）,特别要注意aM0的条件.4 .关于x的方程（k+1） xlk-1l+kx+1=0是一元二次方程，求k的值.【分析】本题根据一元二次方程的定义求解.一元二次方程必须满足两个条件:（1）未知数的最高次数是2; （2）二次项系数不为0 .由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.【解答】解：由题意得，；齐2, 解得k=3.故k的值是3.【点评】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a, b, c是常数且aM0）特别要注意aM0的条件.这是在做题过程中容易忽

10、视的知识点.5.关于x的一元二次方程（m+1） x2+5x+m2+3m+2=0的常数项为0,求m的值.【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aM0）, a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.【解答】解：由题意，得m2+3m+2=0,且 m+lM0,解得m= - 2, m的值是-2 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数且a工0)特别要注意aM 0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.6

11、.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项 系数和常数项(1) 2x2=1 - 3x(2) 5x (X- 2) =4*-3x.【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数且aM 0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.【解答】解：(1) 2x2=1-3x 般形式为2x2+3x- 1=0, 二次项系数为2, 一次项系数为3，常数项为-1;(2) 5x (x-2) =4x2- 3x. 般形式为x2 - 7x=0,二次项系数为1, 一次项系数 为-7,常数项为0.【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a, b,

12、c是常数且a工0)特别要注意aM 0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.7 .一元二次方程a ( x+1) 2+b (x+1) +c=0化为一般式后为3x2+2x- 1=0,试求a2+b2- c2的值的算术平方根.【分析】把a (x+1)2+b ( x+1) +c=0去括号、合并同类项，化作一元二次方程的一般形式，对照【解答】解：整理a*2n+b二2,.a-Hb+c=-la=3I,c=0解得3x2+2x- 1=0,求出a、b、c的值，再代入计算.(x+1 ) 2+b (x+1)

13、+c=0得 ax2+ (2a+b) x+ (a+b+c) =0,第7页(共13页)【点评】此题主要考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a, b, c是常 rf+b2- c2=9+16=25, rf+b2- c2的值的算术平方根是5.数且aM0),注意最后的一步是求算术平方根，容易忽略.&教材或资料会出现这样的题目：把方程Qx2 - x=2化为一元二次方程的一般形2式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答.(1)下列式子中有哪几个是方程护-x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)丄X2 - x- 2=0;-丄x2+x+

14、2=0;x2 - 2x=4;-x2+2x+4=0;岛x2- 5x -4 血=0.(2)方程寺X2-x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？【分析】(1)把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以- 1，- 2,巫即可变形得到正确选项;(2)通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是,二次项系数：一次项系数：常数项 =1: (-2): (- 4).【解答】解：(1) 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0( a，b，c是常数且aM0),因此，是方程专X2-x=2所化的一元二次方程的一般形式.(2) 元二次方程的一般形式是：a

15、x2+bx+c=0 (a，b，c是常数且aM0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次 项系数，一次项系数，常数项.若设方程ix2- x=2的二次项系数为a( aM 0)，则一次项系数为-2a，常数项为-4a,因此二次项系数：一次项系数：常数项=1： (- 2)： (-4).答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项 =1： (- 2)： (-4).【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数且aM 0)特别要注意aM0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中第#页(共13页)c是常数项.其中a, b,

16、 c分别叫二次项系数,ax2叫二次项，bx叫一次项, 一次项系数，常数项.9.已知关于x的方程（m2- 1）x2 -(m+1) x+m=O.（1）当m为何值时，此方程是元一次方程?（2）当m满足什么条件时，此方程是一元二次方程？并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项（用含 m的代数式表示）【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可;（2）利用一元二次方程的定义判断确定出 m的值，进而确定出二次项系数、 次项系数以及常数项即可.【解答】解：（1）v方程（m2- 1） x2-（m+1） x+m=0为一元一次方程, m2- 1=0,且 m+1 工0, 解得：m=1；(2)v 方程(m

17、2- 1) x2-( m+1) x+m=O 为一元二次方程, m2- 1工0,即卩 mM 1,则二次项系数为m2- 1； 一次项系数为-（m+1）；常数项为m.【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元一次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.10.已知m是方程x2- x- 2=0的一个实数根，求代数式（m2- m） （m - +1）m的值.【分析】根据m是方程x2 - X- 2=0的一个实数根，然后对题目中所求式子进行变形即可解答本题.【解答】解：Tm是方程x2- x-2=0的一个实数根, m2- m- 2=0, m2- m=2, m2 - 2=m,( m2- m) (m -

18、+1) m律 4+1)= 2X(-+!)m=2X( 1+1)=2X 2 =4.【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答.11. （1）已知实数a是一元二次方程x2-2016x+1=0的根，求代数式a2- 2015a2丄1-邑2的值.201G，求邑岸的值.y I（3）已知佑耐与|a-2b+1|互为相反数，求（a- b） 2013的值.【分析】（1）利用方程解的定义得到a2=2016a- 1,然后利用整体代入的方法计（2）先化简，再求值：X产，yj=2+V3算代数式的值；（2 ）先进行出x+y与xy的值，再利用通分和完全平方公式得到兰/=3灯）2-2旳，然后利

19、用整体代入的方法计算;y X（3）根据题意得到 Z+|a-2b+1|=0,再利用非负数的性质得到笃駕把两方程相加可得到a-b的值，然后利用整体代入的方法计算.【解答】解：（1）v a是方程x2- 2016x+1=0根， a2-2016a+1=0， a2=2016a- 1,原式=2016a- 1-2015a-理竺生2016=a- 1 - a =-1；（2）vx占=2出，y=2， x+y=4，xy=1，玄 4空-+2 =幻）2-2牙Q-S 较 1 _14. y X 17（与 |a-2b+1| 互为相反数,區七T+|a- 2b+1| =0，第9页（共13页）. (23-b-4二011 a-2b+l=

20、0 -3a 3b 3=0,a- b=1,( a b) 2013=1.【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了解二元一次方程组.12 .已知x=- 1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值.【分析】根据一元二次方程解的定义，把 x=- 1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的 一元二次方程1 2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.【解答】解：把x= 1代入x2+2ax+a2=0得1 2a+a2=0,解得 a1=a2=1,所以a的值为1【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本

21、题属于基础题型13.观察下列一组方程：x2 x=0;x2 3x+2=0;x2 5x+6=0;x2 7x+12=0;它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为连根一元二次方程”.(1)若x2+kx+56=0也是连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；(2)请写出第n个方程和它的根.【分析】(1)直接利用连根一元二次方程得出 k的值;(2)利用因式分解法得出符合题意的值.【解答】解：(1)由题意可得：k= 15,则原方程为：x2 15x+56=0,则(X 7) (X 8) =0,解得：xi=7, x2=8;(2)第 n 个方程为：x2+ (2n 1) x+n

22、(n- 1) =0,(X n) (x n+1) =0,解得：X1=n - 1, X2=n.【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键.14.若m是一元二次方程方程Xal -1 - X-2=0的一个实数根.(1)求a的值;(2)不解方程，求代数式(m2-m) ? (m-2+1)的值.m(1 )根据一元二次方程的定义来求a的值；【分析】(2)由2+1)m(1)得到该方程为X2- X- 2=0,把x=m代入可以求得(m2- m)、(m -的值；然后将其整体代入即可求得所求代数式的值.【解答】解: (1)由于Xlal-1 - X-2=0是关于X的一元二次方程，所以|a|

23、 - 1=2,解得：a= 3;(2)由(1)知，该方程为X2- X-2=0,把X=m代入，得m2 - m=2,又因为m2- 1 -=0,m所以m-=1,把代入(m2- m) ?(m-2+1)，得(m2-m) ? (m-+1)m=2X( 1+1) =4,即(m2 - m) ? (m- +1) =4. m【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义.解题时, 利用了整体代入是数学思想，减少了繁琐的计算过程，提高了解题的正确率.15.若方程(m- 2) X-(m+3) x+5=0是一元二次方程，求 m的值.【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件:(1)未

24、知数的最高次数是2; (2)二次项系数不为0 .由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.【解答】解：由题意，得m2 - 5m+8=2 且 m - 2工 0,第13页(共13页)解得m=3.m的值是3.【点评】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 （且aM 0）.特别要注意aM0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点.16将方程（3 -2x） （x+5） =- 6X+14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a （a 0）、b、c表示，请求式子严的值.V（a-c）h即可求值.【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3X+15 - 2X2 - 10x=-6x+14，再整理可得2x2+x- 1=0,从而得到a=2, b=1, c=- 1,再代入式子【解答】解：(3-2x) (x+5) =-6x+14, 3x+15 - 2x2 - 10x=- 6x+14,整理得：2x2+x- 1=0, a=2, b=1, c= 1,【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aM0）特别要注意aM0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识