专题16空间角(教师版)

1、专题16 空间角D高考在考什么【考题回放】i .如图，直线a、b相交与点b都成600角的直线有(A. 1条B. 2条。且a、 C )C.b成600,过点O与a、O2 .在一个450的二面角的一个平面内有 二面角的另一个面所成的角为(AC. 6003条 D. 4条一条直线与二面角棱成B. 4503 .直三棱住 AiBiCi ABC , 别是AiBi、AiCi的中点,所成角的余弦值是(A. V30i0/ BCA= 900 ,点 BC=CA=CC i,则 )C.次D.4.已知正四棱锥的体积为i5i2,底面对角线的长为276 ,450角，则此直线与DiD. 900Di、Fi 分BDi与 AFiio线A

2、D于P,则 AiCP (或补角)为异面直线 DE所成的角。在AAiCP中，易得DA iAiC与J则侧面与底面所成的二面角等于 一35 . PA,PB,PC是从P点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60,则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为.3E、F分别为BC与AiDi的中点,6 .在棱长为 a的正方体 ABCD AiBiCiDi,(i)求直线AiC与DE所成的角；(2)求直线AD与平面BiEDF所成的角；(3)求面Bi EDF与面ABCD所成的角。【专家解答】AiC,3a,CP DE - a, AiP2, i3a2,由余弦定理得 cos A1cp故异面直线AiC与DE所成的角为.i5

3、 arccos。i5(2)ADE ADF ,AD在面BiEDF内的射影在/ EDF的平分线上。 而BiEDF是菱形，DBi为/EDF的平分线。故直线 AD与面BiEDF所成的角为/ ADB i.在 Rt ABiAD中,IAD a, ABi V2a,BiD V3a,则 cos ADBi 3- i5Oi5DjC(i)如图，在平面 ABCD内，过 C作CP/DE交直故直线AD与平面BiEDF所成的角为arccos(3)连结EF、Bid,交于点 O,显然。为BiD的中点，从而 O为正方体ABCD AiBiCiDi 的中心,作HM XDE,垂足为M ,连结OHL平面ABCD ,则H为正方形 ABCD的中

4、心。再作OM ,则 OM XDE (三垂线定理)，故/ OMH为二面角Bi-DE-A 的平面角。23在 RtADOE中 oe 些a,OD a, DE22旦,2则由面积关系得0M OD OEde在 Rt A OHM 中 sin OMH OH OM,30 a i030o6.30故面BiEDF与 面abcd所成的角为 arcsin6高考要考什么【考点透视】异面直线所成角，直线与平面所成角，求二面角每年必考，作为解答题可能性最大.【热点透析】1 .转化思想：线线平行线面平行面面平行，线线 线面 面面将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形2 .求角的三个步骤：一猜，二证，三算.

5、猜是关键，在作线面角时，利用空间图形的平 行,垂直，对称关系，猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方，然后再证3 .二面角的平面角的主要作法：定义三垂线定义 垂面法高考将考什么中，A , B ,已知点A和B到棱的距直线AB与平面3所成的角。【范例1】在1200的二面角 a离分别为2和4,且AB=10。求%垂足为C；在平面3内，过b(1)直线AB与a所成的角；(2) 解：(1)如图所示，在平面“内，过作BDL &垂足为D;又在平面 3内，过B作BE/CD, 连结CE,则/ ABE为AB与a所成的角，CE/BD, 从而 CE a, /ACE=120 0, / AEB=90o。在A AC

6、E中，由余弦定理得_220AE .AC2 EC2 2AC EC cos12002 2 42 2 2 4cos12002 7在 RtAAEB 中，sin ABEAEAB-I。故直线5AB与棱a所成的角为arcsin一5(2)过点A作AA,则垂足A在的另一半平面上。在 RtAAA C中，AA ACsin 600 J3。(4,2,2)则有DE3xEC取n0向量1z2,(1,3y 03 y 2z) f( 1,1,2),其中n0costanAA 11,2),则 n0是一一个与平面(0,0,2)与平面CDEAA 1所成的角n 0 ? AA 1(II)cos垂直C1 DE垂直的向量为二面角C DEC1的平面

7、角|n0 | | AAi |. 2101022、114.0042EC1与FD1所成角为官则ECi ?FDi1 ( 4) 3 2 2 2、63| ECi | | FDi |12 32 22( 4)2 22 2221O14在 RtAAAB 中，sin aba 竺立。AB 10故直线AB与平面3所成的角为arcsin上310【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影 求线面角的基本方法。【文】如右下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2.E、F分别是线段 AB、BC上的点，且 EB= FB=1 .(1)求二面角 CDE

8、Ci的正切值；(2)求直线ECi与FDi所成的余弦值.解：(I)以a为原点，aB,aD,aa1分别为 x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)、Di(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、Ci(4,3,2),故 DE (3, 3,0), EC1 (1,3,2),FD1 设向量n (x, y, z)与平面Cide垂直,空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。【范例2】如图，在四棱锥 P-ABC右，底面ABCD 为矩形，侧棱 PAL底面 ABCD , AB= 33

9、, BC=1 , PA=2 , E为PD的中点(I)求直线(n)在侧面并求出解法一：(i)AC与PB所成角的余弦值；PAB内找一点 N,使NEL面PAC,N点到AB和AP的距离建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(邪,0, 0), C(p, 1,0), D(0, 1, 0), P(0,0, 2), E(0, 1 , 2).2从而 AC=( J3, 1, 0), pB =0, -2).设AC与PB的夹角为，则cosAC PB| AC | | PB |32,73.714 AC与PB所成角的余弦值为3,714（n） N点在侧面PAB内，故可设

10、uirN点坐标为（x, 0, z）,则ME1X , - , 1 z)2, 工 NE AP由NE，面PAC可得0,NE AC0,X, 2,1X, 1,12z)z)(0,0,2)(.3,1,0)0,0,z 1化简得,- 3x0,120.361. .3即N点的坐标为（,60,1)解法二：（I）设 A6 BD=O ,XX D o*-X，一、， 3点到AB、AP的距离分别为1, 6连OE,贝U OE/PB ,EOA即为AC与PB所成.,5的角或其补角，在 AAOE 中，AO=1 , OE= - PB= , AE= 1 PD=,-1 cos EOA3.17 Q- 一八.人、， f,即AC与PB所成角的余弦

11、值为1431714（n）在面 ABCD内过D作AC的垂线交 AB于F,则 ADF 一 6. 一一AD 2.3 _ .3连 PF,则在 RtAADF 中 DF= ,AF AD tan ADF 一 .cos ADF 33设N为PF的中点，连NE,则NE/DF , DFXAC , DF PA, . . DF，面 PAC.从而 NE，面 PAC*1-1- N点到AB的距离=AP=1 , N点到AP的距离=-AF=）旦*226【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生 分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。

12、【文】在梯形ABCD中，AB=BC=1 , AD=2 , CBA BAD 90 ,沿对角线 AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。(1)求证：AB平面BCD(2)求异面直线BC与AD所成的角。解：(1)在梯形 ABCD 中，AC DC J2,AD=2,AC2 又BO 又ABAB22DC2 AD2, AC DC平面ACD ,故AB CDBC ,且 BC CD C平面BCD则OE、OF、EF,OE/AD ,(2)因为 BA=BC , BO AC ,。为AC中点，取CD中点E, AB中点F,连结作 FH/BO 交 AC 于 H,连结HE,贝U FH平面ACD2_2_2EF FH EHF

13、H2222HC2EC223,24在三角形EOF中，又FO由余弦定理知cos EOF1一,EO=121-, EOF 1202故异面直线BC与AD所成的角为120【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别, 也不失一种好方法。【范例3】如图，在斜三棱柱 ABC AB1cl中，本题使用空间向量的方法A1ABA1AC, AB AC ,AiA AiB a ,侧面Bi BCC1与底面ABC所成的二面角为120 , E、F分别是棱B1c1、A1A的中点(I)求A1A与底面ABC所成的角(n )证明AE /平面BFC(出)求经过A、A、B、C四点的球的体积.解：(I)过人作A1H 平面ABC ,垂足为H

14、连结AH ,并延长交BC于G ,于是 A1AH为A1A与底面ABC所成的角 A1ABA1AC ,AG 为 BAC 的平分线A1/JvCC1LeBiOF/BC，所以AD与BC所成的角为EOF或其补角.又 AB AC, . AG BC ,且G为BC的中点.由三垂线定理 A1A BC . A1A/ B1B,且 EG/ B1B，.一 EG BC .于是 AGE为二面角 A BC E的平面角，即 AGE 120 .由于四边形 A1AGE为平行四边形，得A1AG 60 .(n)证明：设 EG与B1c的交点为P,则点P为EG的中点.连结PF .在平行四边形 AGEA1中，因F为A,A的中点，故A1E/FP

15、.而FP 平面B1FC , A1E 平面B1FC ,所以A1E/平面B1FC .(出)连结 A1c .在 A1AC 和 A1AB 中，由于 AC AB, A1ABA,AC ,A1AA1A，则AAC0A1AB,故A1cA1B.由已知得A1AA1BA1Ca又 A1H 平面ABC, H为 ABC的外心设所求球的球心为 O,则O A1H ,且球心。与AA中点的连线OF A1A1在 RtAFO 中，AQ AF2叵.cos AA1 Hcos 303故所求球的半径 R *3a ,球的体积V 4 R3 勺3 a3.3327【点晴】(I) (n)两小题注意使用二面角属于简单立几问题。(出)要注意球 的几何性质以

16、及平面几何知识的合理利用。【文】在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PAL面 ABCD , PA=AB=a, E 为BC中点.(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；(2)求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小解：(1)延长AB、DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱,. PA，平面 ABCD ,AD PA AB, PAAAB=ADA,平面 BPA于A, 过A作AO，PF于O,连结 OD,5 atc tan 2则/ AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。5得tan AOD ,故面PDE与面PAD所成二面角的大小为 2, o45 。(2)解

17、法 1 (面积法)如图: ADPA、AB, PAAAB=A DA,平面 BPA于A,同时BCL平面BPA于B,. PBA是 PCD在平面 PBA上的射影，设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为 0 ,cos 0 =Pab/Sapcd=/2 0 =45即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为 45。解法2 (补形化为定义法)如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体 ABCD-PQMN ,贝U PQPA、PD,于是/ APD是两 面所成二面角的平面角。在RtAPAD中，PA=AD ,则/APD=45 。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循

18、一作二证三计算的步骤,但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】如图，已知平行六面体 ABCD A1B1clD1的底 面 ABCD 是菱形，且 CiCB CiCD BCD 600.(I)证明：CiCXBD ;3(II)假te CD=2 , CiC= 一 ,记面 CiBD 为 面 CBD 为 3,2求二面角a BD的平面角的余弦值；(III)当 空的值为多少时，能使 AC,平面C1BD?请给出证明。CC1(I)证明：连结 A1cl、AC, AC和BD交于O,连结C1O . 四边形 ABCD 是菱形，AC BD, BC=CD.又 BCC1C1BC DO=OB, AC nCQ

19、=O, 又C1c 平面 (II)解:由(DCC1,C1c C1C , C1DC ,C1B C1D ,C1O BD,但 ACXBD, BD，平面 AC1 .CQC是二面角BDBD.C1O BD,的平面角.C1正在 C1BC中,BC=2,C1c一 22 CB2223232BCC1cos60137 Z OCB= 30OB=- BC=1 .2.C1O2C1B2OB2137一 3 一 一C1O 3 即 C1O2C1C .作C1H OC,垂足为H3点H是OC的中点，且OH - 所以 cos C1OC2OHC1O证法一：.CD ,CC1CD1时，能使A1C，平面C1BD .CC1由此可推得BD=C1BBC=

20、CD=C1C ,又 BCDC1CBC1D . .三棱锥 C- C1BD是正三棱锥C1CD ,设 AC 与 C1O 相交于 G. . AC /AC,且 A1C1 ： OC=2： 1,C1G : GO=2 ： 1.又C1O是正三角形 C1BD的BD边上的高和中线，.点G是正三角形 C1BD的中心，CGL平面C1BD .即A1c，平面C1 BD证法二：由(I)知，BDL平面 AC1，: A1c 平面 AC1，.二 BD AC .CD当上D 1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC1同 BD AC 的证法可得 BC1 A1C .又 BDABC1 = B, /. A1C，平面 C1BD .【点晴】本题

21、综合考查了立体几何的各种基础知识, 常使用猜测(或特殊情形猜测)再分析证明的解决方法。【文】如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是边长 为a的正方形，并且 PD=a, PA=PC= J2a。(1)求证：PDL平面ABCD ;(2)求异面直线PB与AC所成的角；(III )作为开放题有一定难度,(3)求二面角 A-PB-D的大小。(4)在这个四棱锥中放一个球，求球的最大半径。解：(1) PC=/2a, PD=PC=a, PDC 是 Rt ,且 PDXDC, 同理 PDXAD ,又 ADn DC=D , . PD,平面 ABCD。(2)连BD,因ABCD是正方形，BD AC ,又PD,平面

22、 ABCD。BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂线定理得 PB AC ,PB与AC成90 角。(3)设 A8 BD=O ,作 AEPB 于 E,连 OE, ACXBD ,又 PDL平面 ABCD , AC 平面 ABCD ,. PDXAC , 又PDH BD=D ,，AC，平面 PDB,则OE是AE在平面 PDB上的射影。由三垂线定理逆定理知 OELPB,AEO是二面角 A-PB-D的平面角。又 AB=a , PA= 72a , PB= 73a ,PD,平面 ABCD , DA AB ,2一 、2 PAXAB ,在 Rt PAB 中，AE?PB=PA?AB。 A AE=a ，又 AO= -a

23、32AO . 3 . Sin AEO , AEO=60 ,二面角 A-PB-D 的大小为 60。OE 2(4)设此球半径为 R,最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为 S,连SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分为五个小四棱锥，它们的高均为R,由体积关系得：Vp ABCD1一R(S PDC S PBC S PAB S PDAS正方形 ABCD )31 R(a23 万aR 2.2、2a22a22、12- 2. 1a ) R(2a 2a ) a2233(2 V2)a。【点晴】解决(4)的关键是确定球与四棱锥具有怎样的位置关系时，半径最大,此时怎样建立关于球的半径的等量关系式。立体几何中的最值问

24、题，常有两种解决方法:(1)建立所求量的函数关系式，再求最值；(2)根据立体几何的有关知识，确定在什么位置时，所求量取最值。 如我提升1 .平面 的斜线AB交 于点B ,过定点 A的动直线l与AB垂直，且交 于点C ,则动点C的轨迹是(A )(A) 一条直线 (B) 一个圆 (C) 一个椭圆(D)双曲线的一支2 .如果平面的一条斜线长是它在这个平面上射影长的所成角的余弦值为(A )3 .如图在正三角形 ABC中,E、D、F分别为各边的中 点，G、H、I、J分别为 AF、AD、BE、DE的中点,将三角形沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为( B )3倍，那么这条斜线与平面,

25、则D. 304.已知二面角l的大小为60, m,n为异面直线，且A. 90 B, 60 C. 45m, n所成的角为(A. 300B. 601C. 900D. 12005 .在ABC 中,M,N 分别是 AB,AC 的中点，PM,平面 ABC,当BC=18,PM=343 时,PN和平面ABC所成的角是 3.6 .正六棱柱 ABCDED-A 1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为 寸2 ,则这个棱柱的侧面对角线EiD与BCi所成的角为607 .在正四面体 ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点。(1)求CE与AF所成的角；(2)求直线CE与平面BCD所成的角。解：(1)连结FD,取FD

26、的中点G,连结GE, 、G分别是AD、FD的中点，GE/AF ,故/ CEG (或其补角)即为 CE与AF所成的角。设AB=a,在ACEG中,EG a, EC a, CG42故CE与AF所成的角为二a, cos CEG 42 arccos-。3CE2 EG2 GC2(2)二.正四面体ABCD,BS AF, BC DF,.-.BCM AFD, ,面 AFDL面 BCD,过 E 作 EHDF 于则EHL面BCD,则/ ECH为CE与面BCD所成的角。在 RtACEH中，sin ECH 丝,3即CE与平面BCD成的角为arcsinW!。38.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,2底面AB / D

27、C ,DAB90 ,PAABCD ,且 PA=AD=DC= 1AB=1 , M 是 PB 的中点. 2(I )证明：面 PADXW PCD;(n)求AC与PB所成的角；(m)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小. 方法一：(I)证明：PAXW ABCD , CD LAD,由三垂线定理得 CDXPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD , PD都垂直，CD上面PAD.又 CD 面 PCD, ,.面 PAD PCD.(II)解：过点 B 作 BE/CA ,且 BE=CA ,则/ PBE是AC与PB所成的角.连结 AE ,可知 AC=CB=BE=AE= 72 ,又 AB=2 ,所以四边形ACBE为正方形.BE 10PB 5由 PAL面 ABCD 得/ PEB=90在 RtAPEB 中 BE= 2 , PB= 55 , cos PBE10AC与PB所成的角为arccos.5(出)解：作 AN CM ,垂足为N,连结BN.在 RtAPAB 中，AM=MB ,又