2017-2018学年高中数学第一章算法初步章末小结与测评教学案新人教A版必修3

1、第一章算法初步自读教对找羌键辨析问题解疑惑锁定目标稳启程核心必知1.预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P34P45,回答下列问题.4 I(1) 小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.(2) 辗转相除法的操作步骤是什么？提示：两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为 o,即可求得两个数的最大公约数.(3) 更相减损术的操作步骤什么？提示：第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数.若是，用2 约简；若不是，执行第二步.第二步，以较大

2、的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止， 则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就 是所求的最大公约数.(4) 应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？提示：求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即vi=ax+an1，再由内向外逐层计算一次多项式Vk(k= 2,3,4，n)的值.(5) 将k进制数转化为十进制的方法是什么？提示：“除k取余法”.2归纳总结，核心必记(1)辗转相除法与更相减损术1辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的 算法.2更相减损术：我国古代数学专著九章算术中介绍的一

3、种求两个正整数的最大公约 数的算法.核心必知Ii问题想琴:课前反思I2(2)秦九韶算法求多项式f(x) =anxn+an1Xn1+a1x+ao的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算3次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值， 共进行n次乘法运算和n次加法运算.其过程是：改写多项式为：nn1f(x) =anX+anix+ax+ao=(anx+anix+ai)x+aon2n3=(anx+anix+a2)x+ai)x+a=(anx+ani)x+an2)x+ai)x+ao.设Vi=anx+an1,V2=Vix+an2,V3=V2X+an3,Vn=Vn-iX+ao.(3)

4、 进位制1进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，制的基数就是_2其他进位制与十进制间的转化(i)其他进位制化成十进制其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幕的乘积之和的形式. (ii)十进制化成k进制的方法“除k取余法”.z XT1卫问题思考(1) 辗转相除法与更相减损术有什么联系？提示：_2二者的实质都是递推的过程.3二者都是用循环结构来实现.(2) 辗转相除法与更相减损术有什么区别？辗转相除法更相减损术满几进一”就是几进制,几进4区别以除法为主.两个整数差值较大时运算次数较少.相除余数为零时得结果以减法为主.两个整数的差值较大时，运算次数较多.相减，差与减数

5、相等得结果.相减前要做是否都是偶数的判断(3)当所给的多项式按x的降幕排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么?5提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成o xn的形式.课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1) 辗转相除法是什么？(2) 更相减损术是什么？(3) 秦九韶算法是什么？(4) 进位制及进位制间的互化：知识点1知识究破重点知识步姊採究檎根基能力提升分鬲识能新提高化拔霖辕转相除法与更相减损术 -1!重点知识*讲爲眛令】观察如图所示的内容:i求两it数绘i大公约数I思考 1辗转相除法的算理是什么？名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数

6、.若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.思考 2更相减损术的算理是什么?名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数,然后将差和较小的数构成新的一对数,再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤， 直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数.讲一讲1.用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果.尝试解答用辗转相除法：612=468X1+144,468=144X3+36,144=36X4,即 612 和 468 的最大公约数是 3

7、6.用更相减损术检验：612 和 468 为偶数，两次用 2 约简得 153 和 117,153 117= 36,117 36= 81,81 36 =67观察如图所示的内容：/Cs) - (cnx+sj. i+oina)i+ - -+ai)x+cMzT秦九韶幫迭# 斗、思考秦九韶算法的原理是什么？名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的.设f(x) =anx十 岂-1Xn1+ ay + , 将其改写为f(x) = (anx+an 1X+ax+aon2n3=(anX, +an-1X+a2)x+ajx+a。=(anx+an 1)x+an2)x+ax+ao|v=an,令V0=an,则有公

8、式其中k= 1,2，n.IVk=Vk 1x+an k,这样我们便可由V0依次求出V1,V2，Vn：V1=Vox+an 1,V2=V1X+an2,V3=V2X+an3,，Vn=Vn-1X+ao.讲一讲45,45 36= 9,36 9= 27,27 9= 18,18 9= 9,所以 612 和 468 的最大公约数为 9X2X2= 36.典题”通址求最大公约数的两种方法步骤(1) 利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数.(2)

9、利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：首先判断两个正整数是否都是偶数.若是，用 2 约简，也可以不除以 2,直接求最大公约数， 这样不影响最后结果. 练一练1 用辗转相除法求 840 与 1 785 的最大公约数；解：因为 1 785 = 840X2+ 105,840=105X8.所以 840 和 1 785 的最大公约数是 105.秦九翹算法-1：重点如氓讲遥嫌金, H=e r FFT TSS 9 B V T S E CT TTTTS1S B B B T T T T T T B 9 rPWTTTTSS 9 B T H= BVTTTTTTTS LTTTTTTTTWSrLhUFFA

10、. 320B . 160C. 320D. 30082.利用秦九韶算法求多项式f(x) =x6 5x5+ 6x4+x2+ 3x+ 2 当x= 2 时的值为()尝试解答 将多项式变式为f(x) = (x 5)X+ 6)X+ O)X+ 1)X+ 3)X+ 2,vo= 1,Vi= 2+(5)=7,V2= 7X(2)+6=20,V3=20X(2)+0=40,V4= 40X(2) + 1 = 81,V5= 81X( 2) + 3= 159,V6= 159X( 2) + 2 = 320,即X= 2 时，多项式 的值为 320.答案：A利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外

11、逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.练一练2.用秦九韶算法计算多项式f(X) = 12+ 35X 8X2+ 6X4+ 5X5+ 3X6在X= 4 时的值时，V3的值为()A. 144 B . 136C. 57 D . 34解析：选 B 根据秦九韶算法多项式可化为f(x) = (3x+ 5)x+ 6)x+ 0)x 8)x+35)x+ 12.由内向外计算V0= 3;V1=3X(4)+5= 7;V2= 7X(4)+6=34;V3=34X(4)+0=136.进炮制 E 其转化观察如图所示的内容：前儿进一JL为革数X讎惊制思考 1 进位制应如何表示？名师指津：若

12、一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数.思考 2 常见的进位制有哪些？名师指津：(1)二进制：只使用 0 和 1 两个数字；满二进一，如 1+ 1 = 10(2).(2)八进制：91使用 0,1,2,345,6,7八个不同数字；2满八进一，如 7+ 1 = 10( :十六进制:101使用 0,123,4,5,6,7,8,9,AB, C, D, E, F这十六个不同的数码，其中A,B,C,D, E,F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15;2满十六进一，女口F+ 1 = 2 +E= 10(16).讲一讲3

13、.(1)把二进制数 101 101化为十进制数；(2)把十进制数 458 转化为四进制数.尝试解答(1)101 101=1X 25+ 0X 24+ 1X 23+ 1X 22+ 0X 21+ 1X 2= 32 + 8+ 4 +1 = 45,所以二进制数 101 101转化为十进制数为45.(2)余数4|45Bd观2TQit a0丄458= 13 022(4).进位制的转换方法(1) 将k进制转化为十进制的方法是：先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幕的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.(2) 十进制转化为k练一练3.(1)二进制数算式 1 010+ 10(2)的值是()A.

14、 1 011B . 1 100&勺C.1101(2)D . 1 000(2)(2)下列各组数中最小的数是()A.1111(2)B .210(6)C.1000D .101(8)解析：(1)选 B 二进制数的加法是逢二进一，所以选B.(2)选 A 统一化为十进制数为1 111(2)= 15; 210(6)= 78; 1 000=64; 101(8)= 65.- 课堂归纳感悟提升-1本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化.难点是会用秦九韶算法求多项式的值.2.本节课要掌握以下几类问题:进制，采用除k取余法，也就是除基数，

15、倒取余.11(1) 掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲(2) 掌握秦九韶算法步骤，见讲2.(3) 进位制的转换方法，见讲3.3.本节课的易错点有两个：(1) 弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2;(2) 进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲达标练I I学业水平小测.让学 生趙热打佚消化所学*St竦谨度又竦准度I课下能力提升(八)学业水平达标练题组 1 辗转相除法与更相减损术1.下列关于利用更相减损术求156 和 72 的最大公约数的说法中正确的是()A. 都是偶数必须约简B. 可以约简，也可以不约简C. 第一步作差为 156 72= 84;第二步作差为 72-84 = - 12D. 以上都不

16、对解析：选 B 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A 错.C 中第二步应为 84-72 = 12,故选 B.2用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时，需做减法运算的次数是()A. 2 B . 3 C . 4 D . 5解析：选 C 294- 84= 210,210 - 84 = 126,126 -84= 42,84 - 42= 42,共做 4 次减法运 算.3. 1 624 与 899 的最大公约数是 _.解析：1 624 = 899X1+ 725,899=725X1+174,725=174X4+29,174=29X6,故 1 624 与 899 的最大公约数是 29.答案：

17、291.能力练I课下龍力提扑,捉速提能.毎课L检测.涉步为营歩步贏训练提能区124 .用两种方法求 210 与 98 的最大公约数.解：用辗转相除法：13210=98X2+14,98=14X7. 210 与 98 的最大公约数为 14.用更相减损术： 210 与 98 都是偶数，用 2 约简得105 和 49,105-49= 56,56 - 49= 7,49- 7= 42,42 - 7= 35 ,-35- 7= 28,28 - 7= 21 ,21 - 7= 14,14 - 7= 7. 210 与 98 的最大公约数为 2X7= 14.题组 2 秦九韶算法5.用秦九韶算法求多项式f(x) = 7

18、x6+ 6x5+ 3x2+ 2 当x= 4 时的值时，先算的是()A. 4X4=16 B.7X4=28c. 4X4X4=64 D.7X4+6=34解析：选 D 因为f(x) =anxn+an-1xn-1+ +a1x+ao=(anx+an-dx+an-2)x+ajx+a。,所以用秦九韶算法求多项式f(x) = 7x6+ 6x5+ 3x2+ 2 当x= 4 的值时，先算的是 7X4+ 6 = 34.6.用秦九韶算法计算多项式f(x) = 3x6+ 4x5+ 5x4+ 6x3+ 7x2+ 8x+ 1 当x= 0.4 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A. 6,6 B . 5,6C. 5,5

19、D . 6,5答案：A7利用秦九韶算法求多项式yKA的值，写出详细步骤.解：f(x) = (3x+ 12)x+ 8)x-3.5)x+ 7.2)x+ 5)x- 13.V0= 3,V1=V0X6+12=30,V2=V1X6+8=188,V3=V2X63.5=1 124.5,V4=V3X6+7.2=6 754.2,V5=V4X6+5=40 530.2,f(x) = 3x6+ 12x5+ 8x4- 3.5x3+ 7.2x2+ 5x- 13 当x= 6 时14V6=V5X613=243 168.2. 所以f(6) = 243 168.2.题组 3 进位制及其转化&以下各数有可能是五进制数的是()A. 1

20、5 B . 106C. 731 D . 21 340解析：选 D 五进制数中各个数字均是小于5 的自然数，故选 D.9完成下列进位制之间的转化.(1) 1 034=_(10);(2)119(10)= _(6).320解析：(1)1 034=1X7+ 0X7+ 3X7+ 4X7= 368.03.119(10)= 315(6).答案：(1)368(2)31510. 若k进制数 123(k)与十进制数 38 相等，则k=_.解析：由k进制数 123 可知k4.下面可用验证法：若k= 4,贝U38( 10)= 212(4)，不合题意；若k= 5,贝U38(10)= 123(5)成立，所以k= 5.答案

21、：511.若 1 0b1(2)=a02，求数字a,b的值及与此相等的十进制数.解:T1 0b1(2)=a02(3), 1X23+bx2+1=aX32+2,且a只能取 1,2 ,b只能取 0,1.整理得 9a 2b= 7.当b= 0 时，a=7(不合要求，舍去)；当b= 1 时，a= 1.a=b= 1. 102(3)= 1 011(2),转化为十进制数为 1X32+ 2= 11.能力提升综合练151.用秦九韶算法求多项式f(x) =x3 3x2+ 2x11 当x=X0时的值时，应把f(x)变形为( )163x (3x 2)x 11 (x 3)x2+ (2x 11)(x 3)x+ 2)x 11解析

22、：选Df(x)=x3 3x2+ 2x 11=(x23x+ 2)x 11 = (x 3)x+ 2)x11,故选45 和 150 的最大公约数和最小公倍数分别是（）450,15 D . 15,150解析：选 B 利用辗转相除法求 45 和 150 的最大公约数：150 = 45X3+ 15,45 = 15X3,45 Cj的最大公约数为 15.45 和 150 的最小公倍数为 15X（45 十 15）X（150 十 15） = 450,故B.解析：选C 101 010(2)= 1X 25+ 0X 24+ 1X 23+0X 22+ 1X 21+ 0X 2= 42,111 =1X5210 1 0 1 0

23、+1X 5 +1X 5 =31,32(8)=3X8 +2X8 =26,54(6)=5X6 +4X6 =34.又 42343126,故最小的是 32(8).4.(2016 福州高一检测)三进制数 2 022化为六进制数为abc，贝 Ua+b+c=2 10解析:2 022(3)= 2X 33+ 0X3+ 2X3+ 2X3= 62.三进制数 2 022(3)化为六进制数为 142(6),二a+b+c= 7.答案：75.用秦九韶算法求多项式f(x) = 1 5x 8x2+ 10 x3+ 6x4+ 12x5+3x6当x= 4 时的值时，V0，V1，V2,V3，V4中最大值与最小值的差是解析：多项式变形为一65432f(x) = 3x+ 12x+ 6x+ 10 x 8x 5x+ 1=(3x+12)x+6)x+10)x8)x5)x+1,V