2018-2019学年九年级数学上册第四章图形的相似知识讲解及例题演练(新版)北师大版

1、图形的位似-知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法， 将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点0,且每组对应点与点0点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，0A=k0A(k丰0)，那么这样 的两个多边形叫做位似多边形，点0叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形2.位似图形的性质：(1)位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中

2、心；(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的； 而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中 心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图

3、形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k工0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形AB(3)Bc(2)【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案.【答案】D【解析】 解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.据此可得A、B C三个图形中的两个图形都是位似图形；而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形. 故选D.【总结升

4、华】 位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若0到AB的距离是18cm O到CD的距离是6cm,则像CD的长是物AB长的（）.A. 3倍B.1C.1D.不知AB的长度，无法判断23【答案】C为1.5.则五边形AB C D E为所求.另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似 中心的两侧.【总结升华】 由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形.C 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与解析】即是要

5、画一个五边形BC DE,要与五边形ABCDE相似且相似比画法是：1.在平面上任取一点O.2.以0为端点作射线OA OB OCOD OE.3.在射线OA OB OC OD OE上分别取点A、B、C、D、E,使OA :OA=OB=OC :OC=OD :OD=OE :OE=1.5.4.连结AB、BC、CD、DE、EA.、冲ABBCCD DEAE“这样：-=-=-=-=-=1 5:CD DE AE:OBABBCDEiAiA一*【思路点拨】【答案与解析】作法：(1)在AB上任取一点G，作GD丄BC(2)以G D为边，在ABC内作一正方形D EFG ;(3)连接BF，延长交AC于F;(4)作FG/ CB交

6、AB于G,从F、G分别作BC的垂线FE,GD;四边形DEFG即为所求.类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10X10的正方形网格中，点A B, C,D均在格点上,A为位似中心画四边形ABCD,使它与四边形ABCD位似，且相似比为2.(1)在图中画出四边形ABCD;(2)_填空：AC D是_ 三角形.(1)延长AB到B,使AB =2AB得到B的对应点B,同样得到C D的对应点C , D ,再顺次连接即可；(2)利用勾股定理求出AC2=42+82=80,AD2=62+22=40,C D2=62+22=40,那么AD=C D,AD2+CD2=AC2,即可判定厶ACD是等腰直角三角形.【答案与解析】

7、解：(1)如图所示：(2)vAC2=42+82=16+64=80,AD2=62+22=36+4=40,C D2=62+22=36+4=40,2 2 2 AD =C D,AD +C D =AC,AC D是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角.【总结升华】 本题考查了作图-位似变换.画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点， 得到放大或缩小的图形. 同时考查了勾股定理及其逆定理 等知识熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键.4.如图ABC的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,3) ,C(3

8、,0).(1)以点0为位似中心画DEF使它与ABC位似，且相似比为2.(2)在(1)的条件下，若M( a,3为厶ABC边上的任意一点，则DEF的边上与点M对 应的点M的坐标为_.【思路点拨】(1)把点AB、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、EF的坐标，再描点可得DEF把点AB C的横、纵坐标都乘以-2可得到对应点D、E、F的坐标，然后描点可得D E F;(2)禾9用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解.【答案与解析】 解：（1）图略;（2）点M对应的点M的坐标为（2a,2b）或（-2a,-2b）. 故答案为（2a，2b）或（-2a，-2b）.【总结升华】 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心在 平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的