一元二次方程提高培优

1、1、兀二次方程的一般式 ：ax bx c 0 （a 0）, a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、兀二次方程的解法(1)直接开平方法（也可以使用因式分解法）X（4）公式法：一元二次方程ax bx c 0 （aa(a0)解为：Xja（Xa)2b(b 0)解为：X aJb(axb)2c(c 0)解为：ax bVc(axb)2(cx d)2( ac|)解为：ax b(cx d)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：ax2 bx0(a,b0）x（ax b） 0 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。 十

2、字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。（3） 配方法二次项的系数为“示例：X2 3x 1二次项的系数不为一 1 2 示例：一X 2x21”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示:0 （X I）2 （I）2 1 02 2“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：1 210（X24x）2备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对考虑使用公式法来更加简单。1 2 1 210（X 2）2 22 102 2a 1且b为偶数时，才使用配方法，否则可以0），用配方法将其变形为：（Xb 2 b2 4ac2a) 4a2当b24ac当b24ac当b24ac0时，右端是正数.因此，方程有两

3、个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此，方程没有实根。Xl,2b2ab Vb24ac2a注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2 bx c 0 （a 0），并确定出a、b、c求出b2 4ac，并判断方程解的情况。代公式：x1,2-_b一4ac （要注意符号）2a备注：一元二次方程的解题步骤: 首先看方程中a,b,c是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算:如：i0x2 i00x 50 0 （同除于i0）X2

4、i0x 5 0这样更加方便计算。2x2 X 3 01 2 i 3丄X2丄X - 0 （同乘于 4，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）2 44 四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意 义，是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系2法i :一元二次方程 ax bx c0 （a 0）的两个根为:所以:Xi X2 b疔盂b v 4ac b定理：如果一元二次方程法2 :如果一元二次方程ax2bxa(x2a2aax2 bx0 （a 0）定的两

5、个根为Xi,X2，那么:法3 :如果一元二次方程axj bxi c ax22 bx2 c0L0L2axbx c 0 (aXi)(x X2)0(Xi X2)X XigX2ax2 bx0 (a0）定的两个根为两边同时除于a，XiX20）定的两个根为得：XiX2Xi, X2 ;那么展开后可得:b ； Xi?X2aXl, X2 ；那么-（余下略）a2Xi2X2(Xi X2)22XiX2,iiXiX2xi%XiX2|XiX2 1J(Xi X2)2 4XiX2 ,2XiX22Xi X2XlX2 2XiX2(XiX2)24XiX2等XiX2XiX2XiX2练习:常用变形:【练习1】若X, , x2是方程Xi

6、X2(Xi(X,X2)2(XiX2），X2 2x2007X2)24XiX2,0的两个根，试求下列各式的值:22i(i) XiX2 ;(2)-XiX2(Xi5)( X25)； | XiX2 | 【练习2】已知关于X的方程X2(k 1)x-k2 i 0,根据下列条件，分别求出 k的值.4(1)方程两实根的积为 5;(2)方程的两实根X1 , X2 满足 I X1 I X2 .【练习3】已知X1 ,X2是一元二次方程4kX24kx k 10的两个实数根.(1)是否存在实数k，使(2x1X2)(X132卷)2成立若存在，求出k的值；若不存在,请您说明理由.X-1求使一X2X22的值为整数的实数k的整数

7、值.4、韦达定理相关知识(1 )若一元二次方程ax2 bx c 0(a0)有两个实数根 X1和x?，那么X2X1 ?X2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理(2 )如果一元二次方程X2px q 0的两个根是X1和X2 ,贝y X1X2X1 ?X2(3)以X1 和X2为根的一元二次方程2(二次项系数为1)是X(x1 x2)x X1 ?x2 0(4 )在一元二次方程ax2 bxc 0(a0)中，有一根为 0,则c；有一根为1，则；有一根为1，则a b；若两根互为倒数，则c；若两根互为相反数，则b(5)二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式 ax2bx c的因式时，

8、如果可用公式求出方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根X1 和X2，那么 ax2 bx ca(x x-i )(x x2).如果方程ax2 bx c 0(a 0)无根，则此二次三项式ax2bx c不能分解。5、一类特殊的二元次方程的求解方法再探讨2 axbx c 0(a0)的两个根为X1,X2，那么:(1)p Xpbxc 0(p0)的两个根为：X2PP例1:49x235x120Q 49 72,3575(原因留给大家自行思考)先求出方程：X 2 5x 120的两根为:，故原方程的根为：X1,27(5 J73)5 47214(2) x22qbx q c 0(q0）的两个根为:qx1,qx2例 2

9、 : x2700 x3000000 Q 700100 7,300000先解得方程：x2 7x300的两根为:X110, X23，所以原方程的两个解为:6、应用题1002 ( 30)（1）平均增长率的问题:a(1x）" b 其中：a为基数，x为增长率，n表示连续增长的次数,b表示增长后的数量。（2）面积问题：注意平移思想的使用7、换元法 例:2 2 2(X2 x)25(X2 x) 60解：令yx2x则原方程可化为:y2 5y 6 0 解得：y1 2y2 3当x2x2时，求得:Xi1,X22当3时，求得:X3,41 7132（原方程共有 4个解）练习:2x2x 1考点精析（1）定义：I只

10、含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。（2） 般表达式:2ax bx c 0(a0)难点：如何理解“未知数的最高次数是 2” : 该项系数不为“ 0” ； 未知数指数为“ 2” ;若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:0例1、F列方程中是关于x的一元二次方程的是（o11B - 2x xx2 2x x2123x 12 x 1ax2 bx c 0变式:时，关于x的方程kx2 2xx2 3是一元二次方程。方程m 2 X冋 3mx 10是关于x的一元二次方程，则m的值针对练习: 1、方程8X2 7的一次项系数是,常数项是

11、 2、若方程m 2叫10是关于X的一元一次方程，求m的值；写出关于 X的一元一次方程。 3、若方程m1 x2 jm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是4、若方程nx m+xn-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值;典型例题:例1、已知2y2 y 3的值为2，则4y2 2y 1的值为例2、关于x的一元二次方程 a 2x2 xa2 4 0的一个根为0，则a的值为说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限例3

12、、已知关于x的一兀二次方程ax2 bx e 0 a 0的系数满足a e b，则此方程必有一根为说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代数例4、已知a,b是方程x2 4x m式的值。0的两个根，b, e是方程y2 8y 5m 0的两个根，则m的值为针对练习: 1、已知方程x2 kx 100的一根是2，则k为，另一根 2、已知关于x的方程x2 kx 20的一个解与方程m 3的解相同。求k的值;方程的另一个解。 3、已知m是方程x2x1 0的一个根，则代数式m2 m4、已知a 是 x2 3x1 0的根，则 2a2 6a5、方程a b x2 b0的一个根为（）C b

13、e6、若2x 5y 30,则 4x?32y考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法:X2对于axbx n2等形式均适用直接开方典型例题:例1、解方程:1 2x20；2 2516x2=0；3 1 X 29 O;例2、解关于X的方程:ax2 b例3、若9x 1 216 X 22，则X的值为针对练习:F列方程无解的是(A. X23 2x21B. X 2 2C. 2x 3D. X29 O类型二、因式分解法：Xx-iX x2 O XXi,或XX2“0”，典型例题:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，方程形式：如axbx右边为例 1、2x X 35X 3

14、的根为(A X -2例2、若4x变式1:变式2 :3 4xb225?X2则4x+y的值为_Xib260,则 a2b2y 3 o，则x+y的值为变式3 :若Xxy y 14 ,2y xyx 28，则x+y的值为例3、方程x2X 60的解为()A. X13,x22B. X13,X22 C.X13,x 23 D例4、解方程：X22晶1 X2品4 0例5、已知2x23xy2y20,则X y的值为oX y变式：已知2x23xy 2y20,且X 0,y0,则Xy的值为xyX12,X22针对练习: 1、下列说法方程X2pxq0的二根为X1 ,X2，贝y X2px q (xX2 6x8(X2)(x 4). a

15、2 5ab6b2(a2)(a 3) X2 y2（Xy)(仮 77)(JxJy)方程（3x1)270可变形为(3x1 77)(3x 1 77)0Xi)(x X2)正确的有（A.1B.2个C.3个D.4 2、以 1方与1曲为根的一元二次方程是（）x2 2x 60x2 2x 60y2 2y 60y2 2y 603、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数:写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1 ,且两根互为相反数: 4、若实数x、y满足x y 3 x y则x+y的值为（A、-1 或-2B、-1 或C、1 或-25、方程:x2丄2的解是x 6、已知 Tex2 xy V6y2 0，

16、且 x0，求驚的值。 7、方程1999X 21998 2000X 10的较大根为 r，方程2007X2 2008X 1 0的较小根为S，贝U S-r的值为2 2类型三、配方法2.c cb b 4acax bx c 0 a 0 x 22a 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:试用配方法说明X2 2X 3的值恒大于0。已知X、y为实数，求代数式X2 y2 2x4y 7的最小值。已知 x2 y2 4x 6y 130,X、y为实数，求Xy的值。分解因式:4x2 12x 3 1、试用配方法说明10x2114 X 丄 40，xX 2、已知x2针对练习:

17、7x 4的值恒小于0。则X丄.X 3、若 t2 J 3x2 12x 9，贝y t的最大值为，最小值a 2b 3c的值 4、女n 果 a b Vc 1 1 4Ja 2 2Jb 1 4 ,那么类型四、公式法0,且 b2 4ac 0axb Ub2 4ac2a0,且 b2 4ac 0例1、选择适当方法解下列方程: 31 x26.8. x2 4x 10 3x2 4x 10(5) 3 x 1 3x 1x 1 2x 5说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式:(1 ) x2 272x 3 ;4x2 8x 1 . 2x2 4xy

18、 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成ax2 bx c =a(x x1)(x分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;解二元二次方程组。典型例题：已知3x 2 0，求代数式x 13 x2 1 的值。x 1如果x 1 0，那么代数式x3 2x2 7的值。已知a是一元二次方程x2 3x 1 0的一根，求a3 2f 5a 1 的值。a 1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形

19、；能利用已知条件或变形条件， 逐步把所求代数式的高次幕化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已考点四、根的判别式b2 4ac根的判别式的作用:定根的个数;求待定系数的值; 应用于其它。典型例题:例1、若关于x的方程X2 2Jkx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是关于x的方程m 1 x3x 4x 2k是一个完全平方式这个完全平方式是什么 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是A. m 0且m 1B. m 0C. m 1D. m

20、1已知关于x的方程x2 k 2x 2k 0求证：无论k取何值时，方程总有实数根;(2)若等腰 ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，ABC的周长。2例4、已知二次三项式 9x (m6)x m 2是一个完全平方式，试求m的值.说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若b2 4ac 0，则二次三项式ax2bx c (a 0)为完全平方式；反之，若4ac 0.2 2ax bx c (a 0)为完全平方式，则 b2 2例5、m为何值时，方程组x 2y 6, mx y 3.有两个不同的实数解有两个相同的实数解针对练习:时，关于x的二次三项式 x2 kx 9是完全平方式。 2

21、、当k取何值时,多项式2 3、已知方程mx2mx2 0有两个不相等的实数根，则m的值是 4、k为何值时,方程组y kx 2, y2 4x 2y 10.(1) 有两组相等的实数解，并求此解;(2 )有两组不相等的实数解；(3 )没有实数解.2 2 5、当k取何值时，方程x 4mx 4x 3m 2m 4k 0的根与m均为有理数考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题:关于x的方程m 1 x2 2mx 30有两个实数根，则 m为只有一个根，则 m为不解方程，判断关于 x的方程x22 x2k3根的情况。如果关于x的方程X2 kx 20及方程x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根若有，请求出

22、这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题;“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，市场，根据计划，第一年投入资金600990次，问晚宴共有多少人出席90张，那么这个小组共多少人某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放1万元，第二年比第一年减少，第三年比第二3年减少1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资2金全部收回，还要盈利 1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多

23、少（结3果精确到0.1 , J133.61)50元销售，一个月能售4、 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克 出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。8000 元,（2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 销售单价应定为多少5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗若能，求出

24、两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少6、 A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后， 甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于ax2bxc 0而言，当满足a 0、0时才能用韦达定理。主要内容:XiX2bc-,X1X2-aa应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程22x 8x 70的两根，则这个直角三角形的斜边是（）B.3C.6D. J6是：10v X w 25说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握2

25、a b、 ab、 ab2之间的运算关系.例2、解方程组:2 2说明：一些含有x y、x y、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题 有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程k2x22k 1 x 1 0有两个不相等的实数根X1,X2，（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数若存在，求出 存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 原来的方程是什么吗其正确解应该是多少k的值；若不1

26、）时，小明因看错-9和-1。你知道例5、已知ab, a22a0，b22b变式：若2a2b2 2b 1-的值为a例6、已知是方程x20的两个根，那么针对练习:1、解方程组y 3,2y(1)2 .已知a27ab27b4 (a b)，求F 的值。1 a V b23、已知x1,x2是方程x320的两实数根，求X17X23X2 66的值。元二次方程根的判别式专题知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。精典赏析：【例1】当m取什么值时，关于 x的方程x22（2m1）x（2m2）20。(1)(2)(3)分析:答案:有两个相等实根；有两个不相等的实根；没有实根。用判

27、别式列出方程或不等式解题。3-；(3)4(1) m【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m7)xm 30者K有两个不相等的实根。分析：列出的代数式，证其恒大于零。【例3】当m为什么值时，关于 X的方程(m24)X22(m 1)x 10有实根。分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元次方程，所以应分两种情形讨论。略解：当m2 4 = 0即m 2时，2(m 1)工0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4工02时,方程有根的条件是:225 = 2(m 1)4(m4) 8m 20 > 0，解得 m > 22时，方程有实根。综上所述:5时，方程有实根。探索与创新:【问题一】已

28、知关于X的方程k2x2 (2k1)x 10有两个不相等的实数根 X1、X2，问是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。略解:k2Xi(2kX21)2 4k202k 1 c丁 0化简得k1412不存在。【问题一】如图，某校广场有一段 围成一块100平方米的长方形草坪(如图 围栏的价格是每米 4.5元。(1 )若计划修建费为(2 )若计划修建费为 若不能完成，请说明理由。25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边，CDEF , CD< CF)已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新150元，能否完成该草坪围栏修造任务120元，

29、能否完成该草坪围栏修建任务若能完成，请算出利用旧围栏多少米;略解：设CF= DE =X，贝U CD = EF= 100X修建总费用为：1.75X 4.5X 4.5 2 100x =D问题二图E 6.25X空条件X(1) 6.25X(2) 6.25X900 150 X900 120 XX = 12能完成6.25X2120x9000v 0此方程元实根 跟踪训练：一、填空题：不能完成1、下列方程X21X 0 ； X2X 10 :X2 X 0中，无实根的方程是2、已知关于X的方程X2mx0有两个相等的实数根，那么m的值是3、如果二次三项式3x24x2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k的取值

30、范围4、在一元二次方程X2 bx c0中(bC)，若系数匸b、C可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是二、选择题：下列方程中，无实数根的是(1、A、収 1<1 X 0B、2yD、X22、若关于X的一元二次方程(m2)(2m1)XC、3、在方程ax2 bx c3x0l有两个不相等的实根，则m的取值范围是工0)中，若a与C异号，则方程(A、有两个不等实根C、没有实根B、有两个相等实根D、无法确定三、试证：关于X的方程mx2(m 2)X1必有实根。四、已知关于X的方程X2 mx2m n0的根的判别式为零，方程的一个根为1,求m、n的值。五、已知关于X的方程X2(2m1)x

31、m220有两个不等实根，试判断直线y (2m3)x 4m 7能否通过A (- 2, 4),并说明理由。六、已知关于X”的方程X22(mm20，问：是否存在实数 m，使方程的两个实数根的平r方和等于 56若存在，求出m的值;七、已知n > 0，关于X的方程X2n,请说明理由。Apy-(m 2n)x -mn 0有两个相等"的正实根，求 一的值。4n若不存在元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题知识框图,X1 X2 =韦达定理一元二次 方程的求 根公式应用【内容分析】求代数式的值求待定系数-构造方程解特殊的二元二次方程组 二次三项式的因式分解韦达定理：对于一元二次方程2axbxc

32、0(a 0)，如果方程有两个实数根 Xi,X2，那么说明：(1)定理成立的条件(2)注意公式重x1X20b-的负号与ab的符号的区别根系关系的三大用处(1)计算对称式的值例若X1,X2是方程X22x20070的两个根，试求下列各式的值:解:(1)2(1) X12X2 ;X2由题意，根据根与系数的关系得:X12X22(X1X2)2X1X2X1X2X1X2X1X222007(X15)(X25)X1X2 5(x1(Xi5)(X2 5)；X1X22)2 2(22007X2)252,X1X220072007)4018 | XiX2 | 20075( 2)251972|X,X2 |&XX2)2J(

33、X1X2)24X2J(2)24( 2007)225582X12X2(X1X2)2C11为 X2.2/2.2X1X2 , (X1 X2)(X1 X2)4X1X2 ,X1X2X, x2|X1X217(X1X2)24X2 , X1X22 X12X2X1X2(X1 X2),3X13X2(X1X2)33X1X2 (X1 X2)等等.韦达定理体现了整体思想.利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:说明:【课堂练习】1. 设X1, X2是方程2x2 6x+ 3 = 0的两根，则X12+ X22的值为2. 已知X1, X2是方程2x2 7x + 4= 0的两根，则X1+ X2 = (X1 X2)2=1

34、3.已知方程2x2 3x+k=0的两根之差为 込，贝U k=4. 若方程x2+(a2 2)X 3=0的两根是1和一3，贝U a=;5. 若关于X的方程X2+2(m 1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为/八22(1)x 1 X2+X1X26. 设X1,X2是方程2x2 6x+3=0的两个根，求下列各式的值：1 1X1X27 .已知X1和X2是方程2x2 3x 1=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值:(2)构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是例解方程组x y 5?xy 6解：显然，X, y是方程z2-5z+6 = 0 的两根由方程解得 z 1=2,

35、z 2=3原方程组的解为 x I=2,y 1=3? X 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为 2，求k 的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根，则 c=2由题意知2 = k -4 X 2X 2> 0, k>4 或 kw-4为所求。【典型例题】例1已知关于X的方程X2 (k 1)x k2 140，根据下列条件，分别求出 k的值.(1)方程两实根的积为 5;(2)方程的两实根Xi,X2 满足 |Xi| X2 分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能,是 x1x2

36、二是X1X2，所以要分类讨论.解：(1) 方程两实根的积为532时，方程的两实根2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件, 所求的字母应满足0.综上可得,Xi,X2 满足 | X, | X 求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即例2已知X1,X2是一元二次方程4kx2 4kxk 10的两个实数根.1 22X1X2-k 154,当k4时，方程两实根的积为5.由 |X1 |X2得知:当X10时，XX2 ,所以方程有两相等实数根，故0当X10时，X1X2X1X20k 10 k1,0 k3故k1不合题意，舍去.2由于所以,3,k 42I 2(k 1)4(-k 1)3(1)是否存在实数k,使(

37、2x1 X2)(X1 2x2)成立若存在，求出 k的值；若不存在，请您2说明理由.求使乞竺X2X12的值为整数的实数k的整数值.解：（1）假设存在实数k，使（2x1 x2）（x12X2)3成立.元二次方程4kx2 4kx k10的两个实数根4k 0(4k)24 4k(k 1)16k2又x1, x2是一元二次方程 4kx 4kx k10的两个实数根X X21J14kX1X2-(2X1X2 )(X12X2) 2 2,2(X1X2 )25X1X22(X1X2)9X1X2k 94k不存在实数k ,使(2x1X2)(X, 2X2)I 成立.2X1X2(X1X2 )2X1X24kk 1要使其值是整数，只需

38、k 1能被4整除，故k1, 2,注意到k 0,X1X2要使X2X12的值为整数的实数 k的整数值为2,A. 2B.2C.说明：（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即 不存在.4（2）本题综合性较强，要学会对 为整数的分析方法.k 1一元二次方程根与系数的关系练习题A 组21.一元二次方程（1 k）x 2x 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）B. k 2,且 k 1 C.k 2,且 k 12若X1,X2是方程2X2 6x 30的两个根，则X1的值为（）X23.已知菱形 ABCD的边长为 5，两条对角线交于O点,且 0A、OB的长分别是关

39、于 X的方程1.已知关于X的方程(k 1)x(2 k 3)x k1 0有两个不相等的实数根 X1,X2 .2(2 m 1)X m30的根，贝U m等于(5.6.7.C.若t是一元二次方程(2at b)2的关系是()若实数202axbx0 (a0)的根，则判别式b2 4ac和完全平方式且a,b满足C.a28a0,b28b 5D .大小关系不能确定b 1a 1亦居亠,、则代数式的值为()a 1b 1C.2或 20D. 2或202如果方程(b c)x (c a)x(ab)0的两根相等，则a,b, c之间的关系是已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2 8x70的两个根,则这个直角三角形的斜边

40、长是&若方程2x2 (k 1)xk 30的两根之差为1，贝U k的值是29.设X1,X2是方程X px0的两实根，X,21,X2 1是关于X的方程Xqx p 0的两实根，则10 .已知实数a,b, c满足a2b,c ab 9，则 a =211.对于二次三项式 X210X36，小明得出如下结论:无论X取什么实数，其值都不可能等于10.您是否同意他的看法请您说明理由.12 .若n 0，关于X的方程X21(m 2n )x mn40有两个相等的的正实数根，求 的值.n13 .已知关于X的一元二次方程2X (4 m 1)x 2m(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根;若方程的两根

41、为X1,X2，且满足丄X1X21一，求m的值.21 21)x-k24(1) k取何值时，方程存在两个正实数根214.已知关于X的方程X (k0的两根是一个矩形两边的长. 当矩形的对角线长是 J5时，求k的值.2(1)求k的取值范围;（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明理由.已知关于X的方程X23x m 0的两个实数根的平方和等于11.求证：关于x的方程(k2 23)x kmx m 6m0有实数根.3.若X1,X2是关于x的方程X2(2 k1）x k210的两个实数根，且Xi,X2都大于1.（1）求实数k的取值范围;若生 1，求x22k的值.元

42、二次方程测试题一、选择题:1、关于X的方程2ax3xX22是一元二次方程,则（C、a>02、方程XX的根是A、X=2B、X=1C、X12 ,X 22,X203、对于任意实数X,多项式X2 -5X+8的值是一个A、非负数4、一个多边形有A、6条5、下列方程中，关于B、正数C、负数9条对角线，则这个多边形有边B、7条C、8条X的一元二次方程是（D、无法确定）9条A、 X2 X 7 Xc2.B、 ax bx cL 1- 5X X6、某商品连续两次降价C、D、 a2x2bx 1X2A、1.2a20%后价格为a元，则原价为）元。7、若实数X、y满足XA、-1 或-21.44C、0.64a0.64-

43、1或28、若 X2 3xa 0的左边是完全平方式，则C、9、用换元法解分式方程3（x2X)的值为（或-2a的值为1，若设X2 Xy，则原方程可化为关于y的整式方程是270的两个根,A、3y -y1 B、3y y2C、3y y220 D、 3y y 2010、已知m、n是方程x21999x9则(m1998m6)( n22000 n 8)(A、 1990二、填空：B、 1992C、-19921999211 、 X2 3x=(x)212、当 x=时，最简二次根式 Jx2 3x与Jx 15是同类二次根式。13、已知a、b、c为 ABC的三边，且关于 x的一元二次方程72 a c X -4c b x20有两个相等的实数根，那么这个三解形是214、已知2xxy 3y20 y，则15、元二次方程x2 3x 10的所有实数根的和等于10cm的直角三角形，则这个三角形的面16、把一根长为22cm的铁丝围成一个斜边长是 积为17、若一个三角形的三边长均满足方程x2 6x则此三角形的周长为218、已知x三、解方程219、X 4x20、 X2x21、4x2X四、解答题22、阅读下面的例题：请参照例题解方程例: x2解：（1 ）当