17微积分公式

1、1. 7极限存在准则 两个重要极限一、准则I准则I、准则r二、第一个重要极限第一个重要极限三、准则II单调数列、准则II四、第二个重要极限 第二个重要极限五、求极限小结一、准则I准则I:如果数列、儿及0满足下列条件：(1) ynxtsns那么数列/的极限存在，且lim x=a .ns证明 因为lim y=a, lim zn=a,由极限的定义，V0,nsns32V0,当N时，有I儿厂qIve及匕厂qIvg 即a-yna+s, a-z na+s ,又因ynxnN时,有a-y nxfz na+,即xn-as这就证明了 lim x=a7?-oO、准则I准则I:如果数列、儿及0满足下列条件:(1) yn

2、xfsns那么数列/的极限存在，且lim x=a .ns准则I:如果函数g(x)、yoo及力(兀)满足下列条件：当 xeU.r)(或xM)时，有 g(x)f(x)xoXXq(xco)(xco)那么lim几对存在,XXq (x00)且 lim f(x)=A.(XT8)第一个重要极限：lim 沁=1.XTO x证明 如图，AAOB的面积v扇形的面积v AAOD,第一个重要极限：lim 沁=1.XTO x根据第一个重要极限，在极限血1兰竺凹 中，如果4(劝是无 a(x)穷小就有lim 叱凹=1,需要注意的是若加兀)不是无穷小，则6Z(X)lim血(X)就不一定是1.a(x)因为，令u=a(x),贝I

3、jw -0,于是lim“ sin w=lima(x)lim 叫=limx-0/ isinx1i sinx 1=limlim =1xtO x xtOcOSX求lim1-cosxlim1 COS X !=lim2sin2fsinx1x-0x1 x sin 2x三、准则II单调数列：如果数列满足条件%1x2x3 . xxn+iX2X3 . xtxn+l .就称数列兀”是单调减少的.单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 准则II:单调有界数列必有极限.注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界.但那时也 曾指出：有界的数列不一定收敛.现在准则II表明：如果数列 不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限

4、必定存在，也就 是这数列一定收敛.四、第二个重要极限( n设兀尸1+-,可以证明数列%“是单调增加并且有界. n丿根据准则II,数列入必有极限.这个极限我们用e来表示.即( 丫lim 1 + =e7?OCe是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 -.还可证明lim 1 + X-oO第二个重要极限:(1 ylim 1 + X-oO兀丿注：根据第二个重要极限，在极限lirnl + a(x)E中，如果(劝是无穷小，就有lim l + a(Q市.这是因为，令=,则u 00,于是6Z(X)liml + (x)aU)=limUS求lim 1x丿XS解 令t=-x,贝Ijx -00时，t S 于是(1 y (1lim 1 =lim 1 + -X-00x丿求极限小结求limx2求limsin x求limjvt3- 5x + 3 兀一3%2 -9求limxtOtanxx2x 3