中考数学专题题库∶二次函数的综合题含详细答案

1、中考数学专题题库：二次函数的综合题含详细答案一、二次函数21 .如图，对称轴为直线 x1的抛物线y ax bx c a 0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（一3, 0）. 若点P在抛物线上，且 S POC 4s BOC ,求点P的坐标； 设点Q是线段AC上的动点，作 QD）± x轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值.【答案】（1）点B的坐标为（1,0）.（2）点P的坐标为（4, 21）或（一4, 5）.线段QD长度的最大值为 -.4【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标.（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到S boc ,设出点P

2、的坐标，根据Spoc 4S boc列式求解即可求得点P的坐标.用待定系数法求出直线 AC的解析式，由点 Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q- 3）,从而由QDx轴交抛物线于点 D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点 纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解【详解】解：（1） ,A、B两点关于对称轴 x 1对称，且A点的坐标为（一3, 0）,.点B的坐标为（1,0）.二.抛物线a 1 ,对称轴为x 1 ,经过点A （3, 0）,2a9a2 3b c抛物线的解析式为 y x2 2x 3.一- c _ 1_3，B 点的坐标为（0, 3）.，OB=1,OC=3

3、.，Sboc - 1 3-.22设点P的坐标为（p,p 一座拱桥的轮廓是抛物线型 （如图所示），拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均 为5m.（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图所示），其表达式是y ax2 c的形式.请根据所 给的数据求出a, c的值.（2）求支柱MN的长度.+2p-3）,则S POC2 3 ip 2P一一 3一 .一，S POC4sBOC ,51Pl6，解信p （3）拱桥下地平面是双向行车道 （正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排 行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）?请说说你的理由.当 p 4时 p2 2p 3 21 ；当 p

4、 4 时，p2 2p 3 5, 点P的坐标为（4, 21）或（4, 5）. 设直线AC的解析式为y kx b ,将点A, C的坐标代入，得:3k bb 3 直线AC的解析式为y x 3. 点Q在线段AC上，设点Q的坐标为（q,-q-3）.又 QD,x轴交抛物线于点 D, 点D的坐标为（q,q2+2q-3）.2八 2八 八2八39 1 QD q 3 q 2q 3 q 3q q24 , a 1< 0 , -3< 3V 0 2，、， 9线段QD长度的最大值为 一.4试题分析：（1）根据题目可知 A. B, C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解.（2）设N点的坐标为（5, yN）可求出支

5、柱 MN的长度.（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和.做GH垂直AB交抛物线于H则可求解.试题解析：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（-10,0）、（0,6）、（10,0）.6 c,将B、C的坐标代入y ax c ,得0 100a c.图2, 一 3斛得a ,c 6 . 50，抛物线的表达式是 yx2 6.50（2）可设 N（5, Yn）,32于是 yN 52 6 4.5.50从而支柱 MN的长度是10-4.5=5.5米. 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则 G 点坐标是（7,0）（7=2 T 2X3）.321过G点作GH垂直AB交抛物线于 H,则yH 72 6

6、3 3 .5050根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c交x轴于点A 4,0、点E 0, 2 ,连接AE .(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求 ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使 AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.3 o 32【答案】(1)二次函数的解析式为 y x2 -x 6； ( 2)当x 时， ADE的4 23面积取得最大值-50; (3) P点的坐标为 1,1 ,1,布，1, 2 JT9 .3【解析】分析：(

7、1)把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；(2)根据函数解析式设出点 D坐标，过点D作DG，x轴，交AE于点F,表示4ADE的 面积，运用二次函数分析最值即可；(3)设出点P坐标，分PA=PE, PA=AE, PE=AE三种情况讨论分析即可.详解：(1) .二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 A (- 4, 0)、B (2, 0) , C (0, 6),16a 4b c 04a 2b c 0 ,c 63 a -4一.3斛得：b,2 c 63 o 3所以二次函数的解析式为：y= -x2 -x 6；4 21(2)由A (- 4, 0) , E (0, - 2),可求AE所在直线解析式

8、为 y= x 2,2过点D作DNx轴，交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EHI±DF,垂足为H,如图，5 r323m,m 2 ),23丁 。m m 8 ,4设 D (m,-m -m 6),则点 F423 2 311- DF= -m-m 6( m 2)=4221. Saade=Sadf+Saedf= >DF>AG+ DF>EH 22=-XDF>AG+- >DF>EH221=-X 4DF2c ，32c、=2 (xmm 8)43,2、250=(m),2 ,当m=时，AADE的面积取得最大值为3-3 23（3） y= -x - x 6的对称轴为x=-42

9、4, 0),可求 PA=J9 n2 , pe=71 (n50.31,设 P ( 1, n),又 E (0, 2) , A (一2)2，AE=j16 4 2后,分三种情况讨论：当 PA=PE时，8 n2=J1 (n 2)2，解得：n=1,此时 P ( - 1, 1)；当PA=AE时，而n2 = 1164 2 A/5 ,解得：n= JU，此时点P坐标为（-1, 布）；当PEAE时，J1（n 2） 2 =716 4 2J5,解得：n=-2 如，此时点P坐标为:（-1, - 2 屈）.综上所述：P点的坐标为：（-1,1）, （-1,布），（-1,-2如）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线

10、解析式，会运用二次函数分析三角 形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.4.对于某一函数给出如下定义：若存在实数m,当其自变量的值为 m时，其函数值等于-m ,则称-m为这个函数的反向值.在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n称为这个函数的反向距离.特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离 n为零.例如，图中的函数有 4, - 1两个反向值，其反向距离 n等于5.，一一一1（1）分别判断函数y=-x+1, y= , y=x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距x离；（2）对于函数y=x2-b2x, 若其反向距离为零，求 b的值；若-14w

11、求其反向距离n的取值范围；2一x 3x( x m)(3)若函数y=2请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出x 3x(x m)相应m的取值范围.1及【答案】(1) y=-l有反向值，反向距离为 2; y=x2有反向值，反向距离是 1;(x b= ±1；0Wnwq (3)当 m>2 或 m<- 2 时，n= 2,当2V mW2时，n=4.【解析】(1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应 的反向距离；(2)根据题意可以求得相应的b的值；根据题意和b的取值范围可以求得相应的n的取值范围；(3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答

12、本题.【详解】(1)由题意可得，当-m= - m+1时，该方程无解，故函数 y= - x+1没有反向值，1;当-m= 1时，m= ±1，n= 1 - ( - 1)= 2,故y= 工有反向值，反向距离为 2, mx当-m = m2,得 m= 0或m= - 1,，n=0- (-1)=1,故y=x2有反向值，反向距离是(2)4i - m=m2-b2m,解得，m=0或m=b2-1,反向距离为零，.| b2- 1 - 0| = 0 ,解得，b= ±令m = m2- b2m ,解得，m =0或m = b2- 1,.n=| b2- 1 - 0| =|b2- 1| ,- 1 0 诉 wg2

13、x 3x( x m)y=2，x 3x(x m) 1当x利时， m = m2 3m,得 m = 0 或 m = 2,n = 2 - 0= 2, . m >2 或 mW- 2；当x v m时，-m= - m2- 3m,解得，m=0或m=-4,，n=0 ( 4)=4,- 2V mwz由上可得，当 m>2或mW 2时，n=2,当一2v mW2时，n = 4.【点睛】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要 的条件，利用新定义解答相关问题.5.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A (- 1, 0)、B (3, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物

14、线的解析式；(2)如图1, D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时 ADAC的周长最小；(3)如图2,点E在第一象限抛物线上， AE与BC交于点F,若AF: FE= 2:1,求E点坐 标；(4)点M、N同时从B点出发，分别沿 BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点 N停止运动后，在x轴上是否存在点 P,使得4PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.4 2 88【答案】(1)y x x4(2)D1, (3)点 P 的坐标 Pi( - 1 0)或 P2 333._9. _1_(7, 0)或 P3 ( ，0)

15、或 P4 ( -，0).5 3【解析】(2)找到D点在对称轴时是 ADAC周长最小的点,【分析】(1)直接待定系数法代入求解即可先求出直线BC,然后D点横坐标是1,直接代入直线 BC求出纵坐标即可(3)作 EH/ AB交BC于H,AB则 / FAB= / FEH, / FBA= / FHE,易证 ABFs EHF 得一EHAF 八 /口 2，得EFEH=2,设 E42(X,-x或x= 2,得到E点坐标8 -x3(4)等腰三角性质直接得到 Pi (-420、.4),则 H (x 2,x )，yE= yH,解出万程 x= 133 PBN是等腰三角形，分成三种情况，BP=BC时，利用1, 0)或 P

16、2 (7, 0),当 NB=NP 时，作 NHx 轴，易得NHBsCOB,利用比仞式得到 NH、BH从而得到 PH= BH, BP,进而得到 OP,即得到P点坐标，当PN= PB时，取NB中点K,作KP± BN,交x轴于点P,易得 NOBspkb,利用比仞式求出 PB,进而得到 OP,即求出P点坐标【详解】解：(1)将 A ( 1,0)、B(3, 0)代入 y=ax2+bx+4,a得9a3b c 0解得a=，抛物线的解析式8x 4； 34 2(2) y4x234/八2 16-(x 1)33，抛物线对称轴为直线二. D的横坐标为由(1)可得C1,(0, 4)- B (3, 0),.直线

17、BC： y,.DA= DB, DAC的周长=AC+CD+AD= AC+CD+BD连接BC,与对称轴交于点 D,此时CD+BD最小, AC为定值，此时ADAC的周长,当x= 1时，y=81+43(3)作 EH/ AB 交 BC于 H,则/ FAB= / FEH, / FBA= / FHE,.ABFAEHF. AF： FE= 2： 1,AB AF 八 2 ,EH EF,.AB=4,.EH=2,4 28420设 E (x,-x-x4),则 H (x 2,-x一)3333EH/ AB, yE= yH,4 2 8,420x -x 4 = x 3333解得x= 1或x= 2, y=16或 4,3.E (1

18、, 16)或(2,34)(4) . A (T, 0)、B (3, 0) , C (0, 4).AB=4, OC= 4,点M运动到点 A时，BM=AB= 4, .BN=4,PBN是等腰三角形，BP = BC时，若 P 在点 B 左侧，OP= PB- OB=4 3= 1 ,，Pi (T, 0),若P在点B右侧,OP= OB+BP= 4+3=7,1 P2 (7, 0)；NH”轴,当NB=NP时, NHBACOB,NHOCBHOBBNBC.NH =4-OC=5BH= 4 BC=512一,.PH=BH=1224BP=， 5八224.OP= BP- OB=5当PN=PB时，交x轴于点P,取NB中点K,彳&

19、#39;乍KP±BN,2 .NOBAPKB,PBBKBN OB8PB=,381 . OP= OB PB= 3-331 c、P4 (一,。)39综上，当4PBN是等腰二角形时，点P的坐标Pi( - 1,0)或P2(7, 0)或P3,5，一 1八、0)或 P4 ( 一 , 0) . 3【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综 合程度比较高，对综合能力要求比较高.第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点 A (0

20、, 3)、B (1, 0),其对称轴为直线 l： x=2,过点A作AC/ x轴交抛物线于点 C, /AOB的平分线交线段 AC于点E,点P是抛 物线上的一个动点，设其横坐标为m.图图(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结 PE PO,当m为何值时，四边形 AOPE 面积最大，并求出其最大值；(3)如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使4POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y=x2-4x+3. (2)当m=5时，四边形AOPE面积最大，最大值为 次.(3)

21、P 28点的坐标为：P1(丝笈，U5),马(山5,业5), P3(5+，5, 毡)， 2222220(5册 1公)P4 (5/ .22【解析】分析：(1)利用对称性可得点 D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；(2)设P (m, m2-4m+3),根据OE的解析式表示点 G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；(3)存在四种情况：如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明OMPPNF,根据OM=PN列方程可得点 P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标.详解：(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为 D,图L由对称性得：D (3, 0),设抛物线的解析

22、式为：y=a (x-1) ( x-3), 把A (0, 3)代入得：3=3a,a=1, 1抛物线的解析式；y=x2-4x+3；(2)如图 2,设 P (m, m2-4m+3),图工 OE 平分/AOB, /AOB=90；/ AOE=45 ； .AOE是等腰直角三角形，.AE=OA=3, E (3, 3),易得OE的解析式为：y=x,过P作PG/ y轴，交OE于点G, . G (m , m),1 - PG=m- (m2-4m+3) =-m2+5m-3, . S 四边形 AOPE=Saoe+Sa POE,=-X 3x 3+PG?AE,2 2= 9+1x3X23),2 2- 3m2+15m,= 3(

23、m-5)2+75,8.-3<0,2当m=2时，S有最大值是2758- ；(3)如图3,过P作MNy轴，交y轴于M,交l于N,OPF是等腰直角三角形，且 OP=PF易得OMP0PNF,.OM=PN,P ( m , m2-4m+3),则-m2+4m-3=2-m ,解得：m=5+5 或 55,22.P的坐标为(咨值或(3, 1);2222如图4,过P作MN，x轴于N,过F作FMXMN于M,同理得ONPPMF,，PN=FM,则-m2+4m-3=m-2 ,解得：x=3+且或3-22P的坐标为（3+5 , 1 ）或（3-巫,1+四）；2222综上所述，点P的坐标是：（ 5+2/5,此）或（/, 1J

24、5）或（皿，222221J5）或（3J5, 1+/5）.222点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.27.如图，已知顶点为 C（0, 3）的抛物线y ax b（a 0）与x轴父于A, b两点，直线 y x m过顶点C和点B.（1）求m的值；（2）求函数y ax2 b（a 0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点 M ,使得 MCB 15 ?若存在，求出点 M的坐标；若不存 在，请说明理由.-3;【解析】【分析】(1)把C (0, -3)代入直

25、线y=x+m中解答即可;(3) M 的坐标为(3 J3 , 6)或(J3，- 2)(2)把y=0代入直线解析式得出点 B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可;(3)分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可.【详解】(1)将 C (0, -3)代入 y=x+m,可得: m = - 3;(2)将y= 0代入y=x - 3得: x= 3,所以点B的坐标为(3, 0),将(0, - 3)、(3, 0)代入 y=ax2+b 中，可得:b 39a b 0'1 a 解得： 3 ,b 3 1c(3)存在，分以下两种情况: y若M在B上方，设 MC交x轴于点D,所以二次函数的解析式为：y -x2-

26、3；则/ ODC= 45 +15° =60°,.OD=OC?tan30 册,设DC为y= kx - 3,代入B o）,可得：k V3 ,联立两个方程可得:1 2，1x2 3 3解得:xi 0x23.3yi3y26所以 Mi (373, 6);若M在B下方，设MC交x轴于点E,则/ OEC= 45 -15 = 30°,.OE= OC?tan60 = 3 石，设EC为y= kx- 3,代入（3百,0）可得:联立两个方程可得:3一 x31 2x3解得:x10x2,3y13y22所以 M2 ( 73 , - 2)综上所述M的坐标为（3 J3 , 6）或（J3 ,2)【点睛

27、】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.8.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y与销售单价x （元）之间的关系如图所示.（1）根据图象直接写出 y与x之间的函数关系式.(2)设这种商品月利润为 W (元)，求 W与x之间的函数关系式.(3)这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少?【答案】(1) y=(2) W=x 180(40 x 60)3x 300(60 x 90)x2 210x 5400(40 x 60)2； (3)这种商品的销售单价定为65元时，月利润最3x2 390x 9000(60 x 90)大，最大

28、月利润是 3675.【解析】【分析】(1)当40WxW60,设y与x之间的函数关系式为 y=kx+b,当60vxW90寸，设y与x之 间的函数关系式为 y=mx+n,解方程组即可得到结论；(2)当40WxW60,当60vxW90寸，根据题意即可得到函数解析式；(3)当 40WxW60, W=-x2+210x-5400,得至U当 x=60 时，W最*=-602+210 X 60-5400=3600 当 60 V x< 90寸,W=-3x2+390x-9000 ,得至U当 x=65 时，W 最大=-3 X 65+390 X 65-9000=3675 于 是得到结论.【详解】解：(1)当40&

29、lt;xw60寸，设y与x之间的函数关系式为 y=kx+b,40k b 140将( 40, 140) , ( 60, 120)代入得60k b 120解得:k 1b 180，y与x之间的函数关系式为 y=-x+180;当60vxW90寸，设y与x之间的函数关系式为 y= mx+n,，90m n 30将(90, 30) , ( 60, 120)代入得60m n 120 m 3解得：n 300y = _ 3x+300;综上所述，y=x 180(40 x 60)3x 300(60 x 90)(2)当 40aW604,W= (x-30) y= (x- 30) (- x+180) =- x2+210x-

30、 5400, 当 60vxW90寸，W= (x- 30) (- 3x+300) =- 3x2+390x- 9000,综上所述，W=x2 210x 5400(40 x 60)_2 3x2 390x 9000(60 x 90)(3)当 40aW60寸,W=-x2+210x- 5400,- 1< 0,对称轴 x= 210 =105,当40唤0 6时，W随x的增大而增大，当 x= 60 时，W 最大=602+210 X 60 5400 = 3600,当 60vxW90寸,W= - 3x2+390x- 9000,- 3<0,对称轴 x= 390 =65,6,-60<x< 9,0当

31、 x=65 时，W 最大=-3X65+390X 65 9000 = 3675,3675 >3600,当 x=65 时，W 最大= 3675,答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675.【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用.根据题意 分情况建立二次函数的模型是解题的关键.9.课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC,它白边BC=120mm,高AD=80mm .要把它加工成正方形零件，使 正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB, AC上.问加工成的正方形零件的边长是 多少mm ?小颖解得此题的答案为 48mm,小颖

32、善于反思，她又提出了如下的问题.(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.【答案】(1) 240 mm,40 mm .(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就480 mm； (2) PN=60mm, PQ 7(1)、设 PQ=y (mm),贝 U PN=2y (mm) , AE=80-y (mm),根据平行得出 APN DAABC 相似，根据线段的比值得出 y的值，然后得出边长；(2

33、)、根据第一题同样的方法得出 y与 x的函数关系式，然后求出 S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值【详解】、设 PQ=y (mm),则PN=2y(mm) , AE=80-y (mm)PN / BC,AE APAD APNs ABC解得y二 一2y二4B0这个矩形零件的两条边长分别为24Q480mm , mm ) (2)、设 PQ=x (mm) , PN=y (mm),矩形面积为 S ,则 AE=80-x (mm)由(1)知80 - xy=二二3 y= 一 -333贝U S=xy= - -=-=- - . .Jm，工3 八 -S有最大值当 x=40 时，S最大=2400 (mmax

34、bx c经过 A ( 3, 0) , B (1, 0) , C (0,3)二点,)此时，y=-40*120 =60 .，面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分另I是40 mm , 60 mm.10.如图，已知抛物线y其顶点为D,对称轴是直线l, l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式;考点：三角形相似的应用(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求 4PBC周长的最小值；(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m, 4ADF的面积为S.求S与m的函数关系式；S是否存在最大值？若

35、存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y x2 2x 3.3忑阮.(3) S m2 4m 3. 当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2).【解析】【分析】(1)根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可(2)根据BC是定值，得到当 PB+PC最小时，4PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应 线段的长即可.(3)设点E的横坐标为m,表示出E (m, 2m+6) , F (m, m2 2m 3),最后表示出EF的长，从而表示出 S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：(1)二.抛物线 y ax2 bx c经

36、过 A ( 3, 0) , B (1, 0),，可设抛物线交点式为 y a x 3 x 1 .又 抛物线 y ax2 bx c经过 C (0, 3) , ，a 1.2，抛物线的解析式为：y x3x1,即y x 2x 3.(2) PBC的周长为：PB+PC+BC且BC是定值. 当PB+PC最小时， PBC的周长最小. 点A、点B关于对称轴I对称， 连接AC交l于点P,即点P为所求的点. .AP=BP,4PBC 的周长最/、是： PB+PC+BC=AC+BC. . A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) ,，AC=3&, BC=W0. PBC的周长最小是：3底 而.

37、(3).抛物线y x2 2x 3顶点D的坐标为(-1, 4) , A ( - 3, 0),2m 2m 3)2 . EF m 2m 3 2m 62m 4m 3.，直线AD的解析式为y=2x+6 丁点 E 的横坐标为 m, E (m, 2m+6) , F (m,1 EF AH222m 4m 3 2 m 4m 3八八八1-1-S S DEF S AEF EF GH EF AG22.S与m的函数关系式为Sm2 4m 3.2一一2 S m 4m 3 m 21,当m=-2时，S最大，最大值为1,此时点E的坐标为(-2, 2) 11.如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y

38、轴交于点C (0, 3),其对称轴l为x= - 1 .(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点 N在对称轴l上.当PA! NA,且PA=NA时，求此时点 P的坐标； 当四边形PABC的面积最大时，求四边形 PABC面积的最大值及此时点 P的坐标.【答案】(1) y=- (x+1) 2+4,顶点坐标为(-1,4); (2)点P(- J2T,315、2);P ( -，)24【解析】试题分析：(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x 1即可得到抛物线的解析式；(2) 首先求得抛物线与 x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到

39、方程求得x的值即可求得点 P的坐标；S四边形ABCP =SAOBC SmPD S梯形PDOC ,表不出来得到二次函数，求得最值即可.试题解析：(1) .抛物线y ax2 bx c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C （0, 3）,其对称轴l为x解析式为y2x 2x(2)令 ya bd c 31b2a解得：b一 .2一 .3= (x 1)4, .顶点坐标为(-1, 4)；2,，二次函数的2x 2x 3 0 ,解得 xB (1, 0),作PD>± x轴于点D,点P在yx2 2x 3上，设点 P (x, x2 2x 3),-. PAI NA,且 PA=NAAPADAAN

40、D, . OA=PD,即 yx2 2x 3 2,解得x=72 1 （舍去）或 x=池 1，.点 P（夜 1，2）；11111=OB?OC+AD?PD+(PD+OC)?OD=- 3 1 + -22222(3x)y2(y3)( x)=2(x2 2x 3)=9-x26= i(x2)2758，758当x=2时,2x3=竺，此时P4S3边形ABCP最大值当x=2时,设 P(x, y),则 yx22x 3 , Sra边形 abcp=Saobcsmpds梯形pdoc考点：1.二次函数综合题；2.二次函数的最值；3.最值问题；4.压轴题.12.如图，二次函数y4x 5图象的顶点为 D ,对称轴是直线l , 一

41、次函数2y -x 1的图象与x轴交于点 A,且与直线 DA关于l的对称直线交于点 B . 5(1)点D的坐标是;(2)直线l与直线AB交于点C , N是线段DC上一点(不与点 D、C重合)，点N的纵坐标为n .过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P, Q ,使得 DPQ与 DAB 相似.-27.,一当n 时，求DP的长；5若对于每一个确定的n的值，有且只有一个 DPQ与 DAB相似，请直接写出n的取 值范围.921【答案】(1) 2,9 ； (2)DP 9君；9 n 21.55【解析】【分析】(1)直接用顶点坐标公式求即可；(2)由对称轴可知点 C (2, 9) , A (-5 , 0),点

42、A关于对称轴对称的点(13 ,5220),借助AD的直线解析式求得 B (5, 3)； 当n=" 时，N (2,27 ),可求55DA=95, DN=18, CD=36,当 PQ/ AB 时， DPM DAB, DP=9 J5 当 PQ 与 AB不 255平行时，DP=9j5； 当 PQ/ AB, DB=DP时，DB=3 J5 , DN=24 ,所以 N (2,幻)，55则有且只有一个 DPQ与 DAB相似时，9<n< 21 .55【详解】(1)顶点为D 2,9 ； 故答案为2,9 ；(2)对称轴x 2,-9 C(2,-), 55由已知可求A( 一,0),2点A关于x 2

43、对称点为（13,0）,则AD关于x 2对称的直线为y 2x 13,B(5,3),当 n 27时，N(2, 27), 559.51836DA , DN , CD 225当 PQ/ AB 时， PDQ : DAB,Q DAC : DPN ,DP DN, DA DCDP 9正；当PQ与AB不平行时，DPQ : DBA ,DNQ : DCA ,DP DN ,DB DC9.5;DB DP 时,DP 9新;综上所述DP当 PQ/ AB ,DB 3.5,DP DNDA DCDN24521 N(2-) 5 921，有且只有一个 DPQ与DAB相似时，一 n ；55215 '.9故答案为95【点睛】 本

44、题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似 的判定与性质是解题的关键.13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c交x轴于点A 4,0、B 2,0，交y轴于点C 0,6，在y轴上有一点E 0, 2 ,连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点 P,使 AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.3 2 一 -x 6； ( 2)当 x 一时，ADE 的23,1,布，1, 2 VT9 .3 2【答案】(1)二次函数的解析式为

45、y3x2450面积取得最大值 3；(3) P点的坐标为 1,13【解析】 分析：(1)把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可;(2)根据函数解析式设出点D坐标，过点 D作DG，x轴，交AE于点F,表示4ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；(3)设出点P坐标，分PA=PE, PA=AE, PE=AE三种情况讨论分析即可.详解：(1) .二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 A (- 4, 0)、B (2, 0) , C (0, 6),16a 4b c 0. 4a 2b c 0 ,c 63 a -4一 ,3解得：b -,2c 63 23所以二次函数的解析式为：y= 3x2 3x 6；

46、42(2)由A ( - 4, 0) , E (0, - 2),可求AE所在直线解析式为过点D作DNx轴，交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EHI±DF,垂足为H,如图,设 D ( m ,3 23，一m m 6 ),则点 F (m,42.DF= 3m2 3m 6-42Im 2)= 3m2 m 24Saade=Sadf+Saedf=- XDF>AG+- DF>EH22=-XDF>AG+- >DF>EH221=-X 4DF2c /32c、=2 (x -m m 8)43/2o 50=m233,2 .，一50.当m=一时 4ADE的面积取得最大值为 一.33&#

47、176;3 23(3) y= x x 6 的对称轴为 x=-1,设 P(-1, n),又 E (0, - 2) , A (424, 0),可求 PA=、,9 n2，PE= .1 (n 2)2 , AE=、16 4 2 -5 ,分三种情况讨论: 当 PA=PE时，J9 n2=K (n 2)2，解得：n=1,此时 P ( - 1, 1);当PA=AE时，而n2 = /?64 275 ,解得：n= JU，此时点P坐标为（-1,而）；当PEAE时，石 （n 2）2 = V16 4 2芯，解得：n=-2 J19 ,此时点P坐标为: （-1, - 2 屈）.综上所述：p点的坐标为：（-1, 1）, （-

48、1, 布），（-1，-2 J19） 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角 形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.14.已知抛物线 Ci： y=ax2-4ax-5 (a> 0).(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2) 试说明无论a为何值，抛物线 G一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标; 将抛物线G沿这两个定点所在直线番S折，得到抛物线Q,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的【答案】(1) (-1,0)或(5,0) (2)(0, -5), (4,- 5)丫=-ax2+4ax-5(3) a= 或-试题分析：(1)将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点;(2)化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；根据抛物线翻折理论即可解题；(3)根据(2)中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或-2,即可解题试题解析：(1)当a=1时，抛物线解析式为 y=x2- 4x- 5=