南京工业大学高等数学-ch1-10ppt课件

1、n一、最值定理一、最值定理 n二、有界性定理二、有界性定理n三、介值定理三、介值定理n四、内容小结四、内容小结一、最值定理一、最值定理 定理定理1 1 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxf那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.在该区间上一定有最大(证明略)的的条条件件能能否否放放宽宽？定定理理思思考考： 1 yx0ab12)(xfy 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy

2、 12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、有界性定理二、有界性定理 三、介值定理三、介值定理定理定理3 ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略 )设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(baAbxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有推论推论:在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大

3、值之间的任何值 .的的正正根根。过过有有不不超超证证明明三三次次代代数数方方程程例例 1 0 1 23xx1验证根存在。找隔根区间；作辅助函数；方法： 3 2 1 oooxy0ab)(xfy 1 23 xxxf)(令令证：证：上连续，上连续，在在显然显然 10 ,)(xf0 11 0 10 )()(ff，且且0 10 )(),(f使使，则则由由零零点点定定理理知知，。即为方程满足题意的根即为方程满足题意的根 x0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()(

4、)(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:四、内容小结四、内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xoy则面积函数,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff一点设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba使.)(Cf至少有证证