第一章 物体运动的描述

1、第一章 物体运动的描述§1-1 描述质点运动状态的物理量【基本内容】一、位置矢量1、 1、       质点 如果物体的大小和形状对所研究的问题没有影响，则可将物体看成一个具有质量的点。2、 2、       参照系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参照系。3、 3、       位置矢量 如图1.1所示，从坐标原点O到运动质点P的有向线段称为质点P的位置矢量。运动方程 质点的位置矢量与时间的函数关系

2、。轨迹方程 运动方程消去时间参量后，各坐标间的关系式，即由消去t得轨迹方程f（x，y，）=0。二、位移矢量设t时刻，质点处于P点，位置矢量为。经时间t后于t+t时刻运动到P/点，位置矢量为，则从初位置P到未位置P/的有向线段：叫质点在时间内的位移，如图1.2。它描述质点位置的变化。说明：（1）与的区别位移的大小，位矢长度的改变量。（2）位移与路程的区别路程表示质点在时间内越过的轨迹，即曲线的长度。是矢量，是标量，且当时，,但三、速度1、平均速度定义：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速度：其方向与的方向相同，如图1.3。平均速率：质点在时间内的位移与时间的比值，叫质点的平均速率： 2

3、、速度定义：时的平均速度。方向：沿轨迹切线且指向质点前进的方向。一般，但在直角坐系下的表示四、加速度1、平均加速度设t时刻，质点的速度为。经时间t后于t+t时刻质点的速度为，则质点的速度增量与时间间隔t的比值，叫质点的平均加速度。2、加速度定义：时的平均加速度。大小：，方向：是时，的方向，指向曲线凹侧。在直角坐标系下的表示大小：方向：与X轴的夹角【典型例题】【例1-1】一质点的运动方程为，求：（1） （1）                

4、;     轨道方程并画出其轨道；（2） （2）                     及时质点的速度和加速度；（3） （3）                   &#

5、160; 第2秒内质点的平均速度；（4） （4）                     何时质点离坐标原点最近？并求出这个距离。【解】（1）运动方程的分量形式为消去时间后可得轨迹方程由于，所以不能取负值。轨道如题解例1-1图所示。（2）由速度的公式：代入和，其速度分别为和由加速度的公式：（3）第2秒内的位移：平均速度：（3） （3）     &#

6、160;       质点离原点距离：令可解出（舍去）故在时质点离原点最近：【讨论】（1）作图时，应在图上标明特殊位置的坐标值。如本题标明图线与横坐标和纵坐标的交点值。（2）表示质点的径向速度为0，它实际上是速度由正变负（或者由负变正）的转折值，因此此时所对应的值应该是局部最大或最小。在数学中，为确定是极大值还是极小值，需进一步求二阶导数。此题中，已经确定必无极大值，故将“驻点”代入比较就可求出极小值。【分类习题】【1-1】 对于质点，下列表述正确的是 ：（1） 加速度恒定不变时，运动方向不变。（2） 平均速度的大小等于平均速率。（3

7、）  平均速率表达式可写我为（分别表示始末时刻的速率）。（4）                     速度不变时，速率不变。【1-2】一人自原点出发，内向东走，又内向南走，再内向正西北走。求在这内：（1）               &#

8、160;     平均速度的的大小和方向（2）                     平均速率。【1-3】 一质点的位置矢量为（为常量）。则该质点作 （填匀速、变速） （填直线、曲线）运动。【1-4】 质点运动方程为，求（1）           

9、          此质点的轨迹方程；（2）时刻质点的速度和加速度。【1-5】在质点运动中，已知。求质点的加速度和它的轨道方程。§1-2、直线运动【基本内容】一、直线运动的分类=0匀速直线运动 a与v同向匀加速直线运动a=c匀变速直线运动a与v反向匀减速直线运动c非匀变速直线运动二、运动图线表示质点在运动过程中，位置、速度随时间的变化关系。1、位置时间图线（xt图）速度：由曲线的斜率表示。平均速度：由曲线中相应割线的斜率表示。2、速度时间图线（vt图）由vt图求a：由曲线的斜率求出。由vt图求位

10、移：vt图线与t1、t2两纵坐标之间的面积。【典型例题】【例1-2】 有一小球沿斜面向上滚动，小球离开初位置向上滚动的距离与时间的关系为，求：（1）                     初速度；（2）                &#

11、160;    小球何时开始下滚；（3）                     在内的位移和路程。【解】 （1）由代入得小球的初速度为（2）小球开始返回时，即运动方向的转折点，对应速度为0，故即所以小球开始下滚的时间为（3）内的位移由于在时速度方向改变，因此内的路程应为和两段时间内位移大小之和：小结：本题中，速度表示速度方向的转折点，从而求得了小球返回处的时间。【例

12、1-3】 一质点在轴上作加速运动，开始时。（1），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；（2），求任意时刻的速度和位置，其中均为常量；（3），求任意位置的速度其中均为常量。【解】（1）由加速度的定义式得两边积分，并代入初始条件得：由速度的定义式得：两边积分，并代入初始条件得：（1） （2）                     由可得两边积分：，可得再由可得两边积分：（3）由于，于是两边积分有：

13、,故 【讨论】（1）由于是一维运动，不必写出矢量形式，因为可以视直线运动为复杂运动中的一个分运动。（2）常见错误：不管加速度的形式，盲目使用中学的匀变速直线运动的三个公式。综合上面两例题：运动学的习题有两种基本类型：（1）已知运动方程，求速度、加速度、位移及轨迹方程；（2）已知加速度，求速度、运动方程。前者用微分法，后者用积分法。注意积分时应正确运用初始条件。【例1-4】在离水面高为的岸边上，有人以匀速0拉船靠岸（例1-4图）。求船距岸边处时，船的速度和加速度。【解】以为坐标原点，指向船的方向为轴正方向建立坐标系。由勾股定理有两边对时间求导，得明显，船速，绳子速率，故式中负号表示船的速度方向与

14、方向相反。加速度 【讨论】这类题看似无从下手，但某时刻三边构成明显的几何关系（本题是勾股定理），对等式两边求导就求出了速度间的关系，于是，路子就通了。说明：对一边求导时，要求只有一端运动，另一端静止，此时求导所对应的速度才为移动端的速度。【分类习题】【1-6】一小球沿斜面向上运动，其运动方程为，则 时小球达到最高点。【1-7】一质点运动方程为，求由至内，质点位移和所经历的路程。【1-8】 两车与同时出发，沿直线作同向运动，其行使距离随时间变化关系分别为和。则刚出发时运动在前的是 ；出发后， 时两车行驶相同的距离；出发后， 时两车等速。【1-9】 一质点作直线运动，其运动规律为(为常量），当时，

15、求时刻的速度。【1-10】 一质点沿轴运动，其加速度与时间的关系为，如质点的初速度为，求时质点的速度。【1-11】一质点沿轴运动，其图如（图1-11）所示。如时质点位于原点，则时质点在轴上的位置。【1-12】 一质点沿直线运动，其图如图1-12。则该质点第 秒的瞬时速度为0，第 秒至 之间速度与加速度同向。（提示：分析曲线切线斜率的增量）。【1-13】 灯距地的高度为，身高为的人在灯下以匀速沿水平直线行走（图1-13），求他头顶影子点沿地面移动的速度。提示：建立坐标系，找出点所遵守的几何关系，再由速度的定义通过求导而得【1-14】 距河岸（看成直线）处有一艘静止的船，船上的探照灯以匀角速度旋转

16、照射河岸，求当光束与岸边成角时，光沿岸边移动的速度。§1-3 曲线运动【基本内容】一、曲线运动1、自然坐标系研究曲线运动时，把坐标原点取在运动质点上，该点处的切线与法线构成正交坐标轴，如图1.4。切线坐标轴正方向：规定为质点前进的方向，其单位矢量为。法线坐标轴正方向：规定为指向曲线凹侧的方向，其单位矢量为。显然：和是随时间变化的。2、位置的自然坐标表示设质点沿曲线L运动，t=0时，位于P0点，t时刻位于P点。则在时间t内，质点运动的路程（弧长）能确定质点的位置3、速度的自然坐标表示4、加速度的自然坐标表示其中：切向加速度反映速度大小的变化。法向加速度反映速度方向的变化。大小：方向：与

17、夹角：二、圆周运动的角量描述如图1.5，质点在O-XY平面内作圆周运动。质点的运动状态可以用线量描述，也可用另一类物理量（角量）描述。1、角位置确定运动质点的位置的正负：逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。单位：弧度（rad）2、角位移描述质点位置的变化的正负：与规定一致。3、角速度描述质点转动的快慢大小：方向：由右手定则确定单位：rad/s或1/s4、角加速度描述质点角速度变化的快慢大小： 方向：作加速转动时，与同方向；作减速转动时，与反向。单位：rad/s2或1/s2三、角量与线量的关系1、与s的关系，如图1.62、与的关系3、与a关系四、刚体的运动1、平动刚体平动的特征：刚体中的任一条直

18、线，在刚体运动过程中始终保持平行。刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。2、定轴转动刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。描述刚体转动的物理量角位移角速度角加速度刚体匀变速转动公式【典型题例】【例1-5】质点作半径为R的圆周运动，其运动方程为，、均为大于的常数，求其切向加速度和法向加速度。【解】由速度定义式，得切向加速度为法向加速度为【讨论】 对于圆周运动，无论求切向加速度还是法向加速度，应首先速率的表达式。【例1-6】 热气球在无风时以速度从地面匀速上升。但由于风的影响，随着高度的增加，气球的水平速度按的规

19、律增大（为大于0的常数），求任一时刻气球的切向加速度、法向加速度和轨道的曲率分别与气球高度的关系。【解】由题意：可知又所以在任一时刻（高度），加速度的大小为，方向沿轴，与高度无关。任一时刻气球的速度大小为由此可求出切向加速度为：将代入上式，可得与高度的关系：而法向加速度可由式求出：再由，可得轨道曲率半径为【讨论】 对于一般曲线运动，写出速率的表达式，就可以方便地求出切向加速度。但是，在求法向加速度时，因为曲率半径的数学计算比较复杂，一般不按定义式来求，而是根据总加速度、法向加速度和切向加速度的关系进行计算。【例1-7】质点作半径为的圆周运动，其角运动方程为，求质点的法向加速度和角加速度。【解】

20、 角速度：角加速度：法向加速度：【例1-8】一质点从静止开始作半径为米的圆周运动。且，求其角速度和切向加速度。【解】由角加速度的定义：切向加速度：【讨论】 综合【例1-7】和【例1-8】两例题，由求求用微分；反之，由求求用积分，积分时，要求正确运用初始条件。注意：对于圆周运动，由于角量的方向均在一直线 (转轴) 上，因此，求角量间的关系时不必用矢量形式。【分类习题】【1-15】 质点作变速圆周运动，已知圆周半径为，时刻质点速率为。求时刻其加速度的大小。【1-16】以初速度，抛射角斜抛一物体，求其轨道最高点处的曲率半径。【1-17】质点作半径为的圆周运动，其路程（为大于0的常数，且）。则时刻质点

21、的切向加速度大小 ，法向加速度的大小 ；当 时。【1-18】 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在内从动轮角速度达。求在这内主动轮转过多少圈。【1-19】 飞轮作匀角减速转动，角速度在内由减少到。飞轮在这内共转过 圈，再经过 时间才停止转动。【1-20】 一质点作半径为的圆周运动，角位移。求时其法向加速度大小和切向加速度大小。【1-21】 一质点以绕轴转动，此质点某时刻的位置矢量。求该时刻质点的速度。提示：利用角量与线量间的矢量关系。§1-4相对运动【基本内容】一、位矢相对性质点在系的位矢，等于质点在中的位矢与系的

22、坐标原点相对于系的位矢的矢量和。如图1.7：二、速度的相对性质点相对于系的速度，等于质点相对于的速度与系相对于系的速度的矢量和。三、加速度的相对性质点相对于系的速度，等于质点相对于的速度与系相对于系的速度的矢量和。若系相对于系作匀速运动，则在相对作匀速运动的参照系中，观察同一质点的运动，其加速度相同。【典型题例】【例1-9】 宽为的大江，江水由北向南流动。江中心水流速为，两岸水流速为0，江中任一点处的流速与江中心流速之差和江中心到该点的距离的平方成正比。今有汽船以速度由西岸出发，向东偏北航行，求其航线轨迹方程及到达东岸的地点。【解】 建立图示坐标系（1） （1）  

23、0;         汽船相对于水的速度：（2） （2）            水的流速：由题意知：而：或时，代入上式可求出：所以，（3） （3）            汽船相对于岸的速度即消去时间参量得此即航线轨迹方程。到达东岸时，代入有【步骤】由于相对运动，直接面对矢量加减，首先应根据题意作出矢

24、量图，再按此图求解各矢量间的关系。【分类习题】【1-22】 某人骑自行车以速率向西行驶，今有风以相同速率从北偏东300方向吹来，此人感到风由 方向以速率 吹来。【1-23】 对地的速度为，对地的速度为。求对的速度。【1-24】 水流的速率为，小船对水的速度大小为，与水流夹角为。则小船对岸边的速率为 ，与岸边夹角为 。【1-25】一飞机由处向北飞到处，然后又向南飞回到处。飞机相对于空气的速率为，而空气相对于地面以速率由东向西运动。、间的距离为。求飞机来回飞行的时间。第二章 动力学基本定律§2-1 牛顿运动定律【基本内容】一、牛顿运动定律概述1、牛顿第一定律定律内容：任何物体都保持静止或

25、匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。定律意义：引入了惯性的概念，惯性物体保持其原有运动状态的一种属性；定性确定了力的概念，力是使物体的运动状态发生改变的原因。2、牛顿第二定律定律内容：运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。定律意义：定量确定了力的概念；引入了质量的概念，质量是物体惯性大小的量度。定律的数学形式在直角坐标系下：在自然坐标系下：3、牛顿第三定律当物体A以力作用在物体B上时，物体B必以力作用在物体A上，且与大小相等、方向相反，并在同一直线上。二、力学中常见的力1、万有引力若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。2、弹力 包括

26、拉力、支撑力等。胡克定律，k叫弹簧的倔强系数。3、摩擦力滑动摩擦力：滑动摩擦系数。静摩擦力：静摩擦系数。注意：静摩擦力是一个范围概念，只有最大静摩擦力才能用等式表示。惯性系中，静摩擦力由平衡条件求出。三、惯性系与非惯性系惯性系：牛顿定律适用的坐标系称为惯性系。相对于惯性系作匀速直线运动的参照系均为惯性系。非惯性系：相对于惯性系作加速度运动的参照系为非惯性系。【典型例题】如物体处于惯性系，首先进行受力分析，根据具体情况将力分解，再运用牛顿定律，写出微分方程并求解；如物体处于非惯性系，首先引入惯性力（或利用加速度变换将非惯性系转化为惯性系），再按上面步骤求解。【例2-1】 将质量为的小球用绳挂在倾

27、角为的光滑斜面上,当用力使斜面体以加速度向左方运动时，如例2-1图，求绳中的张力和小球对斜面的正压力。【解】 所求、都与小球有关，故选小球为研究对象。图（b）中给出了斜面静止时小球的受力情况。为绳中张力，为重力，为来自斜面的正压力。当斜面体向左加速运动时，小球将随同斜面体一起加速运动，出现与方向相反的加速度分量。根据牛顿第二定律沿方向的分量方程将随加速度的增大而减小，直到减小至零与斜面脱离接触。因此，在题中未给出a的范围的情况下，小球有两种可能的受力情况，与此相应，应该建立两种不同的力学方程，得出两种不同的解答。(1)加速度a较小，小球还没有离开斜面根据图(b)所示的受力情况，由牛顿第二定律得

28、:由此两式可以分别解出且N=-N,当N=时，由可得当时，小球就离开斜面了。由于受力情况已发生变化，出现的负值，已经没有意义。(2) ，小球已经离开斜面图(c)表示小球离开斜面后的受力情况。此时，牛顿第二定律表示为由此解得 讨论 在有些问题中，随着运动情况变化，物体的受力情况（力的数目，力的方向）也相应变化。处理这样的力学问题，应该分别不同情况建立方程，得出不同的解答。【例2-2】 一根不可伸长的轻绳，跨过(轻)定滑轮。绳的一端挂有mkg的重物，在绳的另一端施一力F。当F9.8时，系统处于平衡状态。如果从某一时刻开始，拉力按9.8tt(SI)的规律作用。问当拉力变为9.8N时，重物的最大速度是多

29、少?【解】 这是一个已知变力求运动规律的问题。题设中的“轻绳”和“轻滑轮”，意指不计绳及滑轮的质量。以地面为参考系，取重物m为研究对象，受力分析如例2-2图,m受重力和向上拉力的作用，一般作加速运动。选取竖直向上为坐标轴Ox方向。不计绳及滑轮质量，则绳中张力处处相等，因而有由牛顿第二定律(在Ox轴上的分量式)得分离变量并积分得由题意知，当F时系统平衡，即解之得t，ts，ts时，物体的速度为【常见错误】在物体受变力作用时，不会用微积分处理，仍坚持用中学的匀变速直线运动的三个公式。【例2-3】 光滑桌面上放置一固定的圆环带，半径为R。一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦系数为。

30、设在某一时刻物体经过A点时的速度为v0。求此后t时刻物体的速率和从A点开始所经过的路程。【解】 物体受力：环带对它的压力N，方向指向圆心；摩擦力f，方向与运方向相反，大小为(1)另外，在竖直方向受重力和水平桌面施给物体的支撑力，二者互相平衡，与运动无关设物体的质量m，由牛顿运动定律可得方程：切向（）法向（）联立(1)、(2)、(3)，解得：即分离变量并积分，得再对时间积分，且利用初始条件t时，S，得【讨论】 为什么存在摩擦力而不能迫使m静止呢?原因是摩擦力f虽然迫使m减速，但是f的大小取决于N，而N又取决于v。当v减小时，则N减小，相应的f减小，也就越难于减速。当v0时，f，使at0，从而使m

31、的滑行成为无限的过程。这与物体在桌面上的滑行是不同的，桌面给予的摩擦力是不变的，故能迫使m减速到静止。【分类习题】【2-1】 半径为的直立圆筒，可饶其轴转动。一小物体紧靠在其内壁上（图2-1），已知其间的静摩擦系数为，要使物体不下落，圆筒旋转的角速度至少为多少？【2-2】 在倾角为的圆锥体侧面，距轴为处放一质量为的小物体，圆锥体绕竖直轴以匀角速转动（图2-2）。为使物体相对锥体静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为多少？【2-3】 斜面固定于卡车上，在卡车沿水平方向加速过程中，斜面上物体与斜面无相对滑动（图2-3）。则斜面对物体的静摩擦力的可能方向为 。提示：假定物体不受静摩擦力，分析物体相

32、对斜面的可能加速的方向。【2-4】 分别画出下面两情况物体的受力图。（1） （1）图2-4（1）：物体放于物体上，被一起斜抛出作抛体运动，始终位于上。不计空气阻力。（2） （2）图2-4（2）：锲形物置于地面上，将物体轻轻放于的斜面上。两物体静止。设与间、与间摩擦系数不为0。【2-5】 质量分别为和的两滑块和，由弹簧水平连接置于桌面上（图2-5），两滑块与桌面间的摩擦系数均为。系统在拉力作用下匀速运动，如忽然撤消拉力的瞬间，两者加速度 ， 。提示：撤消的瞬间，弹簧的长度不变，弹力也不变。【2-6】 质量相等的两物体和，固定于弹簧的两端，并竖直放于光滑水平面上（图2-6），若迅速移走的瞬间，两物

33、体加速度分别为 ， 。【2-7】 用轻绳和连接静止的质量为的小球，（图2-7，角已知），剪簖绳前后的瞬间，绳的张力之比 ；剪后瞬间，小球的切向加速度的大小 。提示：剪后瞬间，小球速率为。2-8 一艘速度为的摩托艇，当发动机关闭后，受到一个与速度方向相反的阻力，式中为常量。设摩托艇的质量为，在发电机关闭后求（1） （1）速度对时间的变化规律；（2） （2）路程对时间的变化规律。【2-9】 质量为的雪橇沿与水平面夹角为=36.90的斜坡下滑，受空气阻力正比于速率，比例系数为未知的常量。今测得其图如图。曲线初始点的切线通过点，随着的增加，曲线靠近。求比例系数和雪橇与斜坡间的摩擦系数。提示：图切线表示

34、此处加速度。【2-10】 滑轮系统置于匀加速度为的升降机内，两物体和的质量均为，不计滑轮和绳子的质量，忽略一切摩擦（图2-10）。求绳子中的张力。 §2-2、刚体定轴转动定律【基本内容】一、刚体所受的力矩力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。式中为力在转动平面的投影，为轴指向力的作用点。结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上；结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。二、刚体定轴转动定律定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即三、转动惯量定义：对于质点系对于刚体线分布：是质量线密度。面分布：是质量面密

35、度。体分布：是质量体密度。决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。【典型题例】【例2-4】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m和m的物体，mm，如图例2-4所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有TT1，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有TT1，T。T、T1和T、T都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m与m有大小相同的加速度a ，且都等于滑轮边缘的切向加

36、速度。以m向上、m向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得 鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度a与滑轮角加速度之间的关系，还可以建立一个辅助方程ar求解上述四个联立方程，即得【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即m，r时，结果为与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。TT是考虑实际转动效应的一个重要特征。线量与角量关系的ar，是

37、一个不可少的辅助方程。【例2-5】 一刚体由长、质量为m的匀质细杆和质量为m的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另一端点的轴O在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求：(1)刚体绕轴的转动惯量；(2)当杆与竖直方向成角时的角速度为多大? 【解】 (1) (2)当刚体转动与竖直方向成角时，所受合外力矩为由转动定律得又因所以分离变量积分，得【例2-6】用力将一块粗糙平面紧压在半径为的轮上，平面与轮间的滑动摩擦系数为。已知轮的初角速度为,质量为且均匀分布；轴的质量不计；力均匀分布在轮面上。求（1） （1）   轮转过多大角度时停止转动？（2） （2）  

38、需多长时间停止转动？【解】首先计算轮所受摩擦力矩在以轮心为原点的极坐标系中，取轮上一面积元，其上压力为转动时，该面元所受摩擦力大小为方向沿切线且与面元的线速度方向相反。面元所受摩擦力矩大小为负号表示摩擦力矩方向与面元角速度方向相反。由于各面元所受力矩的方向都相同，所以整个轮受到的摩擦力矩为由转动定律明显，角加速度为常量。有（1） （1）         由公式 有（2） （2）      由公式 有【讨论】在求摩擦力矩时，经常出现一种解法：将轮分割成无穷多半径为宽为

39、的同心圆环虽然结果正确，但这种方法是不妥的。因为作用在小圆环上各点的摩擦力方向是不相同的，其合力应为0。【分类习题】【2-11】 质量为的均匀细杆，端靠在光滑墙上，端置于粗糙水平地面上，杆静止且与墙的夹角为（图2-11）。求端对墙壁的压力，并讨论墙面粗糙而其它条件不变时，端对墙的压力是否唯一确定。提示：刚体的平衡即是刚体既无平动加速度（刚体的质心加速度为0），又无转动角加速度。因此，刚体受合外力及合外力矩均为。【2-12】 边长为、质量为的均匀立方体，放于粗糙的地面上（图2-12），水平拉力作用于一边中点，立方体不滑动，若要使该立方体翻转900，则至少为 。【2-13】 在半径为50cm的飞轮

40、上绕以细绳，绳末端悬一质量为的重锤。让重锤从2m高处静止下落需时间；再让另一质量为4的重锤作同样的测量，其下落需时间。假定摩擦力矩为一常量。求飞轮绕其轴的转动惯量。【2-14】 半径为的圆形均匀薄板置于水平桌面上，薄板与桌面间的摩擦系数为，薄板可绕通过其中心且垂直于板面的轴转动，初时其角速度为。求此薄板还能转多少圈才停止。（提示：薄板上任何质元所受摩擦力矩的方向相同）。【2-15】 转动惯量为的电风扇，在开启电源后，经时间达到恒定转速，在关闭电源后，经时间风扇停止转动。假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量。求电机的电磁力矩。【2-16】 以20牛顿.米的恒力矩作用于定轴转轮上，在10内该转轮的

41、转速由0增至100，此时移去该力矩后，转轮因摩擦力矩经100停止转动，求此转轮的转动惯量。【2-17】 一轻绳绕过轴光滑的定滑轮，滑轮质量为且均匀分布在其边沿上。质量为的人从端相对绳匀速向上爬，在绳子的端挂一质量为的物体（图2-17），求端物体上升的加速度。提示：人与物体对滑轮轴的加速度相同。【2-18】 质量均为的物体和叠放在光滑桌面上，轻绳跨过轴光滑的定滑轮连接物体和（图2-18）。设定滑轮的转动惯量为滑轮半径），忽略与间的摩擦。今用水平力拉物体，已知。求:（1） 定滑轮的角加速度。（2） 物体与定滑轮间绳子的张力。（3） 物体与定滑轮间绳子的张力。【2-19】 两端挂着物体质量分别为和的

42、轻绳，跨过两质量均为，半径均为的均匀圆盘状定滑轮（图2-19）。滑轮轴光滑，将系统静止释放，求两滑轮间绳子的张力。 第2章 动力学基本定律 习 题 2.1 用力F推水平地面上一质量为M的木箱，如图所示。设力F与水平面的夹角为a，木箱与地面间的滑动摩擦系数和静摩擦系数分别为mk和ms。求：（1）要推动木箱，F至少应多大?此后维持木箱匀速前进的力F要多大?（2）证明当a角大于某一定值a0时，无论用多大的力F，也不能使木箱前进，a0是多大?2.2 设质量m=10kg的小球挂在倾角a=30°的光滑斜面上，如图所示。求：（1）当斜面以加速度沿图所示的方向运动时，绳

43、中的张力及小球对斜面的正压力各是多大?（2）当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零?2.3 如图所示，A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体的质量分别为：m1=200g，m2=100g，m3=50g。求：（1）每个物体的加速度；（2）两根绳中的张力T1和T2，假定滑轮和绳的质量以及绳的伸长和摩擦力均忽略。2.4 如图所示，物体A和B的质量分别为10kg和5kg，A与桌面间摩擦系数为0.20，为防止A移动，C的最小质量是多少？如果撤去C，试求此时系统的加速度。滑轮的质量及摩擦不计。      2.5 如图所示，卡车从静止开始作匀加

44、速直线运动。在10s内速率达到20m/s。车上一质量为5kg的木箱离卡车后缘S=3m，当t=0 时，木箱开始滑动，木箱与车厢的摩擦系数为 0.15。求：（1）木箱相对地面的加速度；（2）木箱到达卡车后缘所经历的时间；（3）木箱落地时速度的水平分量。2.6 质量为M的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m的方木块放在斜面上，如图所示。如果两木块间的摩擦可忽略不计，求m相对于M的加速度。 2.7 在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a=-0.2v。求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半。2.8 光滑的桌面上放置一固定的圆环带，半径为R。一物体贴着环带内侧运动，如图所示。物

45、体与环带间的滑动摩擦系数为mk。设在某一时刻物体经过A点时的速率为v0。求此后t时刻物体的速率和从A点开始所经历的路程。2.9 跳伞员与装备的质量共为m，从伞塔上起跳时立即张伞，可粗略地认为张伞时速度为零，此后空气阻力与速率平方成正比，即f=kv2，求跳伞员的运动速率v随时间t变化的规律和极限速率vT。2.10 在水平面上以速率v行驶的汽车，当与前面一堵墙相距为d时，司机才发现必须制动或转弯，设车轮与地面之间的静摩擦系数为ms，问若司机制动停车（不转弯），他需要的最小距离d1为多大?若他作90°拐弯（不制动），他需要的最小距离d2又是多大?哪种办法最安全?2.11 地球自转是逐渐变慢

46、的。在1987年完成365次自转比1900年长1.14s，求在1900年至1987年这段时间内，地球自转的平均角加速度。2.12 水分子的形状如图所示，从光谱分析得知水分子对AA轴的转动惯量是JAA¢=1.93×10-47kg·m2，对BB轴的转动惯量是JBB=1.14×10-47kg·m2。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离d和夹角q。假设各原子都可当作质点处理。       2.13 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。AA过半圆形圆心且在半圆形平面内

47、。试求细棒对轴AA的转动惯量。2.14 如图所示。两物体质量分别为m1和m2。定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为mk，求m1下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。2.15 如图所示，两个鼓轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起。鼓轮可以绕一水平固定轴自由转动。今在两鼓轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体。求在重力作用下，m2下落时鼓轮的角加速度。       &#

48、160;  2.16 飞轮的质量m=60kg，半径R=0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为900r/min。现利用一制动用的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数m=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。（1）设F=100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里，飞轮转了几转?（2）如要在2s内使飞轮减速一半，需加多大的制动力F?2.17 一质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面上绕其端点O转动，如图所示。若初始角速度为0，杆与水平面的滑动摩擦系数为m。求：（1）细杆所受的摩擦力矩M；（2）若细

49、杆只受此摩擦力矩的作用，它转动多少圈而静止?2.18 一根均匀米尺，用钉子在60cm刻度线处被钉到墙上，使它们可以在竖直平面内自由转动。先用手使米尺保持水平，然后释放。求刚释放时米尺的角加速度和米尺到竖直位置时的角加速度各是多大。部分习题答案2.1 （）；（2）2.2 (1) 77.3N 68.5N; (2) 17.0m/s22.3 (1)a1=1.96m/s2向下； a2=1.96ms2向下；a3=5.88m/s2向上(2) T11.57N； 2=0.784N2.4 15kg, 1.96m/s22.5 （）g； (2) 3.36s; (3) 4.95m/s2.6 2.7 3.47s2.8 ；

50、 2.9 其中 2.11 9.58×10-22rad/s22.12 d=9.59×10-11m; 104°542.13 2.14 2.15 2.16 （）7.07s 约53转（2）177N2.17 （） （2）2.18 10.5rad/s2 4.58rad/s 第3章 守恒定律 习 题 3. 质量为m的质点，在外力的作用下运动，其运动方程为rcostiBsint j。式中A、B、都是正的常数。求力在t10至这段时间内所做的功。3.2 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为，l表示弹簧的伸长量，k1为正，求弹簧由l1拉长至l2时弹簧对外界所做

51、的功。3.3 一个人从10m深的井中提水，起始时桶中装有10kg的水，桶的质量是1kg。由于桶漏水，每升1m要漏去0.2kg的水，求水桶匀速地从井底提到井口的过程中，人所做的功。3.4 长为l，质量为M，且均匀分布的柔绳，一端挂在天花板下的钩子上，将另一端缓慢地垂直提起，并挂在同一钩子上，试通过直接积分（即用F·dr）求出该过程中外力所做的功。3.5 矿砂由料槽均匀落在水平运动的传送带上，落砂量qkgs。传送带匀速移动，速率为v=1.5ms。求电动机拖动皮带的功率，这一功率是否等于单位时间内落砂获得的动能?为什么?3.6 用铁锤将一铁钉打入木板，沿着铁钉方向木板对钉的阻力与铁钉进入木

52、板的深度成正比。在铁锤击第一次时，能将铁钉击入1cm，若铁锤击钉的速度不变，问击第二次时，铁钉能被击入木板多深?3.7 人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A，远地点为B，A与B距地心分别为R1和R2。设卫星质量为m，地球质量为M，万有引力常数为。求卫星在A、B两点处万有引力势能及动能之差。3.8 一小球在弹簧的作用下作振动 。弹力，位移。其中k，A，都是常量。求在=0到时间间隔内弹力施于小球的冲量。3.9 一个质量0.14kg的垒球沿水平方向以150ms的速率投来，经棒打击后，沿仰角a=45°的方向飞回，速率变为2=80ms。求棒给球的冲量的大小与方向。如果球与棒接触的时间为t=

53、0.02s，求棒对球的平均冲力的大小。它是垒球本身重量的几倍？3.10 自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹，每颗子弹质量为7.9g，出口速率为735m/s，求射击时所受的平均冲力。3.11 一质量为2kg的物体沿x轴无摩擦地运动，t=0时物体速度v0=2ms，若该物体在沿x方向力F=2+4t（N）作用下运动2s，求此时物体的加速度及速度的大小。3.12 两块并排的木块A和B，质量分别为mA和mB，静止地放在光滑的水平面上，一颗子弹水平地穿过两木块，设子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子弹的阻力恒为F。如图所示。求子弹穿出后，木块A和木块B的速度大小各为多少？3.13 三艘质量

54、均为M的小船鱼贯而行，速度均为v，如果从中间那艘船上同时以相对于船的速度把两个质量均为m的物体分别抛到前后两艘船上，速度v的方向与速度在同一水平面上。求抛掷物体后三艘船的速度大小。3.14 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量为p1=9.22×10-16g·cms的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量为p25.33×10-16g·cms的中微子。求蜕变后的原子核的动量的大小和方向。3.15 一辆停放在平直轨道上的质量为的平板车上站着两个人，当他们从车上轨道方向水平跳下后，车获得了一定的速度。设两人的质量均为m，跳下时相对于车的速度

55、均为v。试求下列两种情况下，车速大小。（1）两人同时跳下；（2）两人依次跳下。3.16 两辆质量相等的汽车在十字路口垂直相撞，撞后两车扣在一起沿直线滑动了S=25m后停下。设滑动时地面与车轮的摩擦系数为mk0.80，撞后两车司机都声明他们并未超速行驶（此路段限速14ms）。他们的话可信吗？3.17 自动步枪的质量为3.87kg，弹丸质量为7.9。战士以肩窝抵枪，水平射击。子弹射出的速率为735ms。自开始击发至子弹离开枪管经过0.0015s。设子弹在枪膛内相对于地球作匀加速运动。求子弹离开枪管口时，枪身后坐的距离。3.18一段均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触及桌面。如果把链的上端放开，证明

56、在链下落的任意时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量。3.19 斜面质量为M，倾角为，高为h，置于光滑水平面上，质量为m的物体自斜面的顶端A处沿斜面滑到底部。求此时斜面相对于地面的速率VM。求解问题时，你应当从下列方程中选取哪两个方程？（式中vm表示物体m相对地面的速度、V为物体m相对斜面的速率）（1）（2）（3）（4）（5）3.20 传送带A以v0=2ms的速度把m=20kg的行李包送到坡道的上端，行李包沿光滑的坡道下滑后装到M=40kg的小车上（如图所示）。已知小车与传送带之间的高度差h=0.6m，行李包与车板间的摩擦系数m=0.4，小车与地面间的摩擦忽略不计。取g=1

57、0m/s2。求：（1）开始时行李包与车板间有相对滑动，当行李包相对小车静止时，车速是多大？（2）从行李包送上小车到它相对小车静止时，所经历的时间是多长？         3.21 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如图所示的装置。弹簧倔强系数为k，其自然伸展长度等于水平距离BD，m2与桌面的滑动摩擦系数为m。最初，m1静止于A点，AB=BD=h，绳已拉直，现令A从静止开始下落，求A下落至处时的速率。3.22 制造半导体材料时，将硼离子注入硅单晶，硼离子与

58、处于静止的硅原子发生完全弹性对心碰撞，碰撞后硼离子失去的动能称为最大传输能量E。已知硼离子摩尔质量为1=10，硅的摩尔质量为2=28，入射硼离子的能量为2×105eV，求E。3.23 一质量为3500kg的铝制人造地球卫星绕地球作圆周运动，轨道高度为100km。由于空气阻力它逐渐减速最后撞回地面，求：（1）它在100km高处运行时的总能量和落到地上后的总能量以及它们的差。（2）如果减少的能量都被卫星以热量形式吸收，它能被全部熔化吗？它能被全部蒸发吗？已知铝的熔解热是3.98×105Jkg，铝的蒸发热是1.05×107Jkg。3.24 在一铅直面内有一个光滑的轨道，

59、左边是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，二者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与发生完全弹性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下，已知A、B二质点的质量分别为m1和m2求A、B至少发生两次碰撞的条件。3.25 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度。静止时，两球恰能接触且悬线平行。碰撞的恢复系数为e，若球A自高度h1释放，求该球弹回后能达到的高度。若二球发生完全弹性碰撞,会发生什么现象?3.26 一转台绕竖直固定轴转动,每转一周所需时间为t=10s，转台对转轴的转动惯量为J=1200kg·2。一质量为M=80kg的人，开始时站在转台的中心，随后沿半径向外跑去，求当人离转台中心=2m时转台的角速度。3.27 飞轮对自身轴